自动控制原理具有零点的二阶系统阶跃响应为ppt课件.ppt

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1、自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院1一、典型二阶系统的瞬态响应一、典型二阶系统的瞬态响应 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:sssGnn2)(22闭环传递函数为闭环传递函数为: :2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC- 这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。二阶系统。第三节 二阶系统的瞬态响应自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院2特征根为：特征

2、根为： ，注意：当注意：当 不同不同时，时，极点有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。极点有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。 称为典型二阶系统的传递函数，称为典型二阶系统的传递函数， 称为称为阻尼系数阻尼系数， 称为称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。无阻尼振荡圆频率或自然频率。 )(sn特征方程为：0222nnss122, 1nns自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院3 当当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零零(无无)阻尼系统阻尼系统，

3、系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0 当时当时 ，特征方程有一对实部为负的共，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为轭复根，称为欠阻尼欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。的振荡过程。10 当当 时，特征方程有一对相等的实根，称为时，特征方程有一对相等的实根，称为临临界阻尼界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1 当当 时，特征方程有一对不等的实根，称为时，特征方程有一对不等的实根，称为过过阻尼阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1自动控制原理自动控制原理杭州

4、师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院4当输入为单位阶跃函数时， ，有： ssR1)(,1)()(sssC1)()(1ssLtc222221)()(nnnssssssC 0,cos1)(tttcn 分析分析：当 时，0极点为极点为：njs 此时输出将以频率此时输出将以频率 做等幅振荡，所以，做等幅振荡，所以， 称为无称为无阻尼振荡圆频率。阻尼振荡圆频率。n n 自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院5)1 (1)(tetcntn 2222)(1121)(nnnnnnsssssssC 阶跃响应函数为：当当 时，时，1 ns 2, 1

5、极点为：极点为：当当 时时，10 22, 11 nnjs极点为：极点为：阶跃响应为：阶跃响应为：自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院622222222222122121)(nnnnnnnnnnnnssssssssssssssC 0,)1sin(1)1cos(1)(222tttetcnntn 0, )11sin(11)(2122ttgtetcntn 极点的负实部极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。为阻尼振荡圆频率。21 ndd n自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息

6、科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院7当 时，1122, 1 nns极点为：极点为：即特征方程为)1()1(22222 nnnnssss)1()1()()(222nnnsssRsCssssCnnn1)1()1()(222)1()1(1211)(2)1(2)1(222ttnneetc)1)(1(22122TsTsssnn特征方程还可为自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院8因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为环节的串联，其单位阶跃响应为) 1)(1(1)1

7、)(1(1)()(212121sTsTTsTsTTsRsC于是闭环传函为：于是闭环传函为：这里 ，21TT 2121TTn)1(1)1(111) 1)(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsC212121211)(TtTteTTTeTTTtc)1(121nT)1(122nT式中自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院9 上述四种情况分别称为二阶上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：布和

8、单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升单调上升一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根(左左半平面）半平面） 等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院10可以看出：随着可以看出：随着 的增加，的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当衰减的正弦运动，当 时

9、时c(t)呈现单调上升运动呈现单调上升运动(无振荡无振荡)。可见可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院11二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系（一）衰减振荡瞬态过程（一）衰减振荡瞬态过程 ：) 10( 上升时间 ：根据定义，当 时， 。rtt rt1)(rtc0, )11sin(11)(2122ttgtetcntn 1)11

10、sin(11)(2122 tgtetcrntn0)11sin(212 tgtrn自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院12n21nj21njn 称为阻尼角， 。cosdrt 2211arctgnd ktrd自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院13 峰值时间 ：当 时，ptptt 0)(ptc 0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( ,nntpd由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt0, )s

11、in(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院1400.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025tr tp t自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院15 最大超调量 ：%100) 1)(%100)()()(%pptccctc故：%100%21 emax)()(ctctcp得将峰值时间 代入21npt)sin1(cos1)(2maxpdpdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee自动

12、控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院1600.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院17 调节时间 ：st可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne 根据调节时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。%)1tgsin(1212tedtn211tne自动控制原理自动控制原理杭州

13、师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院18nst%)1ln(2%12snte由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne 21111 sntsetc自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院19当 较小时，近似取： ，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(时当时当52,3,4nnst所以自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭

14、州师范大学信息科学与工程学院20一般在一般在 之间，调节时间和超调量都较小。之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻作为设计依据，称为最佳阻尼常数。尼常数。 8 . 04 . 0707. 0215 延迟时间延迟时间 ：根据定义，令：根据定义，令 。dt 5 . 0dtc221arccos1sin2ln1 dndntt5 . 0)11sin(11)(2122 tgtetcntn自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院21 曲线拟合曲线拟合ndt 22 . 06 . 01当当10 ndt 7 . 01若若 不变不变,闭

15、环极点距闭环极点距s平面原点越远平面原点越远, 越小越小,若若 不变不变,闭环极点距闭环极点距s平面虚轴越近平面虚轴越近, 越小越小 n dtdt自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院22这是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式可以得出st（二）非振荡瞬态过程： 对于 ，极点为：1ns2 , 1)1 (1)(tetcntn52nnst75.484.5自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院23在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以

16、描述瞬态过程的性能。st111211)(2)1(2)1(222ttnneetc 对于 ，极点为：1122, 1nns当 时25. 1nnTT21,221212144TTTT即利用牛顿迭代公式可得52113 .32 .4TTts当 时，34. 156 . 0215TT ，这时可用一阶系统来近似52113 .32 .4TTts自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院2411.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.922.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.93024681012141618202224

17、=2的精确曲线=5的精确曲线=2的近似曲线=5的近似曲线snt自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院25当当 时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的 最小。最小。1st当当 时，极点时，极点 远离虚轴，且远离虚轴，且c(t)中包含极点中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点的衰减项的系数小，所以由极点s2引起引起的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略s2的影响，把二阶系统近

18、似为一阶系统。的影响，把二阶系统近似为一阶系统。1122nns自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院26总结q阻尼系数阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但但 长。当长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。系统不能稳定工作。1st0通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望希通常，都希望控制系

19、统有较快的响应时间，即希望希统的阻尼系数在统的阻尼系数在01之间。而不希望处于过阻尼情之间。而不希望处于过阻尼情况况 ，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于（如加热装置），则可以处于 情况。情况。) 1() 1(自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院27q在欠阻尼在欠阻尼 情况下工作时，若情况下工作时，若 过小，则过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品超调量大，振荡次数多，调节时间

20、长，瞬态控制品质差。质差。) 10(注意到注意到 只与只与 有关，所以一般根据有关，所以一般根据 来选择来选择 。 %100%21 e%q 越大，越大， （当（当 一定时）一定时）nnnst),3(4或stq为了限制超调量，并使为了限制超调量，并使 较小，较小， 一般取一般取0.40.8，则，则超调量在超调量在25%1.5%之间。之间。st 自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院28例：求系统的特征参数 并分析与性能指标的关系：n,)(sR) 1(TssK)(sC2222221)(nnnssTKsTsTKKsTsKs解：闭环传递函数为：KTTKTT

21、Knnn21122q 时， 。振荡加剧；Kn ,%,q 时，T)24(,%,Ttnsn 下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系：(假设 ）10自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院29t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te三、改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程1.0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。正向速度大，造成响应出现正向超调。2.t1,t2误差信号为负，产生反

22、向修正作用，误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。最大值。3.t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。出现反向超调。4.t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。反向最大

23、值。自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院30a. a. 输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制)2(2nnsss-)(sR)(sC)2(2nnsss+-)(sR)(sCb. b. 误差的比例误差的比例+ +微分控制微分控制将输出量的速度信号将输出量的速度信号c(t)c(t)采采用负反馈形式反馈到输入端用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号并与误差信号e(t)e(t)比较，构比较，构成一个内反馈回路。简称速成一个内反馈回路。简称速度反馈。度反馈。以误差信号以误差信号e(t)e(t)与误差信与误差信号的微分信号号的微分信号e(t)e(t)的和的和产生

24、控制作用。简称产生控制作用。简称PIPI控控制。又称微分顺馈制。又称微分顺馈为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院31a. 输出量的速度反馈控制)2(2nnsss-)(sR)(sC222222)2()2()1 (1)2()(nnnnnnnnssssssss)

25、2(2nnsss1-)(sR)(sC与典型二阶系统的标准形式比较与典型二阶系统的标准形式比较2222)(nnnsss 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率nnt2 等效阻尼系数为等效阻尼系数为由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时和调节时间间t ts s变小。变小。t自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院32)2(2nnsss+-)(sR)(sCb. 误差的比例+微分控制)2(2nnsss1-)(sR)(sC2222)2()1 ()(nnnnssss与典型二阶系统的标准形式2222)(nnnsss比

26、较比较 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率nnd2 等效阻尼系数为等效阻尼系数为 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节和调节时间时间t ts s变小。变小。 d1z 闭环传递函数有零点闭环传递函数有零点 , , 将会给系统带来影响。将会给系统带来影响。自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院33sssssRssCnnn12)1 ()()()(222222222212nnnnnnsssss零极点分布图1p2p21nj21njznl)()(21sCsC四、具有零点的二阶系统分析2222)1 ()(nnn

27、ssss具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和 不变)。其闭环传递函数为： ，零点为：1 zn) 10(具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院34ssssCnnn12)(222122222)(nnnsssCssCsC)()(12dttdczdttdctc)(1)()(112dttdcztctc)(1)()(1101)(tc)(tc)(1tc)(2tct由上图可看出：由上图可看出： 使得使得 比比 响应迅速且有较大超调量。响应迅速且有较大超调量。)(2tc)(1tc)(tc自动控制原理自动控制原理杭

28、州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院35设 为零点和极点实部之比,nz01234567800.20.40.60.811.21.41.61.8ntC(t)nz5 . 00123456789 10 11 120204060801001201401601802002205 . 025. 075. 0nz%自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院36具有零点的二阶系统阶跃响应为：具有零点的二阶系统阶跃响应为：)1sin(1)1sin(1)1cos(1)(22222tettetcntnnntnn)11sin(1)(11)(21222nnt

29、ntgtetcn)1sin(11)(22tzletcntn211-tgnnz211tg222nnzzl式中： ， 零极点分布图1p2p21nj21njznl自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院37)(1)1(121dnndpztgt)(1)1(12222122%ezlezzznnztgnn时当时当52)ln3(1)ln4(1zlzltnns根据上式可以得出主要性能指标如下：nrt21)(211-tgnnz211tg222nnzzl式中： ， ，自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院38)2(2nnss

30、s+-)(sR)(sC比例比例+ +微分控制的性能微分控制的性能2222)2()1 ()(nnnnssss 2222)1 ()(nndnssss 2nd 自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院39 显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为 ，而，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节

31、虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。能改善系统的瞬态性能。 d 自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院400123456789 10 11 120204060801001201401601802002205 . 025. 075. 0nz%自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院41我们可以不证明地给出c(t)的紧凑形式：)1sin(11sin)1cos(

32、cos)1sin(11)(22222tzlettzletcntnntnn20222122,1,1nnnnzzlztg1-tg式中，根据上式可以得出主要性能指标如下：)5( ,1)ln3()2( ,1)ln4(nnszlzlt或zrerrn，式中%,100)2(%21)(222nrt21)(自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院42解：25.025.0162121825.0161KTsTKn %44%100%100%21e)( ,5 .125.08335当stns )(sR) 1(TssK)(sC例例3-1：如图所示系统，：如图所示系统， 试求： 和

33、 ; 和 若要求 时，当T不变时K=?sTsK25. 0,161%16% nst自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院43 0.5038， 解得,16. 0%,16%21e当T不变时，T=0.25，9388. 35038. 025. 0414122TK例3-2：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使 ，求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。 5 . 01自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院44解：系统的闭环传递函数为：TKsTKsTKs 1)(2) 1(TssKs-)(sR)(sCTKn KT21 KTKTKTKTKnn211211112 n1则：自动控制原理自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院杭州师范大学信息科学与工程学院45这时的瞬态性能指标为：%16%100%21111 e显然，加入了速度反馈后， 不变，而 增加了 倍。上例中 ，若要求 ，则：n 1 k125. 0 5 . 01 0625. 01611, 21kk求得：)(185 . 04411stns