同济版大一高数第九章第八节极值与最值ppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第十二讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑

2、、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一元函数的极值一元函数的极值一元函数 baxxfy, ,fxfx存在1）若在0 x的某领域内 00 xfxfxf则0 xf为极大（小）值，0 x为极大（小）点。2）若0 x为极值点00 xf（必要条件）3）若4）若 xf 的领域内变号，在0 x必为极值。0 xf值。大为极小0000 xfxf 3），4）为极值存在的充分条件。与一元函数类似，可利用多元函数的偏导数解决多元函数的极值问题。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网

3、应用为重点的“群众性治安防控工程”。4一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5xyz例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.2243yxz22yxzyxz xyzx

4、yz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6的图形观察二元函数22yxexyz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点

5、不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因 在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 0),(,0),(0000yxfyxfyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数

6、的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx),(yxfy的极值.求

7、二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(22339632 xxyy6320313xx023yy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2

8、,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BA

9、C33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公

10、共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值. . 解解先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点， xyo6 yxDD如图如图, ,例例1 1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一

11、一驻驻点点)1 , 2(, 且4)1 , 2( f, 再求再求),(yxf在在D边界上的最值，边界上的最值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, )4(),(2yxyxyxfz 024),(0238),(yxyxfyxyxfyxxyo6 yxD“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15在在边边界界6 yx上上，即即xy 6 于是 由由 得得4, 021 xx, 2|64xxy,64)2 , 4(f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值

12、值, , 64)2 , 4( f为为最最小小值值. . xyo6 yxD)4(62462xxxxfx)4(),(2yxyxyxf23122xx )2)(6(2xx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16求122 yxyxz的最大值和最小值. , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21( , 解解由由例例2因为 01lim22 yxyxyx 即边界上的值为零. ,21)

13、21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21 . “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.

14、即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题。对自变量只有定义域限制。对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制。例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社

15、区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有0yxxyff“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安

16、防控工程”。20引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfFyyxxff“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(

17、zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F02F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22例例1.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面“雪亮工程是以区（县）、乡

18、（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点2(22)20yFxyzy2(22)( 2)0zFxyz2(22)20 xFxyzx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B

19、( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),例例2 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25设拉格朗日函数CBAoyxEDACABSC2110321yx2223103649Fxyxy解方程组231080 xyx6310180 xyy224936 (0,0 )

20、xyxy得驻点,54,53yx对应面积646. 1S而,5 . 3,2EDSS比较可知，点 C 与 E 重合时 ,三角形面积最大。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26将正数 12 分成三个正数zyx,之和 使得zyxu23 为最大. 解法一解法一令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , ) 1 (0322zyxFx解得唯一驻点)2 , 4 , 6(， .691224623max u则故故最最大大值值为为 例例3)2(023yzxFy320(3)zFx y

21、)4(12zyx)2() 1 ()3()2(0)23(2 xyyzx0)2(3 yzyxyx232yz 将代入（4）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27 将正数将正数 1212 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大. . 解得唯一驻点)2 , 4 , 6(， .691224623maxu则则故故最最大大值值为为 例例3解法二解法二yxz12xu0)3436(22yxyxyu0)3224(3yxyx)12(23yxyxu“雪

22、亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。28例例4 4 设在锥面解法一解法一22yxhRzhz xOy)(411zhxyVV222222( , , )()()F x y zxy hzh xh yR z)4() 3(0)2(0) 1 (022yxhRzFFFzyxRyx32hz322782hRV 与平面的锥体内，作底面平行于平面的长方体，求长方解得唯一驻点体的最大体积V。所围成设最大体积V“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、

23、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。292782hRV )2()2(322xRxhRhxhx0)232(1xRhxdxdVRx32例例4 4 设在锥面解法二解法二22yxhRzhz xOy与平面的锥体内，作底面平行于平面的长方体，求长方体的最大体积V。所围成)(411zhxyVV最大体积得令“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。30例例5. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x

24、, y , z ,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS ,sin2213zRS 0,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx, 得32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。31例例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本不同，第一个工厂生产x件产品和第二

25、个工厂生产y件产品时的总成本是;70052,22yxyxyxC若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总成本最小。解解：根据题意是求70052,22yxyxyxC在条件500 yx下的极值。 作辅助函数：50070052,22yxyxyxyxF 3500254152yxxyFyxFyx xy321代入 3得：375125yx根据题意可知：当第一个工厂生产125件产品，第二个工厂生产375件产品该公司的总成本最低。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。32内容小

26、结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法；, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。33设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0,yx