梁的横向强迫振动ppt课件.ppt

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1、6.66.6梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动 1 1主振型的正交性这里讨论简单边界的梁的主振型正交性，梁可以是变截面或非匀质的。重写式（6.117）如下： （6.117） （6.126）设 、 分别是对应于固有频率 及 的主振型，由上式有 （6.127） （6.128）式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有 （6.129）利用分部积分，上式左边可写为AYEJY2)(iiiAYEJY2)(jjjAYEJY2)(ljiilijdxYAYdxEJYY020)(ljilijlijlijdxYEJYEJYYEJYYdxEJYY0000) ( )()(0)(2AYEJY)(xYi)(xYjij 由于

2、在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以上式右边第一、二项等于零，成为 （6.130）将式（6.130）代入（6.129），得 （6.131）式（6.128）乘以 并沿梁长对x积分，同样可得到 （6.132）式（6.131）与（6.132）相减后得 （6.133）如果 时 有，由上式必有 当 （6.134）ljilijdxYEJYdxEJYY00)(ljiiljidxYAYdxYEJY020lijjlijdxYAYdxYEJY0200)(022ljijidxYAYji ji00ljidxYAYji )(xYi 式（6.134）即梁的主振型关于质量的正交性，再由

3、（6.132）及（6.130）可得 当 （6.135） 当 （6.136）上面两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当 时，式（6.133）总能成立，令 （6.137） （6.138）常数 、 分别称为第j阶主质量及第j阶主刚度，由式（6.132）得知它们有下列关系： （6.139）如果主振型 中的常数 按下列归一化条件来确定： （6.140）00ljidxYEJYji 0)(0lijdxEJYYpjljMdxAY02pjljljjKdxYEJdxEJYY020)()(pjMpjKpjpjjMK2)(xYjjC,.2 , 1102jMdxAYpjljji ji 则得到的主振型称为正则振型，这时相应

4、的第j阶主刚度 为 。上式与（6.134）可合写为 （6.141）由（6.135）、（6.136）及（6.138）则得 （6.142） （6.143）2梁横向振动的强迫响应重写梁的横向强迫振动方程（6.113）如下： （6.144）将梁的挠度按正则振型 展开为如下的无穷级数： （6.145）pjK2jijljidxYAY0ijjljidxYEJY20ijjlijdxEJYY20)(),(),(222222txmxtxptyAxyEJx1)()(),(iiitxYtxy)(xYi 其中 是正则坐标，上式代入（6.144）后得上式两边乘以 并沿梁长对x积分，有由正交性条件（6.141）与（6.14

5、3），上式成为 （6.146）式（6.146）即第j个正则坐标方程，其中 （6.147） 即第j个正则坐标的广义力，由分部积分上式还可写为 （6.148） 假定量的初始条件为 （6.149）)(ti),(),()(11txmxtxpYAEJYiiiiii)(xYj ljiljiiilijidxxYtxmxtxpdxYAYdxEJYY01010)(),(),()()(2tqjjjjljjdxxYtxmxtxptq0)(),(),()()(tqjljjjdxxYtxmxYtxptq0)( ),()(),()()(),()0 ,(201xftyxfxyt 将式（6.145）代入（6.149），有上面

6、两式乘以 并沿梁长对x积分，由正交性（6.141）得 （6.150）式（6.150）即第j个正则坐标的初始条件，于是式（6.146）的解为 （6.151） 11)0()()()0 ,(iiixYxfxy120)0()()(iiitxYxfty)(xAYjljjljjdxxYxAfdxxYxAf0201)()()0()()()0(ljjjjjjjjjdtqttt0)(sin)(1sin)0(cos)0()(ijljidxYAY0 将形如上式的各个正则坐标响应代入（6.145），即得到梁在初始条件下对任意激励的响应。若是零初始条件，梁对任意激励的响应则为 （6.152） 如果作用在梁上的载荷不是分

7、布力及分布力矩，而是图6-13所示的集中力P（t）及集中力矩M（t），利用第一章介绍的 函数，它们可表示为 （6.145） 100100)(sin),(),()()(1)(sin1)(),(jltjjjjjtljjjjdxdtxmxxpxYxYdtdxYxmpxYtxy)( x1)()(),(iiitxYtxy （6.153） （6.154） 上面两式代入（6.148）后得到下列正则坐标的广义力： （6.148） （6.155） 上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 导数的筛选性质（见（1.76）而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 （6.156） 现在来考虑

8、等截面匀质梁对简谐激励的稳态响应，除了可用上述振型叠加法求解外，也可以用直接解法求。假设在梁上作用有下列简谐激振分布力： （6.157）)()(),(1xtPtxp)()(),(2xtMtxm)( )()()()( )()()()()()(21021jjljjjYtMYtPdxxYxtMxYxtPtq)(x10201)(sin)()( )(sin)()()(1),(jtjjtjjjjdtMYdtPYxYtxytxptxpsin)(),(ljjjdxxYtxmxYtxptq0)( ),()(),()( 方程（6.114）可写为 （6.158） 其中 ，设梁的稳态响应为 （6.159） 代入（6.

9、158）后得 （6.160） 其中 ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解 可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 其中 、 分别是 与 的拉氏变换，由上式解出txpEJtyaxysin)(1122244AEJa2txwtxysin)(),()(1)()(4xpEJxwxwIV224a)(1)()(44spEJswsws)(sw)(sp)(sw)(sp441)()(sEJspsw 已知 的拉氏逆变换是 ，从而根据拉氏变换的 卷积性质得到非齐次特解为 这样，方程（6.160）的通解为 （6.161） 上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出 的代入（6.159）， 即

10、得到梁的稳态响应。441s)sin(213xxshxdxxshpEJxw03)(sin)()(21)(xdxxshpEJxshCxchCxCxCxw0)(sin)()(32143sin2cos1)()(xw 例6.5 如图6-14所示，一简支梁在其中点受到常力P作用而产生静变形，求当力P突然移去时梁的响应。 解： 由材料力学得知初始条件为0)(2432043)()0 ,(20331 xftylxllxllxlylxlxlxyxfxytstst 其中 为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率 及主振型为 将主振型代入（6.140）的归一化条件，得 （6.140） 从而得知正则振型 中

11、的系数 。由式（6.150）算出正则坐 标的初始条件为 （6.150）EJPlyst483,.2 , 1sin)(,.2 , 14222ilxiCxYiAlEJialiiii12sin202iliCAldxlxiCA)(xYiAlCi2,.2 , 1102jMdxAYpjljljjljjdxxYxAfdxxYxAf0201)()()0()()()0( 因没有激振力，正则广义力等于零，由式（6.151）得 （6.151）ttiiicos)0()(ljjjjjjjjjdtqttt0)(sin)(1sin) 0 (cos) 0 ()(0)0(,.5 , 3 , 1)1()1(48sin43sin43

12、)0(21444214423203iiiiistllistlistiiCEJiAPlilCAydxlxiClxllxlAydxlxiClxlxAy 于是梁的自由振动为 由上式可见，梁在中央受常力作用产生的静变形只激发起对称振型的振动。本题中梁的自由振动是由于静载荷突然移去而引起的，与例6.1一样，用下面的方法计算正则坐标的初始位移 可以避免计算静载荷作用下的静变形 。,.3, 142143,.3, 1214441cossin) 1(2cos) 1(sin)()(),(iiiiiiiiiiitlxiiEJPltEJiACPllxiCtxYtxy)0(j)0 ,(xy 设作用于梁的静载荷是分布力

13、，因加速度为零，从式（6.144）得到将 代入上式，得上式两边乘以 ，并沿梁长对x积分，由正交性（6.143）得到对本题 ，因而由上式有 将 代入上式，即得到与前面相同的结果。)(xpst)(02222xpxyEJxstt1) 0()() 0 ,(iiixYxy)()0()(1xpEJYstiii)(xYjljstjjdxxYxp02)()(1) 0()2()(lxPxpst,.5 , 3 , 1) 1(2sinsin)2(1)0(212202iPCiiPCdxlxiClxPiiiiliji4442AlEJii 例6.6 图6-15的简支梁在中央作用有集中力矩 ，求梁的稳态响应。 解： 由例6.5已知正则振型为 其中 ，固有频率为 ，由式（6.155）求出正则广义力为tMsin0,.2 , 1sin)(ilxiCxYiiAlCi2alii2tiliCMtqiisin2cos)(0 其中 ，第i个正则方程为 由上式求出正则坐标的稳态响应为 于是梁的稳态响应为 由上式看出在梁中央作用的集中力矩只激发起反对称振型的振动。,.)4 , 2() 1(2cos2iiitiliCMiiiisin2cos02tiliMCtiiisin2cos1)(022,.4, 2222201022sin) 1(sin2sin2cos1sin),(iiiiiiilxiitAlMtiliMClxiCtxy