5.1数系的扩充与复数的引入-北师大版高中数学选修2-2课件(共27张PPT).pptx

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1、第五章数系的扩充与复数的引入,1数系的扩充与复数的引入,1.复数的概念及表示方法(1)虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,把i叫作虚数单位.(2)复数:形如a+bi的数叫作复数(a,b是实数,i是虚数单位),复数通常表示为z=a+bi(a,bR).(3)复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的实部与虚部.,2.复数的分类,(2)集合表示:名师点拨1.虚数不能比较大小.2.复数a+bi中,a,b均为实数.,【做一做1】已知mR,复数z=+(m2+2m-3)i.若z是纯虚数,则m=.,故m=0或m=2.,答案:0或2,3.复数的有关概念(1)复数的相等:

2、两个复数a+bi与c+di(a,b,c,dR)相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作a+bi=c+di,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.(2)复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.(3)模:复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,|z|=.,名师点拨关于复数相等的两点说明(1)对于两个复数,若都是实数,则可以比较大小;若两个复数不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,

3、但却有等与不等之分.(2)复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,bR)既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它.,【做一做2】实部为21,虚部为-3的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题意知该复数在复平面内对应点为(21,-3),故该点位于第四象限.答案:D【做一做3】已知复数z=a+i(其中aR)的模为,则a的值为.,答案:2,【做一做4】若(x+y)+yi=(x+1)i.求实数x,y

4、的值.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)因为原点在虚轴上,所以数0是虚数.()(2)两个复数一定不能比较大小.()(3)复数a+bi一定不是实数.()(4)虚轴上的点表示纯虚数.(),探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的概念及分类【例1】已知mR,复数z=+(m2+2m-1)i.当m为何值时,(1)zR;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.分析:本题需运用复数的有关分类概念来解决,尤其要注意纯虚数的条件是a=0,且b0.,解:(1)当m2+2m-1=0,且m-10,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决复数分类问题的步骤(1)化标准式:解

5、题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0且b0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1若复数z=(x2-1)+i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1,答案:A,变式训练2已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a的值是,b的值是.,答案:33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的相等及应用【

6、例2】(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,yR,求实数x与y;(2)设z1=1+sin-icos,z2=+(cos-2)i,若z1=z2,求.分析:先找出两个复数的实部和虚部,再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解.,解:(1)根据复数相等的充要条件,得方程组.,则=2k(kZ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决复数相等问题的利器化复为实.(1)把两个复数写成代数形式,分清其实部与虚部.(2)确立两个独立参数列出方程,即实部和虚部分别相等.(3)正确解方程组,得到结果.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+

7、2x+1)=3,则实数x的值是.,解析:根据复数相等的条件,答案:-2,变式训练4若ai+2=b-i(a,bR),i为虚数单位,则a2+b2=.,答案:5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的几何意义【例3】实数a分别取什么数值时,复数z=+(a2-2a-15)i(aR)对应的点Z,(1)在复平面的x轴上方;(2)在直线x+y+7=0上.分析:利用复数对应的点的特点转化为关于a的方程或不等式解决.,解:(1)点Z在x轴上方,a5或a-3.(2)点Z在直线x+y+7=0上,即a3+2a2-15a-30=0.(a+2)(a2-15)=0.a=-2或a=.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思

8、感悟按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部和虚部满足的条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练5若my-5+(x+2y-3)i成立的实数x,y的取值.易错分析:两个虚数是不能比较大小的,只有相等和不相等之分,反之,两个数可以比较大小,则这两个数必为实数.,解:既然两个复数可以比较大小,则这两个复数必然是实数,纠错心得两个实数可以比较大小,但是两个复数中至少有一个为虚数时,不能比较大小,如果两个复数能比较大小,不是指实部与实部比,虚部与虚部比,而是说明两个数都是实

9、数,即两个复数的虚部为0,只比较实部.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,-3n-1,即n无自然数解.m,n的值为m=0,n=1或m=0,n=2.,12345,因此新复数为2-2i.,答案:A,12345,2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3等于()A.-1B.1C.-iD.i解析:i2=-1,i+i2+i3=i-1-i=-1.答案:A,12345,解析:(3a)2+(-6)2=40,a=.答案:C,12345,4.已知集合A=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,B=-1,3,且AB=3,求实数a的值.,解:AB=3,3A.(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3.,解得a=-1.,12345,(1)若z为纯虚数,求m的值;(2)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(3)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.,m的取值范围是-1m0.,12345,log2(1+m)(3-m)=1,(1+m)(3-m)=2,即m2-2m-1=0,