同济版大一高数下第十二章第八节一般周期的ppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第三十三讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 以以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开 第十二章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础

2、、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)naxlxnxflbllnd

3、sin)(1其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5证明证明: 设设 f (x) 周期为2 l 的周期函数lxz, 则,llx,z令)(zF)(z lf则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件, 将它展成傅里里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的连续点处 )(xf变成是以 2 为周期的周期函数 ,

4、xflxf)2(zlx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令xdlzdlxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlxnxflldcos)(证毕 )()(zFxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以

5、综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支

6、撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8例例1： 设函数 f (x) 是周期为2的周期函数，它在区间(1，1 上的表达式为： 10010 xxxxf将 f (x) 展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形.0121233x xf1解：解：2, 1, 012kkx处间断f (x) 在间断点处的傅立叶级数收敛于121221kfkf21201在连续点处收敛于 f (x) ，其傅立叶系数为： f (x) 如图所示，它在“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点

7、的“群众性治安防控工程”。90a注：注：l=12110 xdxna10cosxxdnx10sin1xndxn101sinn xdxn 1cos122nn 11122nnnb10sinxxdnx11001coscosxxdnxn xnnnnnn 11cos1, 2, 1n, 2, 1n 10010 xxxxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10 sin) 1(cos1) 1(411122xnnxnnxfnnn, 2, 1, 012,kkxx例例1： 设函数 f (

8、x) 是周期为2的周期函数，它在区间(1，1 上的表达式为： 10010 xxxxf将 f(x) 展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形。 xS0121233x10a21na2211nnnbnn 11“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11例例2. 把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin220022coscos22

9、nxnxxdxnn nncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。122oyx(2) 将 作偶周期偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos202sin2nxxdn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21)k),2, 1(k则有22181(21)1cos(21)2kkxk )20(

10、 x12 kn222cos02nxn“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13例例3) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn(91 考研) 解解:y1ox12)(xf为偶函数,nnbn, 2 , 10100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 偶延拓后在,),(上连续 x225,) 12cos() 12(14122xkkk展开成以2为周1 , 1x的和.故得 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）

11、、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14, 0 x令得122) 12(14252kk故8) 12(1212kk121nn12) 12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12) 12(134nn62 x225,) 12cos() 12(14122xkkk1 , 1x由此求级数121nn的和.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15为正弦 级数. 内容小结内容小

12、结1. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3. 傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算.