有理数及其运算复习.docx

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第二章有理数及其运算复习学案有理数及其运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性.为了帮助同学们能更好地将现实中的问题与学习中有理数的知识相结合，并合理的解决它，从中发现数学的很多乐趣，现将有理数及其运算的知识再来一次回顾.一、复习目标1.通过复习能在具体情境中，理解负数的概念，进一步掌握有理数及其运算的意义.2.能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.3.能熟练地借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求

2、有理数的相反数与绝对值.4.经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题.5.会用计算器进行较复杂的有理数混合运算.二、重点难点有理数及其运算这一章的重点内容是绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）等；而绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算则是本章的难点.三、知识归纳（一）有理数的基础知识1、正数与负数：(三个重要的定义)【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号，这样大于0的数叫做正数。为了强

3、调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。【负数】：像3、4754、50、0.6、15%等带有“”号，这样小于0的数叫做负数。而负数前面的“”号不能省略。【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，a是0，当a是负数时，a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言的有理数。考点1负数的概念例1（扬州市）如果收入200元记作+200元，那么支出150元记作（）A.+150元

4、B.150元 C.+50元 D.50元简析因为收入200元记作+200元，所以支出150元就可以记作150元.故应选B.练习题11，（绍兴市）冬季的一天，室内温度是8，室外温度是2，则室内外温度相差（）A.4 B.6 C.10 D.162，我市2005年的最高气温为39，最低气温为零下7，则计算2005年温差列式正确的是（ ） A.(39)(7)B.(39)(7)C.(39)(7)D.(39)(7)3，（南通市）某市今年1月份某一天的最高气温是3，最低气温是4，那么这一天的最高气温比最低气温高（） A.7B.7C.1D.12、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数

5、、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。 按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：非负数：若数a0，则称a为非负数。非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。考点2有理数的分类练习题21. 3.782： （ ）A. 是负数，不是分数 B. 不是分数，是有理数 C. 是分数，不是有理数 D. 是分数，也是负数2.将

6、下列各数填入相应的集合中。，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-，180，-42，-45%，1。整数：_ _ 自然数：_ _ 正数：_ _ 负数： _ _偶数：_ _ _ 奇数： _ _ _分数：_ _ _ 非负数：_ _非负整数： _ _ _ 非正分数：_ _非负有理数：_ _ 有理数： _ _3、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法：画一条水平的直线； 在直线的适当位置选取

7、一点作为原点，并用0表示这点；确定向右为正方向，用箭头表示出来；选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，。如图1所示。右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。考点3数轴例2（济南市）如图，数轴上A，B两点所表示的两数的（ ）A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数BA330简析：观察A、B在数轴上对应的有理数分别是3和3，所以数轴上A，B两点所表示的两数的积为负数.故应选D.练习题31.数轴上与表示2点相距3个单位的点所表示的数是_。2.（荆门市）点A在数轴上

8、表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的有理数是（）A.3 B.1 C.5 D.1或34、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。 规定0的相反数是0从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与3互为相反数。注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与2互为相反数，说明+2的相反数是2，2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与3这样的两个数不是互为相反数。考点4 相反数例3（临安市）如果a与2互为相反数，那么a等于（ ） A.2 B.2 C. D.简析因为a与2的相反数，所以a+（2）0，即a2，故

9、应选B.练习题41.（广安市）3的相反数是（） A.B.C.3D.32.（盐城市）2的相反数是（） A.2 B.2 C.2 D.3.（江西省）若m、n互为相反数，则m+n 4.如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是_.5.如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是_.6.在数轴上与3距离4个单位的点表示的数是 7.求下列各数的相反数0.26 ； ；3 ；a ；x+1 ； m+1 ；2xy ；ab 。5、绝对值：绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0也就

10、是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即，注意：绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质非负性。两个负数比较大小，绝对值大的反而小考点5 绝对值例4（枣庄市）的绝对值是（） A.2 B. C.2 D.简析因为的绝对值是，故应选D.练习题51.（深圳市）3的绝对值等于（） A.3B.3C.D.2.（遂宁市）计算：4（） A.0 B.4 C. D.43. 3是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或04.绝对值最小的整数是 （ ） A. 0 B.

11、1 C. 1 D. 1和-1 5.若a, 则a_; 若a3, 则a_.6._; _; 0.77+_; 7.绝对值小于4的负整数有个，正整数有个，整数有个8. 已知：a2b3=0，求2a2b1的值。6、倒数乘积为1的两个有理数互为倒数。倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。考点6倒数例5（攀枝花市）0.5的倒数是（ ） A. B. C.2 D.2简析

12、因为0.5，而的倒数是2，所以0.5的倒数是2.故应选C.练习题61.（重庆市）3的倒数是（ ） A.3 B.3 C. D.2.（河南省）的倒数是（） A. B.3 C. D.3.（乐山市）若2x3与互为倒数，则x.7、有理数大小的比较：1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。考点7有理数

13、的大小比较例6（南昌市）下列四个运算中，结果最小的是（） A.1+(2) B.1(2) C. l(2) D.1(2)简析因为1+(2)1，1(2)3，1(2)2，1(2)0.5，而210.53.故应选C.练习题71.（湖州市）请你写出一个比0.1小的有理数.2.（芜湖市）已知ab0，则下列不等式不一定成立的是（ ）A.abb2 B.a+cb+c C. D.acbc3.（天津市）若0x1，则x，x2，x3的大小关系是（）A.xx2x3 B.xx3x2 C.x3x2x D.x2x3x4.用“”或“”或“=”号填空： 1）3.5 _ 0 ; 2) 2.8 _ 0 ; 3) 1.95 _ 1.59 ;

14、 4) _ ; 5) _ 0.3 ; 6) 0.67 _ ; 7) _ ; 8) _ 3.14 ; 9) 1.6 _ 1.6 ; 10) () _ () .8、有理数的运算1、有理数的加法 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加； 把同分母的分数先相加； 把符号相同

15、的数先相加； 把相加得整数的数先相加.2、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.3、有理数的乘法 有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。 有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结

16、合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac.4、有理数的除法 有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。 （0不能做除数）（这个法则可以把除法转化为乘法） 除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个非0的数都得0.5、有理数的乘方乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方。 乘方的结果叫做幂。乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”读作a的n次方，也可读作a的n次幂。其中a叫做底数， n叫做指数，它所表示的意义是n个a相乘 乘方的计算法则：根据乘方的意义转化为乘法，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先

17、判断幂的符号，再计算幂的绝对值；正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数幂方是负数。0的任何次幂都是0.6、有理数的运算顺序 先乘方，后乘除，最后加减； 有括号时，先算括号里面的； 同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。 (说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算。)考点8有理数的运算例7（广东省）下列计算正确的是（）A.1+10 B.220 C.31 D.5210简析因为224，3339，5

18、225，所以只有1+10正确.故应选A.练习题81.（浙江省）计算12的结果是（） A.1B.1C.3D.3 2.（旅顺口区）计算23是 （） A.8 B.8 C.6 D.63.（十堰市）下列各式中，一定成立的是（）A.B.C.D.4.计算：（1） 32（-5）3-18-（-3）2； （2）-363；（3）（-1）5（-4）（-0.4）；考点9计算器的应用例8（烟台市）用科学计算器求35的值，按键顺序是（）A.3，xy，5，B.3，5，xy， C.5，3，xy，D. 5，xy，3，简析按照计算器进行有理数的运算方法，计算35的按键顺序应是3，xy，5，故应选A.练习题91.（旅顺口区）小王利用

19、计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入12345输出那么，当输入数据为8时，输出的数据为 考点10有理数的应用例9（绍兴市）邮政部门规定：信函重100克以内(包括100克)每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算. （1）若要寄一封重35克的信函，则需贴邮票多少元? （2）若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多少重? （3）七(1)班有九位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少.简

20、析（1）因为35克（20+15）克，所以所贴邮票金额应为0.821.6（元）；（2）依据题意，贴了6元邮票，此信函应在大于100克且小于等于200克范围内的克数均可；（3）依据题意可以列表如下：份数重量（克）总金额（元）1812+41696+41000.8+44.82724+42884+4881.6+45.63636+44072+4761.6+3.24.84548+45260+4642.4+3.25.6 故9份答卷分1份、8份或3分、6份装，总金额最小，分别为4.8元，4.8元练习题101.（苏州市）我国劳动法对劳动者的加班工资作出了明确规定“五一”长假期间前3天是法定休假日，用人单位应按照不

21、低于劳动者本人日工资或小时工资的300支付加班工资后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200支付加班工资小朱由于工作需要，今年5月2日、3日、4日共加班三天，已知小朱的日工资标准为47元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于元.考点11探索与创新例10（烟台市）计算：2111，2213，2317，24115，25131，.归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测220061的个位数字是（）A.1B.3C.7D.5简析观察2111，2213，2317，24115，25131，发现它们的个位数字按1，3，7，5循环，而200645

22、01+2，所以220061的个位数字是3.故应选B.练习题111.（重庆市）按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是. 2.（日照市）德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）： 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： . 有理数及其运算中的数学思想方法数学技能的掌握是靠反复训练，而数学思想方法的掌握与运用是靠深入领悟，数学思想对提高分析问题和解决问题的能力是大有帮助的.复习有理数一章的内容应注意以下的思想方法：一、 观察方法在有理数这一章中的一些主要概念和性质中，如数轴、

23、相反数、绝对值、有理数大小的比较、有理数的运算法则以及运算律等等的学习与运用都离不开观察、分析、归纳，从而作出正确的判断.二、 分类讨论的思想我们在研究解决有关问题的时候，常常根据问题的特点和具体要求，按照一定的标准，把这个问题分为若干种互不重复的情形，然后加以处理的一种数学思想就称为分类讨论的思想.在学习有理数、绝对值时，都体现了分类的分类的思想方法如 或 有了分类思想，掌握了“不重不漏”的分类原则，能使思维变得更加严密，考虑问题更加全面【例1】 （1）设a是有理数，则|a|a（ ）A是负数 B是非负数 C是正数 D可能是正数，也可能是负数（2）若|a|a，那么a是 数析解：上述两题中含有表

24、示有理数的字母a，可将a分成正数、零、负数三种情况来考虑，得出（1）的答案应选B；（2）应填“负”字练习：已知|x|3，|y|3，且xy0，则xy的值等于（ ）A5或5 B1或1 C5或1 D5或1三、数形结合思想利用图形的性质研究数量关系，利用数量关系研究图形的性质，也就是把数与形进行转换，能够达到研究问题和解决问题的一种数学思想称为数形结合的思想. 本章中的重要概念数轴就是典型的数形结合的产物，它帮助同学们具体、直观的理解了有理数有正数、0、负数的区分；依据数轴还帮助我们认识了相反数、绝对值的意义；结合数轴我们还总结归纳得到了有理数大小比较的方法、有理数的运算法则等.因此，数轴也具备了一种

25、“工具”的功能. 数形结合的思想实际上既把数形象化了，也把形具体化了.这种思想所体现出来的方法，在我们以后的学习中将会得到更加充分的显示.【例2】已知数轴上有两点A、B，它们分别表示互为相反数的两个数a、b（其中ab），并且A、B两点间的距离是8，求a、b两数.分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出A、B两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，正确解决问题.解：根据相反数的定义可知，因为A、B到原点的距离相等，即A、B互为相反数，它们之间的距离是8，所以A、B距原点的距离都是4，又因为ab，所以A点在原点右侧距原点4个单位处，B点在原点左侧距原点4个单位处，所以

26、a=4，b=-4.点评：若此题没有指明条件是ab，则要分两种情况进行讨论，即ab时，ab时，分别求出a、b的值.【例3】 有理数a、b满足a0，b0且|a|b|，用“”将a、b、-a、-b排列起来.分析：要比较a、b、-a、-b的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因|a|b|，故表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示a、b、-a、-b的位置，即可知它们的大小.解：将a、b、-a、-b在数轴上的位置表示出来（如图所示），由图可知-ba-abb-a0a-b点评：借助数轴，运用数形结合思想

27、，使问题化难为易.【例4】 一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是 个单位.析解：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以0点为原点，原点向右为正方向，第1次向右跳1个单位，其位置表示的点为1；紧接着第2次向左跳2个单位，其位置表示的点为-1；第3次向右跳3个单位，其位置表示的点为2；第4次向左跳4个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第6次，第8次，位置的点为-3，-4，第100次跳后落下，其位置表示的点为-50，故此时落点处离0点的距离

28、是50个单位.四、化归思想把所要研究和解决的新问题变化为已经熟悉的旧的知识，这样的处理思想就称为转化（化归）的思想.我们通常说的，把“未知”变为“已知”，把“复杂”变为“简单”都是这种思想的具体反映. 有理数的减法运算就是借助于相反数的作用转化为有理数的加法运算的，这样加减运算得到了统一；有理数的除法运算借助于倒数的作用转化为有理数的乘法运算，同样乘除运算也得到了统一；有了绝对值的“穿针引线”，有理数的运算都归结到了算术数的运算了，使得数的运算从本质上得到了统一. 转化的思想是我们获取新知识，丰富知识体系结构的重要法宝，它所对应的数学方法也是我们复杂问题时的有力武器之一.【例5】计算：分析：先

29、把中括号内的减法转化成加法，再把除法转化成乘法解：=-7小结：运用转化思想，使解题过程变得明快、简捷五、整体思想用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.（一）：整体分组.【例6】、计算123+4+567+8+979899+100分析：看来要找规律，才好解，两个两个找，发现不了什么，再观察，发现数值的绝对值是连续整数，符号四个一组循环.把这4个一组的数作为一个整体.解：原式（123+4）+（567+8）+（979

30、899+100）0（二）：整体换元【例7】、计算分析：前后式中有不好是相同的项，把它们捆作不散，作为集团军用.解：设，则原式【例8】、求2+22+23+24+25分析：一一计算，也行，若整体设元，就更快了.解：设x2+22+23+24+25，则2 x22+23+24+25+26，用得x26262.（三）：整体相约【例9】、计算分析：分子、分母的结构都一样，观察发现整体变化的倍数规律也一样.则分子、分母中能有相同的因式吗？解：原式.整体观察，全局考虑，事半功倍，何乐而不为.以上是本章所蕴涵的几种主要的数学思想，同学们一定要认真体会，积极的思考和领悟.掌握数学思想和方法，就好比“本钱”充足了，但怎样用好这些思想和方法，绝不是一日之功，需要我们反复的揣摩，用心的体验和实践.【精品文档】第 11 页