极限的求法与技巧.doc

《极限的求法与技巧.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限的求法与技巧.doc（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除极限的求法与技巧姓名：印溪学号：B09060503函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。1.运用极限的定义例：用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有由函数极限定义有: 2. 利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要

2、轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”3利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：若 (I) (II)(III)若 B0 则：（IV） （c为常数）上述性质对于 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求 解: =4、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限5、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限解: 由 故 由 故 =6. 变量替换例 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解

3、原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 7. 分段函数的极限例 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .8、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 9、洛必达法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、

4、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限解：令f(x)= , g(x)= l由于但从而运用洛必达法则两次后得到 由 故此例属于型，由洛必达法则有：注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。解法二: 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法

5、配合使用无穷小代换法以及洛必达法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。解法七:注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。10、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则） 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有例: 求 (a1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n0 时有:及 又 当x时,k 有及 =011、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定

6、义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由12、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式=13、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式=14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为:例: 求 解:令 对它应用中值定理

7、得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有 (II)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 17. 利用拆项法技巧例6：分析：由于=原式=在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，但应该足够我们非数学系的学生使用。数学知识博大精深，我们只能接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们只在那基础层徘徊，这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。【精品文档】第 7 页