1.4数学归纳法-北师大版高中数学选修2-2课件(共27张PPT).pptx

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1、4数学归纳法,数学归纳法(1)定义:数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.(2)证明步骤验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;在假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.(3)证明依据:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立,因为根据,验证了当n=1时命题成立;根据可知,当n=1+1=2时命题成立,由于n=2时命题成立,再根据可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.,名师点拨应用数学归纳法的注

2、意事项(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可.步骤是命题论证的基础,步骤是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这两个步骤缺一不可,若只有步骤缺少步骤,则无法判断n=k(kn0)时命题是否成立;若只有步骤缺少步骤,则假设就失去了成立的前提,步骤就没有意义了.(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.,【做一做1】用数学归纳法证明3nn3(n4,nN+),第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.

3、n=4解析:由题意知n4,nN+,所以第一步应验证n=4,故选D.答案:D,【做一做2】用数学归纳法证明1+3+5+(2n+1)=(n+1)2,当n=1时,左边式子为.从k到k+1左端需增加的式子是.解析:当n=1时,左边=1+3=4,右边=(1+1)2=4.左边式子是连续(n+1)个奇数相加,因此当n=k时,左边式子为1+3+5+(2k+1).当n=k+1时,左边式子为1+3+5+2(k+1)+1=1+3+5+(2k+1)+(2k+3).故增加的式子是2k+3.答案:1+32k+3,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)数学归纳法的第一步n0的初始值一

4、定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()(3)凸(n+1)边形的对角线比凸n边形的对角线多(n-1)条.()(4)用数学归纳法证明“2nn2+1对nn0的正整数n都成立”时,第一步证明的初始值n0应取2.()(5)所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.(),探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明恒等式,等式左边=等式右边,所以等式成立.(2)假设n=k(kN+,k1)时等式成立,即有,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),可知对一切nN+,等式都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用数学归纳法证明问题的三

5、个关键点(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0(n01,nN+).这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整数,这个正整数并不一定是“1”.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律.弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.(3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题成立”.在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是

6、数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明不是数学归纳法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+).,证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=211=2,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1).则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)=22k13(2k-1)(2k+1)=2k+113(2k

7、-1)2(k+1)-1,所以当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明不等式,分析:此题用数学归纳法证明时,要注意n2,故第(1)步应验证n=2时是否成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)和(2),知对任意n2,nN+,原不等式恒成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用数学归纳法证明不等式的具体形式和关键(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求证明;二是给出两个式子,按照要求比较大小.对于第二种形式通常要先对n

8、取前几个值的情况分别验证比较,再猜出从某个n值开始都成立的结论,最后用数学归纳法证明.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,要利用假设,并对照目标进行恰当的放缩,使问题简单化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2),知对一切大于1的正整数n,不等式都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明与数列有关的问题,分析:在研究数列问题时常用数学归纳法,对于数列的通项、前n项和的公式推导中,应注意由n=k到n=k+1时中间的过渡项是什么.,由(1)和(2),可知等式对任何

9、正整数n都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟数列与数学归纳法有着非常密切的关系,数列是定义在N+(或其有限子集)上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一样的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的.因此数列中有不少问题都可以用数学归纳法证明.在证明过程中尤其要注意,由n=k到n=k+1时,中间的过渡项增加多少项,这是解决问题的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3在数列an中,a1=a2=1,当nN+时,满足an+2=an+1+an,且设bn=a4n,求证数列bn各项均为3的倍数.,证明:(1)a1=a2=1,a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3.b1=

10、a4=3,当n=1时,b1能被3整除.(2)假设n=k时,bk=a4k是3的倍数.则n=k+1时,bk+1=a4(k+1)=a4k+4=a4k+3+a4k+2=a4k+2+a4k+1+a4k+1+a4k=3a4k+1+2a4k由归纳假设,知a4k是3的倍数,故可知bk+1是3的倍数.n=k+1时,命题成立.综合(1)和(2),可知对任意正整数n,数列bn的各项都是3的倍数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,应用数学归纳法证明时,不用归纳假设而致误【典例】用数学归纳法证明1+5+9+(4n-3)=(2n-1)n.易错分析:本题的易错点是不利用归纳假设,而是直接利用等差数列的前n项和公式加以证明

11、,这与数学归纳法不相符.证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=11=1,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即1+5+9+(4k-3)=k(2k-1),则当n=k+1时,1+5+9+(4k-3)+(4k+1)=k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1)=2(k+1)-1(k+1).当n=k+1时,等式成立.由(1)和(2),知对一切nN+,等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否完整,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那么就是不正确的.,探究一,探究二

12、,探究三,思维辨析,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2),可知原不等式对一切n2,nN+均成立.,12345,1.某个与自然数n有关的命题,若当n=k(kN+)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时命题不成立,则可推得()A.当n=4时该命题不成立B.当n=6时该命题不成立C.当n=4时该命题成立D.当n=6时该命题成立答案:A,12345,中,验证当n=1时,等式左边应为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,等式的左边=1+a+a2.答案:C,12345,3.若f(n)=12+22+32+(2n)2,nN+,则f(k+1)-f(k)=.解析:f(k+1)=12+22+33+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2,f(k)=12+22+32+(2k)2,f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+2(k+1)2.答案:(2k+1)2+(2k+2)2,12345,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任意nN+都成立.,12345,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,不等式成立,所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)和(2),可知原不等式对任意nN+都成立.,