新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》ppt课件.ppt

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1、式式柯柯西西不不等等式式与与排排序序不不等等第第三三讲讲.,.,高数学素质高数学素质提提感受数学的美妙感受数学的美妙明方法及其应用明方法及其应用学意义、几何背景、证学意义、几何背景、证的数的数等式等式不不我们可以领略这些我们可以领略这些通过本讲的学习通过本讲的学习样的不等式样的不等式属于这属于这与排序不等式就与排序不等式就柯西不等式柯西不等式们称它们为经典不等式们称它们为经典不等式人人的不等式的不等式而且具有重要应用价值而且具有重要应用价值发现一些不仅形式优美发现一些不仅形式优美数学研究中数学研究中二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式一一 ?,.,.,的的不不等等关关系系吗吗研研究究一一下

2、下关关于于它它的的推推导导过过程程你你能能类类比比有有关关并并且且形形式式上上也也与与平平方方和和数数它它涉涉及及到到四四个个实实为为实实数数积积现现在在考考虑虑乘乘与与乘乘积积的的大大小小关关系系方方和和它它反反映映了了两两个个实实数数的的平平熟熟悉悉的的不不等等式式是是我我们们非非常常为为实实数数探探究究abbadcbadcbabaabba2222222222 .,222222222222cbdadbcadcba 得展开这个乘积 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式

3、的含义式的含义习会进一步认识二维形习会进一步认识二维形通过后面的学通过后面的学项式项式式中每个括号内都是两式中每个括号内都是两 .,.,柯柯西西不不等等式式即即二二维维形形式式的的的的最最简简形形式式它它是是作作用用在在数数学学和和物物理理中中有有重重要要而而且且具具有有简简洁洁、对对称称的的美美感感形形式式上上规规律律明明显显不不仅仅排排列列个个实实数数的的特特定定数数量量关关系系式式反反映映了了inequalityCauchy4柯柯西西不不等等式式于于是是我我们们有有式式中中的的等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当发发现现从从上上面面的的探探究究过过程程可可以以.,0 bcad .,等等号

4、号成成立立时时当当且且仅仅当当则则都都是是实实数数若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221?的证明吗的证明吗你能简明地写出定理你能简明地写出定理思考思考1容易得出等式根据二维形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立对于任何实数所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成立成立述不等式中的等号何时述不等式中的等号何时上上请同学考虑请同学考虑不等式不等式这也是两个非常有用的这也是两个非常有

5、用的.,的的几几何何意意义义下下面面看看一一看看柯柯西西不不等等式式观观的的几几何何背背景景往往往往要要借借助助直直简简单单的的诠诠释释对对一一个个代代数数结结果果进进行行最最 .,. 0113为之间的夹角与中有向量标系设在平面直角坐如图dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我们有义的定内积根据向量数量积 ba, dc,xyO113 .图图,|cos|1 因为. | 所以 得向量的坐标表示不等式二维用平面,.|两边平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,.的坐标表示的不等式是向量形式式的柯西不等式形维二由此可知等式这是二维形式的柯西不和如果向量.,|cos|

6、,.,以上不等式取等号共线时和即向量则当且仅当量都不是零向和如果向量式取等号以上不等则中有零向量10 bcad.,式式西西不不等等式式的的柯柯二二维维形形称称之之为为所所以以应应量量相相对对二二维维向向式式与与使这时存在非零实数 , k .,.0 kcdkcdbcaddckbak故即.,的向量形式的向量形式式式柯西不等柯西不等叫做叫做所以我们把不等式所以我们把不等式同的意义同的意义有相有相与不等式与不等式不等式不等式从上面的分析可知从上面的分析可知得得综上所述综上所述, ., |,等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则个个向向量量是是两两设设式式的的向

7、向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2.,价关系价关系两者的等两者的等会会从数形结合的角度体从数形结合的角度体方向的推导方向的推导再进行反再进行反推导不等式推导不等式试从不等式试从不等式探究探究 ?,.关系吗关系吗个实数蕴涵着何种大小个实数蕴涵着何种大小这这你能发现你能发现的边长关系的边长关系根据根据的坐标分别为的坐标分别为设点设点中中系系标标坐坐角角面直面直在平在平如图如图观察观察4213221121221121yxyxPOPyxyxPP Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .图图.打开几何画板观察实验打开几何画板观察实验Oxy 111

8、yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .图图 ,.22122122222121213yyxxyxyx 容易发现容易发现的边长关系的边长关系及三角形及三角形根据两点间距离公式以根据两点间距离公式以如图如图.,式中的等号成立式中的等号成立两旁时两旁时在原点在原点并且点并且点在同一直线上在同一直线上与原点与原点当且仅当当且仅当OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二维形式的叫做二维形式的不等式不等式三角不等式三角不等式 .,2212212222212122113yyxxyxyxRyxyx 那么那么设设二维形式的三角不等式二维形式的三角不等

9、式定理定理 .,.,用用柯柯西西不不等等式式了了就就能能使使样样这这例例如如构构造造出出平平方方和和的的形形式式另另两两数数设设法法构构造造两两数数平平方方和和乘乘进进行行式式子子变变形形需需要要为为了了使使用用柯柯西西不不等等式式证证明明中中这这个个不不等等式式从从代代数数的的角角度度证证明明式式下下面面我我们们利利用用柯柯西西不不等等发发现现了了三三角角不不等等到到式式上上面面从从几几何何角角度度分分析析22222121yxyx 22222222212121212222221212yxyxyxyxyxyx 证明2222212121212yxyyxxyx |2222212121212yxyy

10、xxyx )(22212122212122yyyyxxxx ,221221yyxx .22122122222121yyxxyxyx 故.,哪一步用了柯西不等式哪一步用了柯西不等式证明中证明中 .221221232232231231yyxxyyxxyyxx 得得等式等式代入不代入不代代用用代代用用代代用用代代不妨用不妨用对于任何实数都成立对于任何实数都成立由于不等式由于不等式,232232131131yyyxxxyyyxxx .,的几何意义的几何意义解释不等式解释不等式请结合直角坐标系请结合直角坐标系探究探究.,.,柯西不等式的应用柯西不等式的应用介绍二维形式介绍二维形式证明证明下面继续结合不等

11、式的下面继续结合不等式的中的应用中的应用证明证明几何背景及其在不等式几何背景及其在不等式西不等式的数学意义、西不等式的数学意义、柯柯维形式维形式分别讨论了二分别讨论了二程程的过的过理理上面得出三个定上面得出三个定.,三三角角不不等等式式仍仍被被称称为为二二维维形形式式的的有有明明显显的的几几何何意意义义不不等等式式 .,23322441babababa 证明证明为实数为实数已知已知例例.,杂的计算杂的计算就可以避免繁就可以避免繁式的一致性式的一致性形式与柯西不等形式与柯西不等不等式的不等式的注意到这个注意到这个但是如果但是如果它们它们然而再比较然而再比较开上式的两边开上式的两边法展法展可以作乘

12、可以作乘虽然虽然分析分析 .,2332222244babbaababa 有根据柯西不等式证明.,.,工具工具数学研究的有力数学研究的有力经典不等式是经典不等式是以以所所可以简化运算可以简化运算又又启发证明思路启发证明思路既可以既可以典不等式典不等式联系经联系经不等式时不等式时在证明在证明本例说明本例说明?,dcba中的中的式式别对应柯西不等别对应柯西不等个数分个数分中哪中哪例例41.的最大值的最大值求函数求函数例例xxy210152 .,.,值值大大等到式求其最等到式求其最就能利用柯西不就能利用柯西不形式形式的的若能化为若能化为析式是两部分的和析式是两部分的和这个函数的解这个函数的解找不等式取

13、等号的条件找不等式取等号的条件并寻并寻一个常数一个常数设法在不等式一边得到设法在不等式一边得到通常通常题题利用不等式解决极值问利用不等式解决极值问分析分析bdac xxyy 5215051,且函数的定义域为解 22225125xx . 36427 .,36271275512时函数取最大值即成立等号时当且仅当 xxx.,题的能力题的能力提高利用柯西不等式解提高利用柯西不等式解子变形的作用子变形的作用可以体会其中式可以体会其中式程程解过解过的求的求回顾例回顾例2.,41113 babaRba求证求证设设例例 .,.,用柯西不等式了用柯西不等式了就可以就可以有了有了注意到注意到在本例中在本例中以应用

14、这个条件以应用这个条件根据证明的需要可根据证明的需要可都不会改变它们的值都不会改变它们的值去乘任何数或式子去乘任何数或式子用用的特殊性的特殊性数数由于常由于常这个条件这个条件问题中有问题中有分析分析 bababababababa11111111得根据柯西不等式由于证明, Rba . 411112 bbaababa.,4111 baba所以又?,为为什什么么这这个个条条件件可可以以去去掉掉吗吗本本例例中中 Rba.,.,.式式子子进进行行缩缩小小或或放放大大个个等等式式对对这这就就可可以以考考虑虑利利用用柯柯西西不不时时致致的的形形式式有有一一的的左左边边或或右右边边具具不不等等式式当当一一个个式式子子与与柯柯西西形形式式注注意意它它的的外外在在又又要要既既要要注注意意它它的的数数学学意意义义不不等等式式时时使使用用柯柯西西应应用用在在证证明明不不等等式式时时的的简简单单说说明明了了柯柯西西不不等等式式个个例例题题通通过过几几以以上上