有限单元法平面问题例题ppt课件.ppt
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1、平面有限元解法n设有对角受压的正方形薄板(如上图所示),载荷沿厚度均匀分布,为2N/m。试对该结构进行整体分析,建立整体刚度矩阵和整体结点载荷列阵,建立整体结点方程组,通过编程求解出结点的位移,并从而求出各单元的应力。(为简单起见,取板的厚度t= 1 , 弹性常数E =1,泊松比0)n右图为取1/4模型,离散后,单元、结点、荷载和约束的简图。1 简化力学模型、选取单元类型 结构及荷载沿双轴对称,选取1/4结构结构。 图所示为平面应力问题,平面应力单元类型中,3结点三角形单元2 结构离散,单元编号、结点编号n将对象划分成4个单元,共有6个结点,单元和结点上均编上号码,其中结点的整体编码1至6,以
2、及个单元的结点局部编码i,j,m,均示于上图中。单元号局部编码整体编码i3526j1253m2435n3.1 结点位移列阵、荷载列阵3 单元分析(对逐个单元进行分析。以单元1为例)n3.2 位移函数3 单元分析n3.3 讨论位移函数的收敛性n (1)完备性n (2)协调性3 单元分析n3.4 推导形函数(只需分析1个单元,其余可直接用公式计算) 代入结点坐标和位移3 单元分析 常数3 单元分析 设3 单元分析 得到3 单元分析3 单元分析3 单元分析得到内部任意一点位移和结点位移的关系式3 单元分析得到内部任意一点位移和结点位移的关系式3 单元分析得到形函数矩阵3 单元分析3.5 推导内部任意
3、一点应变和结点位移的转换关系3 单元分析3 单元分析3 单元分析3 单元分析3.6 推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系平面应力的弹性矩阵为3 单元分析把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S3 单元分析3.7 得到单元刚度矩阵 把B和D矩阵代入对3结点三角形,可以简化为3 单元分析3.8 单元等效荷载计算 4 组成整体刚度矩阵n暂时不考虑位移边界条件,把所分析结构的整体结点平衡方程组列出:111213141516112122232425262231323334353633414243444546445152535455565561626364656666KKKKKKuFKKKKKKuFKK
4、KKKKuFKKKKKKuFKKKKKKuFKKKKKKuFn整体刚度矩阵写成66的矩阵,它的每个子块是22的矩阵,实际它是一个1212的矩阵。如K23,它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时,在结点2的x方向或y方向引起的结点力。4 组成整体刚度矩阵n整体刚度矩阵写成66的矩阵,它的每个子块是22的矩阵,实际它是一个1212的矩阵。如K23,它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时,在结点2的x方向或y方向引起的结点力。4 整体刚度矩阵续n由于于结点3和结点2在结构中是通过和这两个单元相联系,因而K23应是单元 的k23和单元 的k23之和。同理,可以找到各单元
5、刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中的位置,得到整体劲度矩阵。111112313223113134344222233422344444000000000000jjjmjimjmmjjiimiimjmjiijjiimmiiimmjjmjjmjimjmmmiijjijmmjimiijjmmmiijimiikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkkkkkkkk n式中k的上标1,2,3,4表示是哪一个单元的刚度矩阵中的子矩阵,空白处是22的零矩阵。4 整体刚度矩阵续n对于单元、,根据公式,可求得A=0.5m2,0.50000.5000.250.2500.250.2500.250
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