近世代数ppt课件(全)--2-9-群的同态、同构.ppt

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1、 2022-8-2第二章第二章 群论群论 9 群同态、同构群同态、同构 2022-8-2GG GG若存在群若存在群到到群群的的同态满射同态满射，则称，则称群群与与群群同态同态； GG GG若存在群若存在群到到群群的的同构映射同构映射，则称，则称群群与与群群同构同构. . AAsA 假定假定是集合是集合到到的一个满射，的一个满射，( ) ( )|ssaas ，称，称为为s 在在之下的象；之下的象；sA ，称，称1( ) | ( ),ssaaa as s 在在之下的逆象之下的逆象. .为为 2022-8-2GG HG ()HH 群群与与同态，同态，是是到到的同态的同态满满射，则射，则GG(1)(1

2、)11( ), ()( ) .eeaa(2)(2)(3)(3)HG()HH G(4)(4)HG 1()HH G G (5)(5)HG1()HH G定理定理1 1(6)(6)是循环群，则是循环群，则GG也是循环群也是循环群. . 2022-8-2两个代数系统两个代数系统同态，同态，GG与与若若G是群，是群，则则G也是群也是群.证明：证明：GG ，G是群，有结合律，则是群，有结合律，则G也有结合律；也有结合律；( ) ( )()( ),eaeaa 是同态满射，有是同态满射，有,.( )aGaG staa ( )ee 是是G的左单位元；的左单位元；11() ( )()( ),aaa aee 1()a

3、 ( )aa 是是的左逆元的左逆元G也是群也是群. 2022-8-20,1,2,3G ()mod4a bab 关于关于做成群做成群.(, )GZ证明：取证明：取:mod4,()xxxZ 是是G到到G的同态满射，的同态满射，GGG而而是群，是群，因此因此G是群是群. 2022-8-2G : 是是GG到到的同态满射，的同态满射，.GG全体正负奇数全体正负奇数，1, 1G 代数运算均为数的普通乘法代数运算均为数的普通乘法正奇数正奇数1负奇数负奇数-1G是群，是群，而而G不是群不是群. 2022-8-2GG( )ee 1( )?ee (, )GZ 0,1,2,3,G ()mod4a bab (0)0m

4、od40e 1( ), 8, 4,0,4,8,e 思考题思考题1 1：，那么，那么例例1 1 与与 同态同态:mod4,()xxxZ 2022-8-2定义定义3GGeGe1( )|.( )KereaGae 设设是群是群到群到群的同态映射的同态映射, ,是是的单位元的单位元. . 称称在在中的所有中的所有的的核核, , 记作记作G逆象组成的集合为同态映射逆象组成的集合为同态映射(, ),(, )GZGR :( 1)nn 是是GG到到的同态映射的同态映射Ker 全体偶数全体偶数 2022-8-2引理引理1GG .Kere 若若是是群群到到群群的同态映射的同态映射是单射是单射，则，则证明：证明：,(

5、 )()( ) ( )( )aGaeaeaee ,( )( )nKernee 而而是单射是单射, .neKere ( )( )ab 若若，则，则11( ) ( )()ababe 1abeab 是单射是单射. . 2022-8-2引理引理2Ker 若若GG是是群群到到群群的同态满射的同态满射，则，则.G1, ( )GGeGKereG ,aGnKer 11( )( )( ) ( )a eaaae 证明：证明：1anaKer 11()( ) ( ) ( )anaana Ker .G 2022-8-2G/G N( :,)aaN aG G/G N:,aaN aG 定理定理3 3 群群同它的每个商群同它的

6、每个商群定义定义4 4 称群称群到商群到商群的同态满射的同态满射为为的自然同态的自然同态. .同态同态. .G/G N到到KerN 注：注：,HG ()/HH N 2022-8-2定理定理4 （群同态基本定理）（群同态基本定理）/.G KerG ( )()aKeraaaG： GG 群群与与同态，同态，是是到到满满射，则射，则GG的同态的同态证明：证明：取取 2022-8-2GG定理定理3 3说明任何群都同它的商群同态；说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同另一个群同态，同态，在同构意义下是在同构意义下是的一个商群的一个商群. . 定理定理4 4说明一个群说明一个群则这个群则这个群G因此，在因

7、此，在同构意义下同构意义下，定理，定理3 3与定理与定理4 4的意的意思思是：是：每个群能而且只能同它的商群同态每个群能而且只能同它的商群同态. . 2022-8-2GGGG |G| |/|GG Ker 推论推论1 1：设：设与与是有限群，且是有限群，且，则，则推论推论2 2： 循环群的商群也是循环群循环群的商群也是循环群. .整除整除|.G|G 2022-8-2 GGKerN ()NN /G NG N :( )aNa N 定理定理5 5 设设是群是群到群到群的同态满射的同态满射，则，则，又，又,G证明：证明：取取 2022-8-2N/G NG HH N 例例4 4 ，则，则,GHNH ,G证明：证明： /GG N KerN ()/HH N H ,G/G N/G NG HH N