1.1归纳与类比-北师大版高中数学选修2-2课件(共34张PPT).pptx

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1、第一章推理与证明,1归纳与类比,1.归纳推理(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.(2)特征:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.(3)归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推广猜测一般性结论.该过程包括两个步骤:通过观察个别对象发现某些相同性质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).,名师点拨归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,归纳所得的结论是尚属未知的一般的现象,该结论超越了前提所界定的范围.(2)归

2、纳推理所得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的依据.(3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的一般性结论也就越可靠.(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.,【做一做1】数列5,9,17,33,x,中的x等于()A.47B.65C.63D.128解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65.答案:B,2.类比推理(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具

3、有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.(2)特征:类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊的过程.(3)类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新的结论.该过程包括两个步骤:找出两类对象之间的相似或一致的特征;用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的类似特征,得出一个明确的命题(猜想).,名师点拨类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(2)类比推理的前提是两类对象之间具有某些清楚定义的类似特征,所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.(3)

4、如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.,【做一做2】类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论()垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行.A.B.C.D.答案:D,3.合情推理(1)定义:合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.(2)合情推理的一般步骤,【做一做3】判断下列推理,哪些是合情推理,哪些不是合情推理.(1)

5、若ab,bc,则ac;(2)若ab,bc,则ac;(3)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,得到1+3+(2n-1)=n2;(4)今天是星期日,七天之后也是星期日.解:(3)(4)是合情推理,(1)(2)不是合情推理.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)合情推理就是正确的推理.()(2)由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质是类比推理.()(3)某校高二有20个班,1班有51名团员,2班有53名团员,3班有52名团员,由此推测各班都超过50名团员是归纳推理.()(4)已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+

6、a5+a6,则该数列的第k项是ak+ak+1+a2k.()(5)任何问题都可用归纳推理来推测结论.(),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,用归纳推理解决数列问题【例1】已知正项数列an满足Sn=,求出a1,a2,a3,a4,并推测正项数列an的通项公式.分析:分别令n=1,2,3,4,利用Sn与an的关系式,先求出a1,a2,a3,a4的值,再观察分析,进行归纳猜测.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟解决此类问题的关键是根据前几项发现项与序号的一一对应关系,归纳出数列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推理中,根据同一个前提,

7、可以归纳出不同的结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1已知f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1,且nN+),则f3(x)的表达式为,猜想fn(x)(nN+)的表达式为.,解析:先由f1(x)的表达式,根据f2(x)=f1(f1(x)求f2(x)的表达式,再由f3(x)=f2(f2(x)求f3(x)的表达式,最后猜想fn(x)的表达式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,归纳推理在几何中的应用【例2】设平面内有n(n3)条直线,其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(

8、4)=;当n4时,f(n)=(用含n的数学表达式表示).解析:最初的三条直线产生两个交点,即f(3)=2.每增加1条直线,与前面的每条直线产生1个交点,则新增加的第n条直线,与前面的(n-1)条直线产生(n-1)个交点,即f(n)-f(n-1)=n-1.由图知f(4)=5.当n4时,f(n)-f(n-1)=n-1,f(n-1)-f(n-2)=n-2,f(4)-f(3)=3.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟在几何中,随着点、线、面等元素的增加,探究相应的线段、交点、区域等数量的增加问题常用归纳推理解决,寻找递推关系是解决该类问题的关键.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨

9、析,变式训练2在平面内观察凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线由此猜想凸n(n4)边形有多少条对角线?解:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形的对角线多3条,凸六边形有9条对角线,比凸五边形的对角线多4条,于是猜想凸n边形的对角线比凸(n-1)边形的对角线多(n-2)条,由此猜想凸n边形的对角线条数为2+3+4+5+(n-2)=n(n-3)(n4).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,归纳推理在数阵问题的应用【例3】根据给出的数塔猜测1234569+7等于()19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=111111

10、23459+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:由19+2=11,129+3=111,1239+4=1111,12349+5=11111,归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数与等式左边的第二个加数相同,所以1234569+7=1111111.答案:B反思感悟解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下:(1)明确各行、各列数的大小;(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系;(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3观察下列

11、式子:,则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,类比推理【例4】已知O是ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边于点A,B,C,则=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.,请运用类比思想,说出对于空间中的四面体A-BCD存在什么类似的结论?并证明.分析:解答本题可以把平面几何的元素类比到空间中,通常是面积对应体积.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于点E,F,G,H.,证明如下:在四面体O-BCD与A-BCD中,探究一,探究二,探究

12、三,探究四,思维辨析,反思感悟平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为.,解析:一方面,可以由边长与面积、棱长与体积的关系得到体积之比为1323=18.另一方面,可以通过具体的计算,不妨设两个正四面体的棱长分别为a和2a,则可求得它们的体积分别为a3和a3,所以它们的体积之比为18.答案:18,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因归纳不全面而致误,易错分析:本题易犯的错误是只照顾到了不等式中

13、左边的项数及右边的规律,而没有把握深层次的规律,即x的系数之和为1.,解析:由已知可以再写出几个式子.,答案:nn,纠错心得归纳推理时,要注意对结构形式细致观察,并且尽量多归纳几个,必要的时候对特殊情况进行检验.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练观察下列等式:1=1,13=1,1+2=3,13+23=9,1+2+3=6,13+23+33=36,1+2+3+4=10,13+23+33+43=100,1+2+3+4+5=15,13+23+33+43+53=225.可以推测:13+23+33+n3=(nN+,用含有n的代数式表示).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:

14、由题意得第二列等式的右端分别是12,32,62,102,152,第一列等式的右端分别是1,3,6,10,15,可知第二列等式右端等于相应的第一列等式右端的平方.,12345,1.数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析:由所给数列的前四项可知,从第2项起,每一项与前一项的差构成以3为公差的等差数列,第2项与第1项的差为3,第3项与第2项的差为6,第4项与第3项的差为9,所以第5项x与第4项20的差应为12,即x-20=12,所以x=32.答案:B,12345,2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=,可推知扇形面积公式S扇等于(),

15、解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得S=lr.答案:C,12345,3.下面几种推理是类比推理的是()A.因为三角形的内角和是180(3-2),四边形的内角和是180(4-2),所以n边形的内角和是180(n-2)B.由平面内平行四边形的性质,推测空间中平行六面体的性质C.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列an的前n项和Sn的表达式D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除解析:A项为归纳推理,B项为类比推理,C项为归纳推理,D项为归纳推理.答案:B,12345,4.观察下列各等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式为.解析:由所给等式可知,左边为n个式子相乘,从(n+1)到(n+n),右边第1个数为2n,后边是从1开始的连续n个奇数相乘,故第n个等式应为(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1),12345,通过观察上述等式的规律,写出一般性规律,并给出证明.,