偏导数计算在偏微分方程中的应用ppt课件.ppt

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1、1第十二节第十二节 偏导数计算在偏微偏导数计算在偏微 分方程中的应用分方程中的应用验证给定函数满足某偏验证给定函数满足某偏微分方程微分方程第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用变量代换变量代换小结小结 思考题思考题 作业作业 2一、验证给定函数满足一、验证给定函数满足 某偏微分方程某偏微分方程2222220.uuuuxyz例例 验证函数验证函数在定义域上满足在定义域上满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程:2221uxy z 3例2 设函数( , )z zxy由方程,0zzF xyyx确定,证明:.zzxyz xyxy 4由由例例5,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu si

2、n,cosryrx 解解 ),(yxfu现将现将22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表达式转换为把下列表达式转换为极坐标系极坐标系中的形式中的形式:),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续,)sin,cos( rrf函数函数),(yxfu 换成极坐标换成极坐标 及及r的函数的函数:及及 以及函数以及函数),( rFu , r对对 的偏导数的偏导数来表达来表达.二、变量代换二、变量代换5复合而成复合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr

3、 ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu6 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 7ruruxu sincos (2) 22xur sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续x 2222)2(yuxu cos22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 8 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己练自己练) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin sin yrry cos 9两式相加两式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr10例 以 ,yuvyx作自变量,wyzx作函数,变换方程:2222zzxxxy11二、小结二、小结会变换方程会变换方程12作业作业习题习题.12(122.12(122页页) )2.