有限元法PPT课件.ppt

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1、工工 程程 有有 限限 单单 元元 法法机电工程学院机电工程学院课程介绍课程介绍一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、有限元软件ANSYS应用。二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析 实际问题来掌握有限元理论。三、学时数：36学时（理论学时+上机学时）四、考核方式：平时成绩+报告成绩工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院第一章第一章 概述概述1.1 1.1 有限元法概述有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。工程有限单元法工程有限单元法

2、机电工程学院机电工程学院一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？ 有限元法是将连续体理想化为有限个单元有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。自由度的连续体。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 有限元方法是分析连续体的一种很有效的近似计算方法。是计算机问世以后迅速发展起来的一种广泛用于工程结构建模与分析的方法。说明工程实际问题与计算方法说明工程实际问题与计算方法息息相关。息息相关。 自然现象的背后都对应

3、有相关的物理本质与事物规律，用数学方法对物理本质与事物规律进行描述可以得到普适性定律和特定性定理，以及各种形式的（如代数、微分或积分）数学方程，即数学模型。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 对于一个实际的工程问题，建立数学模型时，不仅需要根据实际物理背景采用有效的数学方法，还要考虑求解的效率、结果的精度以及方法的适用性等因素，即分析方法。 常用的分析方法有： 1. 对线性的、边界规则的简单问题，一般可以利用解析法，得到精确解。 2. 对于许多实际工程问题，由于研究系统的庞大，使得微分方程、边界和初始条件的复杂性大大增加，一般难以得到它的精确解。对非线性的、边界不规则等问题，

4、一般不存在精确的解析解，只能利用数值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院有限元方法的发展首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效 1941年，Hrenikoff 利用框架分析法（framework method）分析平面弹性体，将平面弹性体描述为杆和梁 的组合体； 1943年, Courant 在采用三角形单元及最小势能原理研 究扭转问题时，利用分片连续函数在子域中近似描述未知函数此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、此后，有限元方法在固体力学、温

5、度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题流固耦合（水弹性）问题，均均有发展有发展。 工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结构与力学分析。学等设计过程中的结构与力学分析。 实例实例1 1(EMA-(EMA-火箭发动机火箭发动机, ,卫星卫星, ,雷达雷达) )工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院实例实例2 2 (汽车汽车,工程机械工程机械)工程有限单

6、元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。 “分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散结构离散- -单元分析单元分析- -整体求解整体求解工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院2.12.1有限元法的实现过程有限元法的实现过程工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院(1)(1)对象对象离散化离散化 当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究

7、的对象进行合理的离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问题进行有限元分割。( (2 2) )单元分析单元分析 有限元方法的核心工作是单元分析，通过分析各单元的结点力与结点位移之间的关系和边界条件，以便建立单元刚度矩阵。( (3 3) )构造总体方程构造总体方程 将单元刚度矩阵组成总体方程刚度矩阵，且总体方程应满足相邻单元在公共结点上的位移协调条件，即整个结构的所有结点载荷与结点位移之间应存在相互的变量关系。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院4 4. .解总体方程解总体方程 在求解有限元模型时，应考虑总体刚度方程中引入的边界条件，以便得到符合实际情况的唯一解。5.5.输出结果输

8、出结果 有限元模型求解结束后，可通过数值解序列或由其构成的图形显示研究对象的物理结构变形情况以及各种物理量间的变化关系，如通过列表显示各种数据信息，用等值线分布图显示等受力点，或动画显示各种量的变化过程。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院1) 1) 直接方法直接方法 直接方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法具有简单、物理意义明确、易于理解等特点。2) 2) 变分方法变分方法 变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性问题的模型建立。3) 3) 加权残值法加权残值法 对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”

9、不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。2.2 2.2 建立有限元方程的常用方法建立有限元方程的常用方法工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不规则问题。规则与不规则问题。有限元法其实是非线性问题，如图右所示。2.3 2.3 有限元法与工程求解问题的关系有限元法与工程求解问题的关系工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院三、有限元法的基本步骤三、有限元法的基本步骤 无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步

10、骤为： （1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等； （2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院（4 4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个）利用结构力的平衡条件和边

11、界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。的有限元方程，求解出节点位移。重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。各种单元的分析方法又是一致的。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院四、有限元法的学习路线四、有限元法的学习路线 从最简单的平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论及其相关应用。 工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院五、有限元法的发展与应用五、有限元法的发展与应用 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归

12、结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院（一）算法与有限元软件（一）算法与有限元软件 从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： 大型线性方程组的解法， 非线性问题的解法。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院目前应用较多的通用有限元软件如下表：目前应用较多的通用有限元软件如下表： 软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，

13、最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院（二）应用实例（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学 。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动

14、，用转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/NastranMSC/Nastran完成）完成）工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院基于基于ANSYSANSYS的齿轮啮合仿真的齿轮啮合仿真 工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院第第2 2章章 弹性力学基本方程及平面问题的有限元法弹性力学基本方程及平面问题的有限元法工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院2.1 2.1 弹性力学简介弹性力学简介 本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。工程有限单元法工

15、程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳

16、及究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。个尺寸相当的构件。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因材料力学是对构件的整个截

17、面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它

18、们的适用范围。答的精确程度，并确定它们的适用范围。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学图 1-3a图 1-3b例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方

19、法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学基本方程弹性力学基本方程 一一 、弹性力学中的几个基本概念：、弹性力学中的几个基本概念： 1、体力体力，是分布于物体体积内的外力，如重，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号解为三个成分，用记号X X、Y Y、Z Z表示。表示。 2 2、面力、面力，是分布于物体表面的力，如静水压，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物

20、体与另一物体之间的接触压力等。单位力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号成分，用记号 来表示。来表示。,vvvxy z工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 3 3、 内力、平均应力和应力内力、平均应力和应力 （1）内力（Internal forces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力； （2）平均应力（ the average stress ）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（ elementary area ）A 上的力为F ，则F/A 称为A 上的平均应力；

21、（3）应力：如果假设内力分布连续，命 A无 限减小并趋向P点, 则F/A 将趋向一个极限 p:这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。pAFA0lim弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 内力、平均应力和应力的概念内力、平均应力和应力的概念工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院车辆工程技术中心车辆工程技术中心4. 4. 正应力和切应力的概念正应力和切应力的概念 正应力：应力在作用截面法线方向的分量；切应力：应力在作用截面切线方向的分量。 正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六

22、面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,x, dy,dy, dz.dz.正平行六面体应力如图所示.工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院(1) 应力的表示 正应力用表示. 它的下标表示作用方向.如x 表示正应力沿着 x 方向;剪应力用 表示, 它有两个下标, 例如xy 表示剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向. (2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 这个应力符号的规定与材料力学的不同, 在材料力学中:

23、 正应力的符号为拉为正, 压为负; 而剪应力为正面向下的为正; 负面向上为正. 或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正, 顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。的剪应力是互等的。( (大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同) )。因。因此剪应力记号的两个角码可以对调。此剪应力记号的两个角码可以对调。xyyxyzzyzxxz，工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院

24、机电工程学院可以证明可以证明: :如果如果 这六个量这六个量在在P P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的的应力状态，它们就称为在该点的应力分量应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标不是常量，而是坐标x x、y y、z z的函数。的函数。六个应力分量的总体，可以

25、用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来来表示：表示：xyzxyyzzx、 xyTzxyzxyyzzxxyyzzx工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院5 5、形变和正应变、剪应变的概念、形变和正应变、剪应变的概念 （1）形变: 形状的改变，它包含长度和角度的改变。 （2）正应变： 各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。 （3）剪应变： 各线段之间的直角的改变。6 6、位移、位移 是指位置的移动. 它在 x, y 和 z 轴上的投影用 u, v 和 w, 来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院二

26、、弹性力学中关于材料性质的基本假定二、弹性力学中关于材料性质的基本假定 (1) (1) 连续性连续性:假定物体是连续. 即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满, 不留任何空隙. 这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示; (2) 完全弹性完全弹性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性, 是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质. 而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形. (3) 均匀性均匀性:假定物体是均匀的, 整个物体由同一材料组成. (4) 各向同性各向同性: :假定物体是各向同性的, 即物体的弹性性质在所有各个方向都相同.

27、 符合以上四个假定的物体, 称为理想弹性体理想弹性体.工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院(5) 小变形假定小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小于1. 因此, 本课程所讨论的问题, 都是理想弹性体的小变理想弹性体的小变形问题形问题. .工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院三、弹性力学的研究方法三、弹性力学的研究方法 在弹性体内部, 考虑静力学, 几何学和物理学三方面条件, 分别建立三套基本方程. 此外, 在弹性体的边界上, 建立边界条件.:平衡方程 根据微分体的平衡条件基本方程 几何方程 根据微分线

28、段上形变与位移之间的几何关系物理方程 根据应变和应力之间的物理关系位移边界条件位移边界条件边界条件边界条件应力边界条件应力边界条件工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程- -平衡方程平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程- -几何方程几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学的基本方程弹

29、性力学的基本方程- -物理方程物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量； -泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，2 1EG工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院在限元法中，物理方程可表示为：在限元法中，物理方程可表示为： D10001-1-10001-1-10001-1-(1-)1-2(1)(1-2 )000002(1-)1-2000002(1-)1-2000002(1-)xxyyzzxyxyyzyzzxzxE 工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程- -边界条件边界条件susususvswvxvyvz

30、工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院四、弹性力学问题的解法四、弹性力学问题的解法空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量 ，6个应变分量 ，3个位移分量 ，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。,xyzxyyzzx ,xyzxyyzzx , ,u v w工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院 按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。 由于有限元模型是对实际结构的反

31、映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。工程有限

32、单元法工程有限单元法五、五、 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a1-8a示一平衡的杠杆，对示一平衡的杠杆，对C C点写点写力矩平衡方程：力矩平衡方程：图图1-8b1-8b表示杠杆绕支点表示杠杆绕支点C C转动时的转动时的刚体位移图：刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：上式是以功的形式表述的。表明：上式是以功的形式表述的。表明：图图a a的平衡力系在图的平衡力系在图b b的位移上作功的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。做虚功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A图 1-8BAbaBAPbPaABBAPbPa0

33、AABBPP 机电工程学院机电工程学院虚功原理虚功原理APABP 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和和 这两个位这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。一定满足上式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，否真正发生了

34、位移，而假想它发生了位移，( (由于是假想，故称为由于是假想，故称为虚位移虚位移) )，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a1-8a中的中的 和和 所作的功就不是发生在它本身所作的功就不是发生在它本身( (状态状态a)a)的位移上，的位移上，( (因为它本身是平因为它本身是平衡的，不存在位移衡的，不存在位移) )，而是在状态，而是在状态(b)(b)的位移上作的功。可见，这个的位移上作的功。可见，这个位移对于状态位移对于状态(a)(a)来说就是

35、虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态(a)(a)假象的位移。假象的位移。B工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院虚功原理虚功原理cRcRBP 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，两个方面，力和位移并不是随意的。力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的

36、微小的刚体位移。 还要注意，还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该这时该约束力叫做被动力。约束力叫做被动力。( (如图如图1-81-8中的反力中的反力 ，由于支点，由于支点C C没有位移，没有位移，故故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零) )。反之，如图。反之，如图1-81-8中的中的 和和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在

37、写虚功平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。BP工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功移上所作的总功( (各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和) )恒对于零。恒对于零。虚功原理用

38、公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。0 WP 工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图1-81-8的杠杆是绝对刚性，的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功将虚功原理用于弹性变形时，总功W W要要包括外力功包括外力功(T)(T)和内力功和内

39、力功(U)(U)两两部分，即：部分，即： W = T - U W = T - U ；内力功；内力功(-U)(-U)前面有一负号，是由于弹性体在前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0T - U = 0 外力虚功外力虚功 T = T = 内力虚功内力虚功 U U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性弹性力学中的虚功原理可表达为：在

40、外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功( (外力功外力功) )等于等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功整个弹性体内应力在虚应变上的虚功( (内力功内力功) )。工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院六、两种平面问题六、两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、任何实际

41、问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。力分量即可。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平平面面应应力力问问题题222()0()0()0ztzxtzytzzz，000zzxxzzyyz，xyxyyx、 厚度为

42、厚度为t t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为以薄板的中面为xyxy面，以垂直于中面的任一直线为面，以垂直于中面的任一直线为Z Z轴。由于薄板轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：有：于是，在六个应力

43、分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOYXOY平面的三个应平面的三个应力分量，即力分量，即 ，所以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。x xy y0 0t/2t/2z zy y图 1-10工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应力问题平面应力问题(1-2) xyTzxyzxyyzzxxyyzzx应力矩阵应力矩阵(1-2)(1-2) (1-18) xyxy可以简化为：可以简化为：工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院1()1()1()111xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 物理方程物理方程(

44、1-10)中后两式可见，这时的剪中后两式可见，这时的剪应变：应变：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可见：中的第三式可见：一般一般 ， 并不一定等于零，但可由并不一定等于零，但可由 及及 求得，在分析问题时不必考虑。于求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变矩阵三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：简化为：00zxyz，)(yxzE0zzyxyyx、 19)-(1 xyyx工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应力问题平面应力问题物理方程物理方程(1-10)简化为：简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化

45、成应力分量用应变分量表示的形式：20)-(1 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21)-(1 211)1 (211222xyxyxyyxyyxxEEEE工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应力问题平面应力问题将将(1-21)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：22)-(1 2100010112xyyxxyyxE D 23)-(1 2100010112ED工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应变分量需要

46、考虑，所以几何方程(1-3)简化为：简化为：1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程(1-17)简化为简化为 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应变问题平面应变问题 一纵向一纵向(即即Z向向)很长，且沿横截面不很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如

47、图长度变化的面力和体力，如图1-11所示。所示。 由于物体的纵向很长由于物体的纵向很长(在力学上可近在力学上可近似地作为无限长考虑似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为面，任一纵线为Z轴时，则所有一切轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是方向变化，它们都只是x和和y的函数。的函数。此外，在这一情况下，由于对称此外，在这一情况下，由于对称(任一任一横截面都可以看作对称面横截面都可以看作对称面)，所有各点，所有各点都只会有都只会有x和和

48、y方向的位移而不会有方向的位移而不会有Z方方向的位移，即向的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为但习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。0 0y yx x图 1-11工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应变问题平面应变问题既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程(1-3-1)可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程几何方程仍然简化为方程(1-24)。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyz

49、yx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzz工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应变问题平面应变问题因为因为由物理方程由物理方程(1-11)(1-11)中后两式可见中后两式可见又由物理方程又由物理方程(1-11)(1-11)中的第三式可见：中的第三式可见：在平面应变问题中，虽在平面应变问题中，虽然然 ，但但 一般并不等于零，不过它可一般并不等于零，不过它可以由以由 及及 求得，在分析问题时求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。xy00zxyz，00zxyz，)(yxz0zzxyyx

50、、zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE)1 ( 2)1 ( 2)1 ( 2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应变问题平面应变问题物理方程物理方程(1-11)简化为：简化为：26)-(1 )1 (221)21)(1 ()1 ()1 (2)1()21)(1 ()1 ()1()21)(1 ()1 (xyxyxyyxyyxxEEEE工程有限单元法工程有限单元法机电工程学院机电工程学院平面应变问题平面应变问题将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍