高等代数多项式-一元多项式-整除的概念ppt课件.ppt

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1、高等代数高等代数中南大学数学院中南大学数学院高等代数课题组高等代数课题组 一、一元多项式的定义一、一元多项式的定义二、多项式环二、多项式环1定义定义个非负整数，形式表达式个非负整数，形式表达式设设 是一个符号（或称文字），是一个符号（或称文字）， 是一是一 xn1110nnnna xaxa xa 称为数域称为数域P上的上的一元多项式一元多项式其中其中01,na aaP等表示等表示常用常用( ), ( ), ( )f xg x h x一、一元多项式的定义一、一元多项式的定义系数，系数，n 称为多项式称为多项式 的的次数次数，记作，记作( )f x( ( ).f xn = 若若，即，即，则称之，则

2、称之010naaa ( )0f x 为为零多项式零多项式零多项式不定义次数零多项式不定义次数区别区别：零次多项式零次多项式( ),0 ,f xa a多项式多项式中，中，1110( )nnnnf xa xaxa xa 称为称为i次项次项，称为称为i次项次项系数系数iia x ia注：注： 若若 则称则称 为为 的的首项首项， 为为首项首项( )f xnna x0,na na零多项式零多项式( )0f x ( ( ) 0.f x =2多项式的相等多项式的相等若多项式若多项式 与与 的同次项系数全相等，则的同次项系数全相等，则( )f x( )g x称称 与与 相等相等，记作，记作( )f x( )

3、g x( )( ).f xg x 即，即， 1110( ),mmmng xb xbxb xb ( )( ),0,1,2, .iif xg xmn abin 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 3多项式的运算：加法（减法）、乘法多项式的运算：加法（减法）、乘法11100( ),iinnnnnif xa xaxa xaa x 11100( ),jjmmmmmjg xb xbxb xbb x 加法：加法： 若若 在在 中令中令,nm ( )g x110nnmbbb则则 0( )( )().iiniif xg xab x 0( )( )()iiniif xg xab x 减法：减法：1

4、010 0()oa ba b xa b1()n miijsij sa bx ( ) ( )f x g x中中s 次项的系数为次项的系数为 1 1110.sosssijij sa baba ba ba b 注注: : 乘法：乘法：( ) ( )f x g x 111()n mn mn mn mnma b xa babx4多项式运算性质多项式运算性质1) 为数域为数域 P上任意两个多项式，则上任意两个多项式，则 ( ) ( )f x g x( )( ),( ) ( )f xg xf x g x 仍为数域仍为数域 P上的多项式上的多项式 2) ( ), ( ) f xg xP x ( ( )( )m

5、ax( ( ( ),( )f xg xf xg x 若若 ( )0, ( )0,f xg x则则 ( ) ( )0,f x g x 且且 ( ( ) ( )( ( )( ( )f x g xf xg x ( )( )0f xg x9( ) ( )f x g x的首项系数的首项系数( )f x 的首项系数的首项系数 ( )g x的首项系数的首项系数. 3) 运算律运算律( )( )( )( )f xg xg xf x( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x( ) ( )( ) ( )f x g xg x f x ( ( ) ( ) ( )( )( ( )

6、( )f x g x h xf xg x h x ( )( ( )( )( ) ( )( ) ( )f xg xh xf x g xf x h x( ) ( )( ) ( ),( )0( )( )f x g xf x h xf xg xh x 例例1设设 ( ), ( ), ( )( )f xg x h xR x (1) 证明证明: 若若 222( )( )( ),fxxgxxhx则则 ( )( )( )0f xg xh x=(2) 在复数域上在复数域上(1)是否成立？是否成立？(1) 证：若证：若 ( )0,f x 则则 222( )( )( )0,x gxhxfx于是于是 2222( )(

7、 )( ( )( )xgxxhxx gxhx 为奇数为奇数. 故故 ( )0,f x 从而从而 22( )( )0.gxhx从而从而 22( )( )0.gxhx2( )fx 但但 为偶数为偶数. 这与已知矛盾这与已知矛盾.222( )( )( ),x gxhxfx(2) 在在 C上不成立如取上不成立如取 ( )0,( ),( )f xg xixh xx从而必有从而必有( )( )0.g xh x( )( )( )0.f xg xh x又又 均为实系数多项式均为实系数多项式 ，( ), ( )f xg x所有数域所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域中的一元多项式的全体称为数域 P上的上的一

8、元多项式环一元多项式环，记作，记作 .P xP称为称为 的系数域的系数域 P x二、多项式环二、多项式环定义定义对对 ( ), ( ) ,( )0,f xg xP xg x一定存在一定存在 ( ), ( ) ,q x r xP x 使使 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x成立，其中成立，其中( ( )( ( )r xg x 或或 ( )0,r x 一、带余除法一、带余除法定理定理并且这样的并且这样的 ( ), ( )g x r x是唯一决定的是唯一决定的 称称 为为 除除 的的商商，为，为 除除( )q x( )g x( )f x( )r x( )g x( )f x的的余式余

9、式 若若 ( )0,f x 则令则令 ( )( )0.q xr x结论成立结论成立 若若 ( )0,f x 设设 ( ), ( )f xg x的次数分别为的次数分别为 ,n m证证：当当 时，时， nm 结论成立结论成立 显然取显然取 即有即有 ( )0, ( )( )q xr xf x( )( ) ( )( ),f xq x g xr x下面讨论的情形，下面讨论的情形，nm 假设假设对对次数小于次数小于n的的 ，( )f x结论已成立结论已成立先证存在性先证存在性对对 n作数学归纳法作数学归纳法 次数为时结论显然成立次数为时结论显然成立设设 的首项为的首项为 ( )f x,nax( )g x

10、,()mbxnm 的首项为的首项为 则则 与与 首项相同，首项相同， 1n mb axg x( )f x因而，多项式因而，多项式 1( )( )-1-1=-g=-gn-mfxf xb axx的次数小于的次数小于n或或 f1为为0若若 1= 0,fx令令 1( ), ( )0n mq xb axr x即可即可 若若 1,fxn由归纳假设，存在由归纳假设，存在 11( ), ( )q x r x使得使得 111fxqx g xrx现在来看次数为现在来看次数为n的情形的情形其中其中 1( )rxg x或者或者 1( )0.r x 于是于是 111.n mfxb axqxg xrx即有即有 111(

11、),n mq xb axqxr xrx使使( )( ) ( )( ),f xq x g xr x 成立成立的存在性得证的存在性得证 由归纳法原理，对由归纳法原理，对( ), ( )0,f xg x( ), ( )q x r x再证唯一性再证唯一性 ,fxq x g xr x若同时有若同时有 0.r xg xr x 或或其中其中 0.rxg xrx 或或其中其中 ,f xq x g xrx 和和则则 q x g xr xqx g xrx即即 .q xqxg xrxr x 0,0q xqxg xrxr x若若，由由有有 q xqxg xrxr x max,rr 但但 ,q xqxg xg x 矛盾

12、矛盾 g x 所以所以 ,q xqx 从而从而 .rxr x =唯一性得证唯一性得证 532258 ,2fxxxxg xxx例例1求求 除除 的商式和余式的商式和余式 g x fxa0121nnaaaaa 0121nnabababab) 00121nbabbbr 附：附：综合除法综合除法的商式的商式 101( )nnq xb xb 和余式和余式r可按下列计算格式求得：可按下列计算格式求得：这里，这里，若若 1( ),nn-10nf xa x + a x+ a 则则 xa ( )f x除除110221,baabbaab1.nnraab 112,nnnbaab去除去除 求一次多项式求一次多项式 x

13、a fx的商式及余式的商式及余式 把把 fx表成表成 xa 的方幂和，即表成的方幂和，即表成2012( )()()f xcc xacxa 的形式的形式说明说明： 综合除法一般用于综合除法一般用于 32,12fxxxxg xxi 例例2求求 除除 的商式和余式的商式和余式 g x fx解解: 由由 ) 12i 12i 42i98i98i52i2i 有有 2( )( )25 29 8 .f xg x xixii 4解解: 1例例3.把把 5( )f xx 表成表成 1x 的方幂和的方幂和 =0c232345=1c136361441110=2c5=4c10=3c55432(1)5(1)10(1)10

14、(1)xxxxx5(1)1x 二、整除二、整除1定义定义设设( ), ( ) ,f xg xP x 若存在若存在 ( ) h xP x 使使 ( )( ) ( )f xg x h x 则称则称 ( )g x整除整除 ( ),f x记作记作 ( )|( ).g xf x 时，时， 称称 ( )|( )g xf x( )g x为为 ( )f x的的因式因式， ( )f x为为 ( )g x的的倍式倍式 ( )g x不能整除不能整除 ( )f x时记作：时记作： ( ) |( ).g xf x 允许允许 ( )0g x ，此时有，此时有 00 ( ),( ) h xh xP x即即0 0.区别区别：

15、零多项式整除零多项式，有意义零多项式整除零多项式，有意义0 0除数为零，无意义除数为零，无意义00 当当时，时， 如果如果 ( )|( )g xf x( )0,g x 则则 除除 ( )g x所得的商可表成所得的商可表成( )f x( ).( )f xg x定理定理1 ( ), ( ) ,( )0,f xg xP xg x2整除的判定整除的判定 ( )|( )( )( )0.g xf xg xf xr x 除除的的余余式式3整除的性质整除的性质1) 对对 ( ) ,f xP x有有 ( )|( ),( )|0;f xf xf x对对 ( ) ,0,f xP xaP a 有有 |( ).af x

16、即，任一多项式整除它自身；即，任一多项式整除它自身； 零零多项式能被任一多项式整除；多项式能被任一多项式整除； 零次零次多项式整除任一多项式多项式整除任一多项式时，时， 与与 有相同的因式和倍式有相同的因式和倍式0a ( )f x( )a f x2) 若若 ，则，则( )|( ),(0).af xbg xa bP a ( )| ( )f xg x3) 若若( )|( )( )| ( ),g xf xf xg x，则则 ( )( )0.f xcg xc ，证：证： ( )| ( )f xg x( )|( )g xf x 12( )( ).f xhx hx f x若若 ( )0,f x 则则 (

17、)( )P0f xcg xcc ，,使得使得 1( )( );g xf x hx 1hx 使得使得 2( )( ).f xg x hx 2hx ( ) 0,g x ( )0f x ，若若 121hx hx 则则 120.hxhx 120hxhx 12,hxhx皆为非空常数皆为非空常数4) 若若 ( )| ( )( )| ( )( )|f xg xg xh xf xh x，（整除关系的传递性整除关系的传递性）( )( )0f xcg xc ，成立成立 故有故有 5) 若若 ( )|( )1,2,if xg xi =r，则对则对 ( ) ,1,2,iu xP xi =r有有 1122( )|( )

18、( )( )( )( )rrf xux gxux gxu x gx注注：反之不然如：反之不然如 212( )1,( )23,gxxgxx 1122( )( )( )23 ,u x g xu x g xx 1122( )|( )( )( )( )f xu x gxux gx( )32,f xx 122,( ),uxuxx 12( ) |( ),( ) |( ).f xgxf xgx但但 6) 整除不变性：整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变 例例3求实数求实数 满足什么条件时多项式满足什么条件时多项式, ,m p q整除多项式整除多项式3.xpxq21xmx附：附：整数上的带余除法整数上的带余除法对任意整数对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数）都存在唯一的整数q、r，使使 aqbr，0.rb其中其中