概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布ppt课件.ppt
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1、第三章第三章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章 一维随机变量及其分布第一节 离散型随机变量12随机变量的概念随机变量的概念离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布常用的离散型分布一、随机变量的概念定义定义1 1 对于给定的随机试验, 是其样本空间,对 中每一样本点 ,有且只有一个实数 与之对应,则称此定义在上 的实值函数X为随机变量随机变量(Random variable)通常用大写英文字母表示随机变量,用小写的英文字母表示其取值 X一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币,观
2、察硬币的着地面,此时观察对象是硬币的面,因而是定性的,我们可引进如下的量化指标(记之为X):设X为一次投掷中出现正面的次数,即 反面正面,, 0, 1X二、离散型随机变量的分布律定义定义2 2 设X为随机变量,可能取的值是有限个或可数多个数值,这样的随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量,它的分布称为离散型分布离散型分布二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量,它可能取的值为 ,事件 的概率为 ,那么,可以用下列表格来表达X取值的规律:其中 N 这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律分布律(或称为概率分布),21xxixX , 2 , 1ipi二、离散型随机变量的分布律例
3、例1 1 在装有m个红球,n个白球的袋子中,随机取一球,观察取出球的颜色,此时观察对象为球的颜色,因而是定性的,我们可引进如下的量化指标(记之为X):当取到的是白球,当取到的是红球;0, 1X二、离散型随机变量的分布律则有于是X的分布律为nmmPXP抽到红球1nmnPXP抽到白球0二、离散型随机变量的分布律例例2 2 设随机变量 的分布律为:求 (1) (2) Y=2X+3 的分布律。2) 1( XY二、离散型随机变量的分布律解:由X的分布律可列出下表二、离散型随机变量的分布律由上表可定出(1) 的分布律为:(2) 的分布律为:2) 1( XY32XY三、常用的离散型分布1. 1. (0 01
4、 1)分布)分布如果X的分布律为其中 ,则称X的分布为(0 0)分布或两点分布)分布或两点分布(Two-point distribution)三、常用的离散型分布2. 2. 二项分布二项分布在n重伯努利试验中,如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数,则X可能取的值为 ,且由二项概率得到x取k值的概率因此,X的分布律为称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution),记作 ,这里n, 2 , 1 , 0pnBX,三、常用的离散型分布例例3 3 一个袋子中装有4个球,3个白球,1个黑球。从中任意取出1球,观察其颜色,放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球
5、的次数,求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率解 每次取出黑球的概率为1/4,可认为做3次重复独立的试验,每次试验中事件发生的概率为1/4,因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布 ,其分布律为41, 3B3 , 2 , 1 , 0434133kkkXPkk三、常用的离散型分布即为至多取出一次黑球的概率为322764276427101XPXPXP三、常用的离散型分布3. 3. 几何分布几何分布设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution),记作 1(1),01,1kXkpppk XG p三、常用的离散型分布几何分布具有下列
6、无记忆性:因此代入即得结论。()(),P Xmn XmP Xn m nN()(1),m nP Xmnp()(1)nP Xnp三、常用的离散型分布4.4.超几何分布超几何分布设N,M,k为正整数,且 , ,若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n,M,N的超几何分布超几何分布(Hype-geometric distribution),记作 (),0kn kMN MnNC CP XkknC,XH n M N三、常用的离散型分布一个袋子装有N个球,其中有N1个白球,N2个黑球(N=N1+N2),从中不放回地抽取n个球,设X表示取得白球的数目,则X的分布为超几何分布。即12(),0kn kNNnNC
7、CP XkknC三、常用的离散型分布5.5.泊松分布泊松分布设随机变量X的分布律为 其中 ,则称随机变量X服从参数为 的泊松分布泊松分布(Poisson distribution),记作 0( )XPekkXPk!, 2 , 1 , 0k三、常用的离散型分布例例4 4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布,且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同,求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率三、常用的离散型分布解 设X服从参数为 的泊松分布,由题意知即可解得因此,至少有两个急诊病人前来就诊的概率为10XPXPee! 1! 0101.21! 11! 011101211
8、110eeeXPXPXP三、常用的离散型分布定理定理1 1(泊松定理)lim(1)!kkkn knneC ppk(1)!kkkn kneC ppk三、常用的离散型分布例例5 5 设某人进行射击,每次射击的命中率为0.005,独立射击1000次,试求1 000次射击中集中次数不超过10次的概率解 设X为1 000次射击中的击中次数,对每次射击而言,相当于做一次伯努利试验,1 000次就是做1 000重伯努利试验,因此 ,而这1 000次射击中击中次数不超过10次的概率为005. 0 ,1000 BX1005986. 0!510kkekXP第二节 随机变量的分布函数12分布函数的概念分布函数的概念
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