三重积分习题课ppt课件.ppt

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1、三重积分的轮换对称性三重积分的轮换对称性: :(, )d d d(, )d d d .fx y zx y zfy x zx y z 1.(两字母轮换两字母轮换) 如果将如果将x,y换为换为y,x积分域积分域 不变不变,则则2.(三字母轮换三字母轮换) 如果将如果将x,y,z换为换为y,z,x积分域积分域 不变不变,则则(, )d d d(, ,)d d d .fx y zx y zfy z xx y z 3.(三字母轮换三字母轮换) 如果将如果将x,y,z换为换为y,z,x积分域积分域 不变不变;当被积函数当被积函数f(x,y,z)中中x,y,z依次轮换，函数的形式不依次轮换，函数的形式不变变

2、;而而f=1+f2+f3 ,且且x,y,z依次轮换时，依次轮换时，f1，f2，f3依次依次轮换，则轮换，则123d d d3d d d3d d d3d d d .f x y zfx y zfx y zfx y z 其中其中 为球面为球面x2+y2+z2=1所围成的区域所围成的区域.()d d d3d d d0 xyzx y zx x y z则则d d dd d dd d dx x y zy x y zz x y z ()d d dxyzx y z 例例例例 计算三重积分计算三重积分2() d d dIxyzx y z 其中其中 ：0 x 1，0 y 1，0 z 1解解22() d d d9d

3、d dIxyzx y zxx y z 错解错解解解正确做法正确做法222()d d dIxyzx y z 分析分析 积分区域和被积函数都具有轮换对称性积分区域和被积函数都具有轮换对称性2()d d dxyyzzxx y z 222()d d d2()d d dIxyzx y zxyyzzxx y z 6d d dxy x y z xzyo11111120000003ddd6dddxyxzxyxyz xyo1416313 .25 23d d dxx y z .三重积分习题课三重积分习题课 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . 重点：重点：1.计算；计算； 2.应用应用 上边界

4、曲面（上边界曲面（上顶上顶）xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx( , , )df x y zv 21( , )( , )( , , )dd .xyzx yzx yDf x y zz 下边界曲面（下边界曲面（下底下底）xOy 坐标面上的坐标面上的投影区域投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分一、利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二先一后二”（一）先投影，再确定上、下面（一）先投影，再确定上、下面 x0z yc1c2 d21ccz ()d dzDf x, y,zx y .zDz （二）（二）截面法截面法zyxzyxfIddd ),( zDyxczczyx

5、),( ,| ),(21c1, c2: 向向 z 轴的投影区间轴的投影区间 Dz : 过过 z c1, c2且垂于且垂于z轴轴的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 0 xz yM(x, y, z)M(r, , z)zrP(x, y, 0) cosrx xyz sinry 柱面坐标柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z) z = z. 二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为 r 及及 r+dr 的圆柱面的圆柱面； 平

6、面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf dV =zrrddd .柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd),( dVzrrddd 0 xz yM(x, y, z)M(r, , )r Pyxz. cos sinrx sin sinry cosrz .球面坐标球面坐标 三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及

7、+d zyxzyxfddd ),( r 2 sin drd d dVdV = dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf ( (一一) )平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D, DD d( (二二) )体积体积 设曲面方程为设曲面方程为.),( , 0),(Dyxyxfz 则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为: DyxfV d),(则其面积为则其面积为:占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为: : zyxVddd重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 d),(yxMAds xyzo Sd d2211cosyxff d1d22y

8、xffA 曲面曲面S的面积的面积元素元素 cosd A xyDyxffA d122曲面曲面S的面积的面积公式公式)1 ,(yxffn ),(yxfz n MAdz dn ( (三三) )曲面的面积曲面的面积oxyD),(yx (1) (1) 平面薄片的质心平面薄片的质心 d xy三、重积分在物理上的应用三、重积分在物理上的应用( (一一) )质质( (重重) )心心,d),(d),( DDyyxyxxMMx DDxyxyxyMMy d),(d),(2) (2) 空间物体的重心空间物体的重心 设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数),(zyx oxyzdV zxy重

9、心重心 ,d),(d),( VzyxVzyxxMMxyz ,d),(d),( VzyxVzyxyMMyzx VzyxVzyxzMMzxyd),(d),( DyyxI d),( (1) (1) 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量oxyD),(yx d xy DxyxI d),( DoyxI d),( 2y2x)(22yx ( (二二) ) 转动惯量转动惯量 vzyxIxd),( )(22zy (2)(2)空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量则则转动惯量转动惯量为为 vzyxIyd),( )(22zx vzyxIzd),( )(22yx vzyxId),(0 )(222zyx 设物体占有空间域设

10、物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数),(zyx oxyzdV zxyxyz设物体占有空间区域设物体占有空间区域V, 体密度为体密度为),(zyx 区域区域 V 之外有一质量为之外有一质量为 m 的质点的质点 A(a, b, c), 求物体求物体 V 对质点对质点 A 的引力的引力.( (三三) ) 引力引力于是引力于是引力F在三个坐标方向上的分量为在三个坐标方向上的分量为,)(,(3dvraxzyxmGFVx ,)(,(3dvrbyzyxmGFVy .)(,(3dvrczzyxmGFVz 其中其中G为万有引力系数，为万有引力系数， ,)()()(|222czbyaxAMr 例例

11、1 12222()d11xzvzxyzxy 计计算算， 其其中中由由与与所所围围成成的的 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(d0.x v 有有()ddxzvz v22cos24000ddcossin drrr .67 例题例题（画图画图）z 0 xy1r=2 cos 4 .M.: 20 40 r cos20 rz =0y = 0 x =00y x 画图画图x0z y1121DxyDxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底121 21 010d)21(dxyyxxx481 .

12、例例2 2：x + 2y + z =1Dxy d d d 0, 0 , 02 1 .Ixx y zxyzxyz 计计算算三三重重积积分分，其其中中由由及及围围成成 yxDzxyxxy210dddI =0 zx0z y111Dyz21 1-(1-)00d(1)(1)dyy-zyyyz ez e41 .例例3 3：x + y + z =12(1)111000dd(1)d .y zxx zIxzy ey 计计算算三三重重积积分分 zyzyDxeyzyyz10)1(d)-1(dd2I = 解解 直接积分困难，考虑改变积分次序直接积分困难，考虑改变积分次序2111(1)000dd(1- )dyy zy

13、zyzy ex 21-(1- )01(1)d2yyey 例例4 42222222()d:2.zxvxyzRxyzRz 计计算算，与与所所围围的的公公共共部部分分 解解为方便为方便采用先二后一法较采用先二后一法较为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为又又)(zDz面为对称，面为对称，关于关于 yoz d0.x v 2dIzv 222220:2dd dzRD xyRz zzzx y 222222:dd dzRRD xyRzzzx y .480595R 例例5 5222d:1.zevxyz 计计算算， 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面

14、被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz d2dzzevev 上上10( )2d d dzD zx y ez 1202(1) dzzez .2 例例6 6222d:20,0,2.z xyvyxxyzz 计计算算，与与围围成成 解解 2 022dddzzyxyxIxyD 2cos 0 2 0dd2rrr.932 0y xDxy轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zxzy 022 .d)(22vyx 求求解解轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的绕绕由曲线由曲线zxzy 022旋旋转转曲曲面面方方程程为为：zyx222 8xyzO例例7 7.8围围成成的的空空间间区区域域的的曲曲

15、面面与与平平面面 z 8020420d)4(dzrz 法法1 vyxd)(22 yxyxdd)(22 zyx222 先二后一先二后一 80dzrrrzdd20220 80dz 80220ddzz .31024 8xyzO法法2vyxd)(22 轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zxzy 022 围围成成的的空空间间区区域域，的的曲曲面面与与平平面面8 z旋旋转转曲曲面面方方程程为为：zyx222 zrdrrrdd82240202 31024 8xyzO解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx d0.xz v 同同理理亦亦有有例例8 82() d d d ,Ixyzx

16、y z 22yxz 2222 zyx计算计算其中其中 是由抛物面是由抛物面 和球面和球面 所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域. ,20 , 10 r,222rzr ,),(:xyDr 221200222dd()drrIr rrzz ).89296(60 a所围成立体的表面积.所围成立体的表面积.与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面 2 3 22222azyxyxaz 求求yxzo例例9 9xyzoDS =1S2S D : azyxyxaz2322222a2 02 222zayx即即2S2S2S1S.1S.例例1010所围成立体的表面积.所围成立体的表面积.与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面

17、 2 3 22222azyxyxaz 求求 azyxyxaz2322222 02 : 222zayxD即即2211d dxyDSzzx y .例例1010所围成立体的表面积.所围成立体的表面积.与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面 2 3 22222azyxyxaz 求求 解解2223d d3Dax yaxy 22220013dd3aar rar 2)13(32a 2221()() d dDxySx yaa 2222001ddaar r ra 2)3232(a S =21SS 2316a z = 0的重心的重心求均匀半球体求均匀半球体 0 , : 2222 zazyxyxzo yx 则则,zy

18、x)，（设设重重心心为为 zyxzVz ddd1球面坐标球面坐标a332a V .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故重心为故重心为.用哪种坐标？用哪种坐标？r = a arrrV 022020dsincosdd1 .例例1111例例1212 计算极限计算极限222401lim()d ,tVIfxyzvt 其中其中 )(,| ),(2222tftzyxzyxV 具有连续导数具有连续导数, 且且. 0)0( f222()dVfxyzv22000dd( )sindtf rrr204( )dtf rrr 20404( )dlimttf r rrIt 3204)(4limtttft ttft)(lim0 ).0( 1)( lim0ftft 解解:测测 验验 题题