第4章矩阵的特征值ppt课件.ppt

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1、山财大数学与数量经济学院杨素香1第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值本章要点：本章要点：1.特征值与特征向量及其求法特征值与特征向量及其求法 2.矩阵的相似矩阵的相似 3.实对称矩阵的相似实对称矩阵的相似矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究及其他学科中都有广泛的应用。及其他学科中都有广泛的应用。特征值特征值特征向量特征向量方阵方阵对角形对角形( (或或约当形约当形) )相似于相似于对角形对角形元素元素转化矩阵转化矩阵山财大数学与数量经济学院杨素香2第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一一. 矩阵的特征值与特

2、征向量矩阵的特征值与特征向量则称则称 为为 A 的的一个特征值一个特征值，定义定义4.1 4.1 设设A A为为n n阶方阵阶方阵,是一个数是一个数, ,若存在若存在非零非零列向量列向量 x,x,使得使得1 ( )Axx 1. 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念对应于特征值对应于特征值的的特征向量特征向量，简称为，简称为 A 的特征向量。的特征向量。非零向量非零向量 x 称为矩阵称为矩阵 A 的的11,41A 例例. 求方阵求方阵111,1,2 由于由于1111111,41222A 221113133,41262A 所以所以11 是是A的一个的一个特征值特征值，而，而的的特征向量特征

3、向量112 是是A的属于的属于11 221,3,2 所以所以23 是是A的一个的一个特征值特征值，而，而的的特征向量特征向量212 是是A的属于的属于23 山财大数学与数量经济学院杨素香3 2.求法求法整理（整理（1 1）式）式, ,得得()(2)A xo 特征向量特征向量可看成方程组可看成方程组(2)的非零解的非零解.x0A 特征向量特征向量方程组方程组(2)的非零解的非零解.特征值特征值转转化化存在条件存在条件确确定定1 ( )Axx 山财大数学与数量经济学院杨素香4总结求矩阵特征值与特征向量的方法总结求矩阵特征值与特征向量的方法:第一步第一步:令令0A 求特征值求特征值. 第二步第二步:

4、对于每一个对于每一个, 求求 A xo 基础解系基础解系,第三步第三步:基础解系的基础解系的非零线性组合非零线性组合为为A对应于对应于的全部特征向量的全部特征向量. 山财大数学与数量经济学院杨素香5A 0A 3. 其它相关的概念其它相关的概念定义定义4.2 设设A为阶方阵为阶方阵,A (的的 n 次多项式次多项式)行列式行列式特征方程的根特征方程的根对应的对应的x()A xo 特征矩阵特征矩阵特征多项式特征多项式特征方程特征方程特征根特征根特征向量特征向量0A 山财大数学与数量经济学院杨素香63. 问题问题(1) 矩阵的特征值是否总存在的矩阵的特征值是否总存在的?若存在若存在,有多少个有多少个

5、?(2) 若若为为矩阵矩阵A A的一个特征值的一个特征值,那么对应于那么对应于的特征向量的特征向量有多少个有多少个?命题命题1: 任一任一 n 阶方阵都有阶方阵都有 n 个复特征根个复特征根.4.有关矩阵特征值与特征向量有下面的结论有关矩阵特征值与特征向量有下面的结论:命题命题2: (1)若若x A为为的对应于的对应于的特征向量的特征向量,则则(0)kkx A也为也为的对应于的对应于的特征向量的特征向量.x A同为同为的对应于的对应于的特征向量的特征向量,(2)若若y与与x的非零线性组合的非零线性组合y与与则则 A的对应于的对应于的特征向量的特征向量.,也是也是山财大数学与数量经济学院杨素香7

6、5.举例举例122311221A 例例1.求三阶方阵求三阶方阵的特征值及特征向量的特征值及特征向量.122311221A 解解 (1)先求特征根先求特征根矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为122(3) 111121 2(3) (3)由由得得A的特征根的特征根1233,3. 0A 3001302213 山财大数学与数量经济学院杨素香81233,3 13 1)当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(3)A xo ,即即123422034102240 xxx 的一个基础解系为的一个基础解系为111 ,1 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于13 111(0).cc 233 2)当当时

7、时,齐次线性方程组齐次线性方程组( 3)A xo ,即即123222032102220 xxx 的一个基础解系为的一个基础解系为212 ,1 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于222(0).cc 233 山财大数学与数量经济学院杨素香9111131111A 例例2.求三阶方阵求三阶方阵的特征值及特征向量的特征值及特征向量.111131111A 解解 (1)先求特征根先求特征根2(2) (1)0得得A的特征根的特征根1232,1.(2)再求特征向量再求特征向量山财大数学与数量经济学院杨素香10,即即123111011101110 xxx 的一个基础解系为的一个基础解系为12111

8、,001 31 2)当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组()A xo 的一个基础解系为的一个基础解系为311,1 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于3(0).cc 31 1232,1.1)当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(2)A xo 122的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于112212(,ccc c 不全为零不全为零)122,即即123011012101100 xxx 山财大数学与数量经济学院杨素香11的的特特征征值值及及特特征征向向量量。求求三三阶阶方方阵阵例例 1630530643A解解163053064 AI 18)5)(4()1( )2)(1(2

9、0)2() 1(2 . 21321 ，的的特特征征值值为为A山财大数学与数量经济学院杨素香1212336 0 x0360 x0360 x0 的一个基础解系为的一个基础解系为 100,01221 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于因因此此，121 A),(212211不不全全为为零零cccc 123660 x0330 x0363x0 的一个基础解系为的一个基础解系为 1113 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于因因此此，23 A)0(3 cc ，即即齐齐次次线线性性方方程程组组对对于于0)(, 121 xAI 1)，即即齐齐次次线线性性方方程程组组对对于于0)2(, 23 x

10、AI 2)山财大数学与数量经济学院杨素香13aAaa 例例4.求三阶方阵求三阶方阵的特征值及特征向量的特征值及特征向量.aAaa 解解 (1)先求特征根先求特征根3()0a 得得A的特征根的特征根123. a 山财大数学与数量经济学院杨素香14所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,123. a当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组()A xo ,即即123aoxo 1221000 ,1 ,0001 作为其基础解系作为其基础解系.取三维初始单位向量组取三维初始单位向量组112233123(,cccc c c不全为零不全为零)的全部特征向量为

11、的全部特征向量为则对应于则对应于123a(2)再求特征向量再求特征向量山财大数学与数量经济学院杨素香15例例5. 证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素个元素.证明证明: 不妨设不妨设11121n222nnnaaa0aaA, 00a 11121n222nnnaaa0aaIA00a 1122nnaaa 0 得得A的全部特征值的全部特征值111222nnna ,a ,a . 山财大数学与数量经济学院杨素香16第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量5 , A BnABBA例设均为 阶方阵，则与有相同的特征多项式。0,00 0AIIBIAIAIBIIB

12、IBAIAAIIABIIBIBIABIBA 我们由来考察的行列式,由知，IABIBA证明：即证山财大数学与数量经济学院杨素香17二二. 特征值与特征向量的基本性质特征值与特征向量的基本性质12110 是是特特征征值值，是是其其特特征征向向量量，定理定理4.1 n阶方阵阶方阵ATA有有相同的特征值相同的特征值.与它的转置矩阵与它的转置矩阵证明证明 考察它们的特征多项式考察它们的特征多项式 .TTAAA 这说明它们这说明它们有相同的特征多项式有相同的特征多项式,所以特征值相同所以特征值相同.注注: A与与AT有没有相同的特征向量呢有没有相同的特征向量呢? 看下面的例子看下面的例子:1101A ，设

13、设110111011010TA 结论结论: A与与AT特征向量不一定相同的特征向量不一定相同的.山财大数学与数量经济学院杨素香18 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量114 2 () (1)1 (1,2,) (2)1 (1,2,)(1,2,)1 1 1,2,ijnijjnijikkAanainajnAknkn 定定理理 . .设设是是 阶阶方方阵阵，如如果果中中有有一一个个成成立立，则则矩矩阵阵的的所所有有特特征征值值的的模模小小于于 ，即即山财大数学与数量经济学院杨素香19的的特特征征向向量量，为为对对应应于于的的特特征征值值，是是证证明明：设设 nxxxxA2

14、1), 2 , 1( )1(22112121nixxaxaxaxxxxxxAininiinn 即即，成成立立时时则则有有当当条条件件knknkkkknkxxaxaxaxxxxxx 221121 | |)| ,|,| |,max(| 则则有有，设设山财大数学与数量经济学院杨素香201|1112211 kkkknknkkkkaaaxxaxxaxxa的的特特征征值值亦亦有有所所以以对对于于有有相相同同的的特特征征值值，与与即即可可。成成立立时时，此此时时取取当当条条件件AAAATT)2(kk11k22knnkkxa xa xa x| | xx ), 2 , 1(1nkk 的的任任意意性性知知：有有)

15、,2 , 1(1nkk 山财大数学与数量经济学院杨素香21121212111212122212 , , ,immiiitittmmmtnAA 推推论论： 设设是是 阶阶方方阵阵 的的互互异异的的特特征征值值，为为 的的对对应应于于的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量，则则向向量量组组线线性性无无关关. . 定理定理4.3： n阶方阵阶方阵A的的互异特征值互异特征值 所对应的特征向量组成的特征向量组所对应的特征向量组成的特征向量组线性无关线性无关.12,m 是是n阶方阵阶方阵A的的互异特征值，互异特征值，12,m 为为A的分别对应于的分别对应于12,m 的特征向量，的特征向量，即：设即：设1

16、2,m 线性无关线性无关.则则山财大数学与数量经济学院杨素香22第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量结论：结论：1） 为为 的特征值的特征值.k kA2） 为为 的特征值的特征值k Ak3） 为为 的特征值的特征值.1 AI112212( )nnntr Aaaa4)4)125)nA 12,n 6) 若若A可逆，可逆，为其特征值，则为其特征值，则12111n， ， ，为为的特征值，的特征值，1A 12nAAA ， ， ，A 为为的特征值。的特征值。山财大数学与数量经济学院杨素香23111212122212nnnnnnaaaaaaIAaaa 证明：为证明（证明：为证明（4）与（）与（5），考

17、虑特征多项式），考虑特征多项式1122()()()nnaaa为其展开式中的一项，为其展开式中的一项，则则其余的项至多含有其余的项至多含有(n2)个主对角线上的元素，个主对角线上的元素，即在其余的项中即在其余的项中 的次数最高为的次数最高为(n2)1122()()()nnaaa所以，所以， 的大于的大于(n2)次的项只能出项在次的项只能出项在 山财大数学与数量经济学院杨素香24112211122()()()()nnnnnnaaaaaa 而而1211212()()()()( 1)nnnnnnIA 又又112212( )nnntr Aaaa所所以以有有12120( 1)nnnAA 令令 ，即即有有，

18、即即山财大数学与数量经济学院杨素香25例例1.三阶方阵三阶方阵A的特征值为的特征值为-1,2,3,求求 (1)2A的特征值的特征值, (2)A2的特征值的特征值, (3)|A|.例例2.试证试证:n阶方阵阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征有一个特征 值为零值为零.解解 12nA定理定理4.4： 若若 是方阵是方阵A的的 重特征值，则重特征值，则A的属于的属于 的的特征向特征向量组的秩量组的秩0 0 . k k山财大数学与数量经济学院杨素香26三三.杂例杂例例例1. 设矩阵设矩阵1232,4, 有特征值为有特征值为1333366Aab 求参数求参数a,b的值

19、及的值及3. 解解:由由1333323662Aab ()().3 540ab2333343664Aab ()().3 540ab得得,.-54ab又又,一方面一方面( )11540tr Aab另一方面另一方面( ),123324tr A 故故.32 山财大数学与数量经济学院杨素香27例例2. 已知已知11,1x 的一个有特征向量为的一个有特征向量为2125312Aab 求参数求参数a,b的值及特征向量所对应的特征值的值及特征向量所对应的特征值. 解解 设设 为特征向量为特征向量x所对应的特征值所对应的特征值,则则,Axx 即即2121153111211ab 2125312ab 解得解得,.30

20、1ab 山财大数学与数量经济学院杨素香28例例3. 设设A为四阶方阵为四阶方阵,满足条件满足条件30,2 ,TAAA 而且而且0.A 求求A的伴随矩阵的伴随矩阵的一个特征值的一个特征值.A 解解 ()(),433130AAA 故故A有一个特征值为有一个特征值为. 3 2 ,TAA 又又2216,TAAA 所以所以4.A 得得0,A 因为因为4.A 所以所以.43A 有一个特征值为有一个特征值为于是于是,A 山财大数学与数量经济学院杨素香294.2 相似矩阵相似矩阵一一 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质1. 定义定义定义定义1. A与与B为为n阶方阵阶方阵,若存在一个可逆矩阵若存在一个可逆矩阵

21、使得使得,P1,PAPB 称称A相似于相似于B，记作，记作.AB例如例如,12,34A 381021643B 25,13P 令令135,12P 则则135122538102.1234131643PAP .AB从而从而山财大数学与数量经济学院杨素香302. 矩阵相似关系的性质矩阵相似关系的性质AA(1)自反性自反性(2)对称性对称性AB， .BA则则若若.AC(3)传递性传递性,AB BC，若若则则3. 矩阵相似的其它性质矩阵相似的其它性质 .AB 则则AB，若若(1) ( )( ).r Ar B 则则AB，若若(2)AB，若若(3)则则或或者者都都可可逆逆，或或者者都都不不可可逆逆,A B而且

22、当它们可逆时而且当它们可逆时,11.ABAB，若若(4)则则.kkAB山财大数学与数量经济学院杨素香314. 矩阵相似与特征值的关系矩阵相似与特征值的关系定理定理1 若若n阶方阵与阶方阵与B相似相似,则则A与与B有相同的特征值有相同的特征值.注注: 逆命题不成立逆命题不成立, 即即A与与B有相同的特征值有相同的特征值,但但A与与B不一定相似不一定相似例如例如,30,03A 3103B 对于任何可逆矩阵对于任何可逆矩阵P,1.PAPAB 推论推论()().ABtr Atr B 证明证明相相似似与与BAIB 1PIA P 1PIA P BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵IA 这说明它们这说明它们

23、有相同的特征多项式有相同的特征多项式,所以特征值相同所以特征值相同. 11PI PPAP 1IPAP 山财大数学与数量经济学院杨素香32二二 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定义定义: 若若A相似于一个对角形矩阵相似于一个对角形矩阵, 则称则称A可对角化可对角化.定理定理5.5 n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵相似于对角形矩阵12 n 的充要条件为的充要条件为A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.山财大数学与数量经济学院杨素香33()(),121212nnnA xxxxxx 则有则有设设,12 An 则存在可逆的矩阵则存在可逆的矩阵P,使使,1PAP 即即.APP设设(),12

24、nPxxx ()1122nnxxx 即即(, , )1 2iiiAxxin 因因P可逆可逆,有有, 0P 所以所以(, , )1 2ixin 都是非零向量都是非零向量,因而因而,12nxxx都是都是A的特征向量的特征向量,是线性无关是线性无关,12nxxx并且由并且由P的可逆性知的可逆性知即即A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明 ()山财大数学与数量经济学院杨素香34()是是A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,它们所对应它们所对应,12nxxx设设的特征值分别为的特征值分别为,12n则有则有(, , ).1 2iiiAxxin (),12nPxxx 令令则有

25、则有()()1212nnAPA xxxAxAxAx(),1212nnxxx ()1122nnxxx P是线性无关是线性无关,12nxxxP可逆可逆,1PAP 因而因而A相似于对角形矩阵相似于对角形矩阵.山财大数学与数量经济学院杨素香3512nA 推论推论1 设设n阶方阵阶方阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值,12n 则则注注: 反之不成立反之不成立.推论推论2： 若若n阶方阵阶方阵A可以对角化的充要条件为对于每一个可以对角化的充要条件为对于每一个的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩阵矩阵 iA .inn 山财大数学与数量经济学院杨素香36推论推论2： 若若n阶方阵阶方阵A可以对角化的充

26、要条件为对于每一个可以对角化的充要条件为对于每一个的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩阵矩阵 iA .inn 证明证明 ()12,s 是是n阶方阵阶方阵A的的互异特征值互异特征值，设设其重数分别为其重数分别为12,.snnn对于对于,i 由于由于 ,iinnAIr 所以方程组所以方程组 oxAIi 的基础解系含有的基础解系含有in个解向量个解向量 1,2,.is 1,siinn 又又由定理由定理4.1.3知方阵知方阵A有有n个个特征向量特征向量线性线性无关无关.故故A可以对角化。可以对角化。()由定理由定理4.1.4可知，可知， ,iirIAn n 若对于若对于A的某个的某个in重特征值重

27、特征值,i 有有 ,iirIAn n 则则A的特征向量组的秩小于的特征向量组的秩小于n. 于是于是A的任意含的任意含n个个特征向量的向量组特征向量的向量组必必线性相关，线性相关， 即即A不能对角化，矛盾。不能对角化，矛盾。山财大数学与数量经济学院杨素香37例例1 ,111A= 131111 试判断试判断A可否对角化可否对角化? 若可对角化若可对角化, 试试写出可逆矩阵写出可逆矩阵P及相应的对角形矩阵及相应的对角形矩阵.解解: 上一节已求出上一节已求出A的特征值的特征值1232,1.311.1 及对应的特征向量对应的特征向量12111 ,0 ,01 由定理由定理5.5可知可知,A可对角化可对角化

28、.101,111 1110P 令令则则,111221PAP 2110P 111 ,101 3101P 111 ,110 ,122212PAP .133212PAP 山财大数学与数量经济学院杨素香38460350 ,361A 例例2 试判断试判断A可否对角化可否对角化? 若可对角化若可对角化, 试试写出可逆矩阵写出可逆矩阵P及相应的对角形矩阵及相应的对角形矩阵.山财大数学与数量经济学院杨素香39例例3 31,13A (1)试判断试判断A可否对角化可否对角化? 若可对角化若可对角化, 试写出可逆矩阵试写出可逆矩阵P及相应的对角形矩阵及相应的对角形矩阵.(2) A可与哪些对角形矩阵相似可与哪些对角形

29、矩阵相似?(3) 求求10A山财大数学与数量经济学院杨素香40122311221A 是否与对角形矩阵相似是否与对角形矩阵相似?例例4. 山财大数学与数量经济学院杨素香4100111,100Aa 问：问：a为何值时，矩阵为何值时，矩阵A可对角化？可对角化？例例5. 20111(1) (1),10Aa 解解 (1)先求特征根先求特征根得得A的特征根的特征根1231,1. (2)要要A可对角化，可对角化，1()1,rIA 110110101Aa 1()1,rIA 要使要使101001000a 10,1.aa即 则：则：山财大数学与数量经济学院杨素香42P,出似于对角形，若能，写。判断下列矩阵能否相2

30、3142281232A3221AA相似？阵与矩阵。判断下列矩阵哪个矩3000200121A3001200122A3000201023A3110210024A| |,|)()()(:,AIBBBAABA3321352132求对角形；能否对角化？若能写出矩阵的特征值；求，矩阵的特征值分别是。设三阶矩阵山财大数学与数量经济学院杨素香43第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化先来看一点补充知识：矩阵的共轭矩阵的共轭2121212121zzzzzzzzbiazbiaz）质：复数的共轭满足如下性，其共轭为复数的共轭：设 ;)( ) ;)( ) ; ) ;

31、) )()(TTsnijnmijnmijAAbBBABAAkAkBABAAaAaA4321其中质：矩阵的共轭具有如下性的共轭矩阵。为为复数，称为一复矩阵，即各元素设矩阵矩阵的共轭：山财大数学与数量经济学院杨素香44一一. 向量的内积向量的内积1. 向量的内积定义向量的内积定义与性质与性质:( ,). 1212()()nna aab bb ，,1 1221nnniiia ba ba ba b 设设n维向量维向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作.,TTnR为为列列向向量量时时，、，当当为为行行向向量量时时，、中中内内积积的的定定义义可可得得，当当由由注：注：(1) 定义定义第三

32、节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 12011012 ，,例：设向量例：设向量( ,) 则则3. 山财大数学与数量经济学院杨素香451 1） (,)=(, ) 2 2） (k,)=k( ,) 3 3） (+,)=( , )+(, ) 4 4） (, ) 0,0,当且仅当当且仅当=0=0时时有有(, )0 0 (2)内积性质内积性质2 . 向量的长度与性质向量的长度与性质(1) 定义定义12()naaa ，设设n维向量维向量称实数称实数为向量为向量的的22212( , )naaa . 模模（长长度度或或范范数数），记记作作山财大数学与数量经济学院杨素香46( (2 2) )模模的的性

33、性质质2(1)(,) (2)0,00 当当且且仅仅当当时时， ，(3)kk (4)( , ) ()CauchySchwarz 不不等等式式121222111()()nnnnniiiiiiiaaabbba bab ，,(5) () 三三角角不不等等式式对于对于n维向量维向量山财大数学与数量经济学院杨素香4711模为 的向量称为单位向量，如果，则向量即为一个单位向量。o由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式知，当不等式知，当( , ) 11 于是，我们可以定义两个向量之间的夹角：于是，我们可以定义两个向量之间的夹角：0 ,),(arccos200时时，其其夹夹角角为为，

34、或或规规定定：当当(3)单位向量单位向量3.正交向量组正交向量组, oo 时，有,对于任意的非零向量对于任意的非零向量用用的长度的倒数乘以向量的长度的倒数乘以向量,就得到就得到一个一个单位向量单位向量这一过程称为这一过程称为把向量把向量单位化单位化。 山财大数学与数量经济学院杨素香48 12011012 ，,例例1：设向量：设向量则则( ,)31cos,266 故故2.3 山财大数学与数量经济学院杨素香49(1)(1)正交（或垂直）正交（或垂直）( ,)0 设设 ， 为为任任意意两两个个向向量量，若若，则则称称 ， 正正交交或或垂垂直直，记记作作。)0,0,0,1(1)0,0,1 ,0(2)1

35、 ,0,0,0(n中，向量组中，向量组例如：在例如：在nR任意两个向量都正交，称其两两正交。任意两个向量都正交，称其两两正交。定义定义222例2：设向量 与向量 正交，证明。山财大数学与数量经济学院杨素香50由单个非零向量所组成的向量组也是由单个非零向量所组成的向量组也是正交向量组正交向量组。(2) 标准正交标准正交向量组向量组 如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为单位正交向量组单位正交向量组（或称（或称标准正交向量组标准正交向量组）.例例21, 0 ,21,21, 0 ,21,010321），（向向量量组组为标准正交向量组为标准正交向量

36、组.注：注：把正交向量组中每个向量单位化就得到标准正交向量组把正交向量组中每个向量单位化就得到标准正交向量组.12s ， ，如果向量组如果向量组两两正交两两正交, ,且且 1,2,jo js 则称则称12s ， ，为一个为一个正交向量组正交向量组。12s ， ，是正交向量组是正交向量组,则将则将每个向量单位化后得每个向量单位化后得即：若即：若12s ， ，为标准正交向量组为标准正交向量组,其中其中 1,2,.jjjjs 山财大数学与数量经济学院杨素香51定理定理1 1：正交向量组必是线性无关的向量组正交向量组必是线性无关的向量组. .20, ,(,), .ijiij ij 1211220.mm

37、mkkkkkk 设设有有数数， ，使使得得(,)0.iiiik 用用与与上上面面等等式式两两边边作作内内积积，可可得得, 0), 0iii有有（由由于于m),1,2,i 0 （从而从而ik.21线线性性无无关关，正正交交向向量量组组m证明证明:12m ， ，设设为正交向量组，则为正交向量组，则正交向量组的性质：正交向量组的性质：注：线性无关向量组未必是正交的向量组注：线性无关向量组未必是正交的向量组. .例例 120 1 0 ,1,1,2 向向量量组组（ ， ，）是线性无关，但不是正交的。是线性无关，但不是正交的。山财大数学与数量经济学院杨素香52施密特（施密特（SchmidtSchmidt）

38、正交化方法）正交化方法化无关组为正交向量组化无关组为正交向量组12121212,mmmmn 设设， ，是是 维维线线性性无无关关向向量量组组，则则存存在在一一个个正正交交向向量量组组，使使与与， ，等等价价。施密特正交化方法施密特正交化方法: :11 (1)令2122111(,) (2)(,) (m) ),(),(),(),(),(),(111122221111mmm-m-mmmmm(3) ),(),(),(),(222231111333 定理定理2山财大数学与数量经济学院杨素香53例例3 3：123(1,1,1,1),(3,3, 1, 1),( 2,0,6,8). 设线性无关的向量组用施密特

39、正交化方法求与其等价的正交向量组222231111333),(),(),(),()1 , 1 , 1 , 1 (11令令2122111(,) (,) 4(3,3,1,1)(1,1,1,1)42, 2, 2 , 2) 8 , 6 , 0 , 2() 1 , 1 , 1 , 1 (412)2, 2, 2 , 2(1632解解:) 8 , 6 , 0 , 2() 3 , 3 , 3 , 3() 4, 4, 4 , 4() 1 , 1, 1 , 1(山财大数学与数量经济学院杨素香54222231111333),(),(),(),(123(1,1,0),(1, 2,0),(1,0,1) )0 , 1 ,

40、 1 (11取取2122111(,) (,) 1(1, 2,0)(1,1,0)20 ,23,23) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21)0 ,23,23(31) 1 , 0 , 0(解解 : 1)先正交化先正交化标准正交化标准正交化例例4：将向量组：将向量组山财大数学与数量经济学院杨素香55)0 , 1 , 1 (10 ,23,232) 1 , 0 , 0(32)再单位化再单位化1111)0 , 1 , 1 (210 ,21,212221)0 ,23,23(129)0 ,23,23(32)0 ,22,22(3331) 1 , 0 , 0(123, 是一个标准正交向量组。是一个标

41、准正交向量组。则则山财大数学与数量经济学院杨素香56为为正正交交矩矩阵阵。，则则称称满满足足若若实实方方阵阵AIAAAT4.4.正交矩阵：正交矩阵：10010cossin, , 0121201sincos01212如：2).2).正交矩阵正交矩阵的性质：的性质：。为为正正交交矩矩阵阵，则则若若IAAAAATT) 1 (都都是是正正交交矩矩阵阵。、为为正正交交矩矩阵阵，则则若若1)2(AAAT。或或为为正正交交矩矩阵阵，则则若若11)3(AA为为正正交交矩矩阵阵。为为同同阶阶正正交交矩矩阵阵，则则、若若ABBA)4(1). 定义定义3). 标准正交向量组与正交矩阵之间的关系标准正交向量组与正交矩

42、阵之间的关系1TAA 山财大数学与数量经济学院杨素香57) ( 2121nnAA的的列列向向量量组组，即即是是，设设证证明明：1212 TTTnTnA A111212122212TTTnTTTnTTTnnnn 111212122212( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)nnnnnn 定理定理：设设 A A 为为 n n 阶实方阵，阶实方阵，A A 为正交矩阵为正交矩阵的充分必的充分必要条件是其要条件是其行（列）向量组为标准正交向量组行（列）向量组为标准正交向量组。山财大数学与数量经济学院杨素香58100010001TAAI即即A是正交矩阵是

43、正交矩阵.AAT111212122212( ,)( ,)( ,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnn 12, , ,n:是单位正交充分性向量组，即jiji, ji 01)(所以所以山财大数学与数量经济学院杨素香59必要性必要性:设设A为正交矩阵，即为正交矩阵，即IAAT100010001AAT111212122212( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)nnnnnn jiji, ji 01)(即有即有., , , 21是是单单位位正正交交向向量量组组所所以以n 山财大数学与数量经济学院杨素香60第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化

44、二二. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理定理1 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有n个实特征值，且特征向量是实向量个实特征值，且特征向量是实向量.证明证明: 因为任一实对称矩阵都有因为任一实对称矩阵都有n个复特征值个复特征值,所以只需证明所以只需证明每个复特征均为实数即可每个复特征均为实数即可.为为设设的一复特征值的一复特征值,A x为对应于为对应于 的特征向量的特征向量, 则有则有( ) 1Axx 转置转置TTTx Ax 取共轭取共轭TTTxAx ，因因A为实对称矩阵为实对称矩阵,从从而而( ) 2TTxAx (1)左乘左乘Tx ，(2)右乘右乘, x有有 TTTTx Axx xxA

45、xxx，即即 TTx xx x，因因,2 0Tx xx从而从而. 山财大数学与数量经济学院杨素香61 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化定理定理3 实对称矩阵实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征的对应于不同特征值的特征向量正交向量正交.定理定理2 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.即即111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)(,),121212122212212TTTTAxxAxxxAxxxxxxx结合上两式结合上两式(,)(,),11221212x

46、xxx所以所以(,),120 xx 从而从而.12xx 设设为为的两个特征值的两个特征值,且且A,12 ,12xx分别为对应于分别为对应于,12 的特征向量的特征向量,12 证明证明山财大数学与数量经济学院杨素香62 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化定理定理2 实对称矩阵实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量的对应于不同特征值的特征向量 正交正交.111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)121212122212TTTTAxxAxxxAxxxxx结合上两式结合上两式(,)(,),112212

47、12xxxx所以所以(,),120 xx 从而从而.12xx 证明证明:,12xx分别为对应于分别为对应于,12 的特征向量的特征向量,即：设即：设为实对称矩阵为实对称矩阵的两个特征值的两个特征值,且且A,12 ,12 12xx与正交.则则(,),212xx 山财大数学与数量经济学院杨素香63 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化定理定理3 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的每一个的每一个in,i 的秩的秩是是特征矩阵特征矩阵 iA .inn 重特征值重特征值从而对应于从而对应于特征值特征值i 恰好有恰好有in个个线性无关的特征向量。线性无关的特征向量。注：注： 任一任一n

48、阶实对称矩阵阶实对称矩阵A一定一定相似于对角形矩阵相似于对角形矩阵.三三 正交相似正交相似定义定义 设设A,B是两个是两个n 阶方阵阶方阵,如果存在一个正交矩阵如果存在一个正交矩阵P,使得使得则称矩阵则称矩阵A与与B正交相似正交相似.1 PAPB 注注: (1)由由正交相似的定义知正交相似的定义知.1 TPP 从而从而,上式可写成上式可写成. TP APB (2)若若A为对称矩阵为对称矩阵,则则B也为对称矩阵也为对称矩阵.山财大数学与数量经济学院杨素香64 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化定理定理4 实对称矩阵实对称矩阵A正交相似于对角形矩阵正交相似于对角形矩阵.证

49、明证明:12,s 是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的互异特征值互异特征值，设设其重数分别为其重数分别为12,snnn则则1.siinn 由定理由定理1及定理及定理3知，知，对应于对应于特征值特征值i 恰好有恰好有in个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量，把它们把它们正交化正交化并且并且单位化单位化， 即得即得in个个单位正交的特征向量单位正交的特征向量。1siinn 由由知，这样的知，这样的特征向量共有特征向量共有n个。个。由定理由定理2知，这知，这n个特征向量两两正交。个特征向量两两正交。以它们为列向量构成以它们为列向量构成正交矩阵正交矩阵P，则，则,1 PAP ,.121122snn

50、nssdiag 个个个其中其中山财大数学与数量经济学院杨素香65 线 性 代 数 讲 义第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化422242224A 解解 (1)先求特征根先求特征根2(8)(2)0得得A的特征根的特征根1238,2.(2)再求特征向量再求特征向量得特征向量为得特征向量为将将18 (),A xo 代入代入111 ,1 例例1.求正交矩阵求正交矩阵P,使使422242224A 正交相似于对角形矩阵正交相似于对角形矩阵,并写出对角形矩阵并写出对角形矩阵. 山财大数学与数量经济学院杨素香661111.333T 单位化单位化,得得得特征向量为得特征向量为将将232(),A xo 代入代入