2.4导数的四则运算法则-北师大版高中数学选修2-2课件(共23张PPT).pptx

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1、4导数的四则运算法则,导数的运算法则(1)函数的和差的导数:f(x)g(x)=f(x)g(x).(2)函数的乘积的导数:f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).特别地,当g(x)=k时,有kf(x)=kf(x).,名师点拨1.导数运算法则的特点.对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误.应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.2.应用运算法则时的注意点.解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,再求导,以

2、减少运算量.3.运算法则的推广.导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)=f1(x)f2(x)f3(x)fn(x).,【做一做1】函数f(x)=sinx+x的导数是()A.f(x)=cosx+1B.f(x)=cosx-1C.f(x)=-cosx+1D.f(x)=-cosx+x解析:f(x)=(sinx+x)=(sinx)+(x)=cosx+1.答案:A,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数

3、函数.()(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)在任何情况下都不成立.()(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数.()(4)cf(x)=cf(x).(),探究一,探究二,思维辨析,利用导数的四则运算法则求导【例1】求下列函数的导数.,分析:仔细观察和分析各函数的结构特征,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的要进行适当变形.,探究一,探究二,思维辨析,解:(1)y=(xtanx)=xtanx+x(tanx),(2)y=(x4-3x2-5x+6)=(x4)-(3x2)-(5x)+6=4x3-6x-5.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟应用导数的运算法则求函数导数

4、的技巧(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则.(2)对三角函数在求导之前可先利用三角恒等变换进行化简,再进行求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1函数y=sinxcosx的导数是()A.sin2xB.cos2xC.sin2xD.cos2x解析:y=(sinxcosx)=(sinx)cosx+sinx(cosx)=cos2x-sin2x=cos2x.答案:D,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2求下列函数的导数.(1)y=2xlgx;,y=(1+cosx)=

5、-sinx.,探究一,探究二,思维辨析,导数计算的综合应用【例2】设函数f(x)=ax-(x0),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.分析:(1)利用求导公式求得切线的斜率,建立关于a,b的方程组求解;(2)由导数的几何意义表示出切线方程,根据题意表示出三角形的面积.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,将y=x与曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程联立,即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线

6、y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形面积为,即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则,快速求得函数的导数,代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率,这样比利用导数定义要快捷得多.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练3曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.解析:因为y=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率k=e0+0+2=3,所以所求切

7、线方程为y-1=3x,即y=3x+1.答案:y=3x+1,探究一,探究二,思维辨析,因运算法则应用不恰当而造成失误【典例】求下列函数的导数.(1)y=(x2+1)2;(2)y=cos2.易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.,解:(1)y=(x2+1)2=x4+2x2+1,y=(x4+2x2+1)=(x4)+(2x2)+1=4x3+4x.,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得1.应用基本初等函数求导公式和法则,一定要熟

8、记公式,透彻理解函数结构特点,恰当选择公式,挖掘内在联系和规律.2.对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形,常见形式有把乘积式展开,分式形式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂,三角形式多为三角恒等变换.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练求下列函数的导数.,y=(x2+x3+x4)=(x2)+(x3)+(x4)=2x+3x2+4x3.,1234,答案:A,1234,2.已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为()A.1B.1C.-1D.-2,由可得x0=1,a=1.,答案:A,1234,3.已知抛物线y=ax2+bx-5(a0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,则a=,b=.,解析:令y=f(x)=ax2+bx-5(a0),则f(x)=2ax+b,f(2)=4a+b.,即4a+b=-3.又点(2,1)在y=ax2+bx-5上,4a+2b-5=1,即4a+2b=6.,答案:-39,1234,a,b的值分别为1,0.,