第二章测评-北师大版高中数学选修2-2练习.docx

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1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则yx等于()A.2B.2xC.2+xD.2+(x)2解析:yx=(1+x)2+1-(12+1)x=x+2.答案:C2.曲线y=ax3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.45B.60C.120D.135解析:点(1,3)在曲线上,3=a-2+4,可得a=1,则y=x3-2x+4,y=3x2-2,当x=1时,y=1.故所求切线的倾斜角为45.答案:A3.已知函数

2、f(x)=lnxx,则方程f(x)=0的解为()A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0解析:f(x)=1xx-lnxx2=1-lnxx2.f(x)=0,1-ln x=0,解得x=e.答案:B4.函数y=1(3x-1)2的导数是()A.6(3x-1)3B.6(3x-1)2C.-6(3x-1)3D.-6(3x-1)2解析:y=1(3x-1)2=-2(3x-1)3(3x-1)=-6(3x-1)3,故选C.答案:C5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3解析:f(x)=ax-ln(x+1),f(x)=a-1x+1.f(0)=0且f(

3、0)=a-1=2,解得a=3.答案:D6.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln x,则f(1)等于()A.-eB.-1C.1D.e解析:f(x)=2xf(1)+ln x,f(x)=2f(1)+1x.f(1)=2f(1)+1.f(1)=-1.答案:B7.函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b0,aR)的图像在点(b,f(b)处的切线斜率的最小值是()A.22B.2C.3D.1解析:由题意可得f(x)=2x+2x-b,在点(b,f(b)处的切线斜率是k=f(b)=2b+b.b0,f(b)=2b+b22,当且仅当2b=b,即b=2时取等号.在点(b,f(b)处

4、的切线斜率的最小值是22.答案:A8.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+4(aR,bR),f(x)为f(x)的导函数,则f(2 015)+f(-2 015)+f(2 016)-f(-2 016)=()A.0B.8C.2 015D.2 016解析:根据题意有f(x)=3acos 3x+3bx2,所以f(2 016)=f(-2 016),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有f(2 015)+f(-2 015)+f(2 016)-f(-2 016)=8.答案:B9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln 2)B.(2,-ln 2)C

5、.(-ln 2,2)D.(ln 2,-2)解析:设点P的坐标是(x0,y0),由题意得y=-e-x,曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,-e-x0=-2,解得x0=-ln 2.y0=e-x0=2.故点P的坐标是(-ln 2,2).答案:C10.已知点P在曲线y=2sinx2cosx2上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A.34,B.-4,34C.4,34D.0,434,解析:y=2sinx2cosx2=sin x,y=cos x.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tan =cos x0,-1tan 1.01,解得a0

6、.故选B.答案:B12.已知曲线y1=2-1x与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1解析:由题意知y1=1x2,y2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1x02,3x02-2x0+2,所以3x02-2x0+2x02=3.所以x0=1.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.对于函数f(x)=x3-mx+3,若f(1)=0,则m=.解析:f(x)=3x2-m,f(1)=3-m=0.m=3.答案:314.某物体运动的方程是s=-13t3+2t2-5,则该物体在t=3时的瞬时速度为.解析:s

7、=-t2+4t,当t=3时,s=3.答案:315.导学号88184031已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f(0)=.解析:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),f(0)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-120.答案:-12016.已知点P在曲线y=4ex+1上,为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是.解析:根据题意得f(x)=-4exe2x+2ex+1,k=-4ex+1ex+2-42+2=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k0,曲线y=f(x)上点P处的

8、切线的斜率-1k0.又k=tan ,0,),34,.答案:34,三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+t的平均速度,并求当t=1,t=0.1与t=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.解(1)因为s=3(2+t)2+2(2+t)+1-(322+22+1)=14t+3t2,所以从t=2到t=2+t的平均速度为14+3t.当t=1时,平均速度为17;当t=0.1时,平均速度为14.3;当t=0.01时,平均速度为14.03.(

9、2)当t=2时的瞬时速度为v=limt0(14+3t)=14.18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.(1)y=lg x-sin x;(2)y=(x+1)1x-1;(3)y=exx+1;(4)y=ln(3x-1).解(1)y=(lg x-sin x)=(lg x)-(sin x)=1xln10-cos x.(2)y=(x+1)1x-1=-x12+x-12,y=-12x-12-12x-32=-12x1+1x.(3)y=exx+1=ex(x+1)-ex(x+1)2=xex(x+1)2.(4)y=ln(3x-1)=13x-1(3x-1)=33x-1.19.(本小题满分12分)设f(x)是定义在R

10、上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x2.(1)求x0时,f(x)的表达式.(2)令g(x)=ln x,问是否存在x0,使得f(x),g(x)在x=x0处的切线互相平行?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.解(1)当x0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2.(2)若f(x),g(x)在x0处的切线互相平行,则f(x0)=g(x0),且x00,故f(x0)=4x0=g(x0)=1x0,解得x0=12.x00,x0=12.存在,x0的值为12.20.(本小题满分12分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的

11、坐标;(2)若直线ll1,且l也过切点P0,求直线l的方程.解(1)由y=x3+x-2,得y=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=1.点P0在第三象限,x=-1,y=-4.切点P0的坐标为(-1,-4).(2)直线ll1,l1的斜率为4,直线l的斜率为-14.l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),直线l的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.21.导学号88184032(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.解(1)由题

12、意可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,y0=x03+x0-16,直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又直线l过坐标点(0,0),0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得x03=-8.x0=-2.y0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3(-2)2+1=13.直线l的

13、方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).22.(本小题满分12分)设抛物线C:y=-x2+92x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.(1)求k的值;(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解(1)设点P的坐标为(x1,y1)(x10,y10),则y1=-x12+92x1-4.y=-x2+92x-4,y=-2x+92.由题意可知k=-2x1+92.切线方程为y=-2x1+92(x-x1)+-x12+92x1-4.切线过原点O,0=-2x1+92(-x1)+-x12+92x1-4,解得x1=2,则y1=1.k=-22+92=12.k的值为12.(2)过点P作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.将代入抛物线方程得x2-132x+9=0.设点Q的坐标为(x2,y2),则x2=92,y2=-4.点Q的坐标为92,-4.7