同济版大一高数第十一章第一节对弧长和曲线积分ppt课件.ppt

《同济版大一高数第十一章第一节对弧长和曲线积分ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济版大一高数第十一章第一节对弧长和曲线积分ppt课件.ppt（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第二十讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 “雪

2、亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 二、对弧长的曲线积分的应用二、对弧长的曲线积分的应用“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念

3、与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定

4、义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什

5、么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中dx 可能为负. 此为一种新的和式极限。 定积分：分割对一元函数babaxxf,)(线积分： 分割。对二元函数LLyxyxf,轴上的一段时，在当xLknkkxf)0 ,(lim10不是定积分。0kkxS“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。73. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成)

6、 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf 5,ABBAf x y d sf x y d s由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，kS总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：换向不变号换向不变号( , , )df x y zs01lim(,)nkkkkkfs “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8tttttfsdyxfLd)()()(, )(),

7、(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分且),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分说明说明:, 0) 1 (sd因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22xdydsdxyox因此上述计算公式相当于“换元法”. “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9小弧段的求法：21( )y dy21(

8、)x dx22SdSdxd y21d ydSdxdx21dxdSd yd y22dxd ydSdtdtdt曲线曲线： :Lyxaxb :Lxycyd :xtLytt 22( )( )tt dtxdydsdxyox“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10),()(: rrL则( )cos, ()( )sinxryr则( )cos( )sindxrrd22( )( )ddSrr22222( )( )dxdyrrd( )sin( )cosdyrrd如果方程为极坐标形式:“

9、雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11syxfLd),(tttttfd)()()(),(22( , ( )baf xx21( )dxx (,)dcfyy21( )dyy)sin)(,cos)(rrfd)()(22rrsyxfLd),(极坐标：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(

10、ttttd)()()(222)(),(, )(tttf推广推广: : 设空间曲线弧的参数方程为222d(d )(d )()sxydz222( )( )( ) dtttt“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13例例1. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxdxxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B xdxxdxsd

11、222121)41 (d41812102xx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossin322222222()sin22() 30ababtbab.)(3)(22bababaab例例2.2222220()sinsin2ababtb dtsin)(sin)()(2222222222022b

12、tbadbtbabaab“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“

13、群众性治安防控工程”。16例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(222dtt ktataka2022222)()sin()cos(ttkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatadsd)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线tkad22“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17d d s例例5. 计算,d)(222szyxI其中为球面22

14、yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18例例6：计算：LsdyxIL 为图示三角形周界。BOABOAL解：解：100:xxdsdyOA102111:2xxdxdsdxyAB100:yydsdxOBOBABOAI10 xdx1012xd10ydy21x0, 1

15、AyO1 , 0B1xy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19例例7：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B解法解法123sincos:ttytxLtdsdtdtI03sintdt20sin2003coscostt231 , 0A0, 1C23,21BOxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”

16、。20ydyydyxsdy222111ydy21121231yydyI20231yydy2101yydy02321y1021y2321:yxL123y解法解法21 , 0A0, 1C23,21BOxy例例7：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21例例7：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点13,.22B解法解法321:xyLxdxsd211ACCB

17、I 210211xxdx2121211xxdx231 , 0A0, 1C23,21BOxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22例例8：计算LyxsdeI22L 由0222aayx.yxx 轴如图所围成及x2,2aaAyO0 , aB 解：解：xdsdxyoA2:02xattdasd43xdeaxOA0222xdeax20221ae34aABae dtcos:sinxatAByatLOAABBOaea4“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥

18、平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2300:xaxdsdyBOxdeaxBO0 xdeax010aaxee242aaLeaeI例例8：计算LyxsdeI22L 由222ayx.yxx 轴如图所围成及x2,2aaAyO0 , aB “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24例例9. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(

19、31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25例例10 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化

20、管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26例例1122()LLxdsxyds 计算22()d ,Lxxys其中L为上半圆周24.yx解解:22()Lxxyds048Lds“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27三、几何与物理意义三、几何与物理意义,),() 1 (的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积

21、sL),(yxfz “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。28,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsxIdsyI曲线弧的质心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。29例例1. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解:

22、建立坐标系如图,R xyoLsyILd2dsin2022RRdsin2023R30sin22R)cossin(3 R有对称性则 )(sincos:RyRxLsdyId2dRds 30(1s2 )dRco“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。30210,202xyxxyzz 和被平面截下部分的面积 A 。解：解：如图所示，先作柱面212xysdyxfAd,sdyx)2(,ABAf x y ds2ABxy dsxdxxxA2202121222:11022xABydsx d

23、xx 32ln833316163例例2：求由抛物柱面yzxsdsB0 , 2A“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。31例例3：已知曲杆方程为, 222xxy其上各点的密度241x求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M .3、质心.,YXM4、曲杆的转动惯量.yIxy4 , 2A4 , 2BO解：解：xdxsd241LsdS. 1xdx20241212 17ln 4172202412. 2xdxsdML376MsdyYXL0. 32 . 2)41 (27632022x

24、dxxsdxIdy2. 4xdxxIy2022)41 (215848“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。32例例4 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的形心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的长度dLls222ak由对称性0,X (1)tkadsd220.Y dLz s22k ak20dtt2222k ak故形

25、心坐标为),0,0(k“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。33内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。343. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf