4.1定积分的概念-北师大版高中数学选修2-2练习.docx

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1、第四章定积分1定积分的概念课后训练案巩固提升A组1.一辆汽车作变速直线运动,汽车的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间具有如下函数关系:v(t)=t22+6t,求汽车在0t2这段时间内行驶的路程s时,将行驶时间等分成n段,下列关于n的取值中,所得估计值最准确的是()A.5B.10C.20D.50解析:将行驶时间分的越细,得到的估计值越准确.答案:D2.定积分13 (-3)dx等于()A.-6B.6C.-3D.3解析:由定积分的几何意义可知13 (-3)dx表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数,故13 (-3)dx=-6.答案:A3.已知ab f(x)dx=6

2、,则ab 6f(x)dx等于()A.6B.6(b-a)C.36D.不确定解析:ab f(x)dx=6,在ab 6f(x)dx中曲边梯形上、下底边长变为原来的6倍,由曲边梯形面积公式,知ab 6f(x)dx=6ab f(x)dx=36.答案:C4.设f(x)=x2+x4,则与-aa f(x)dx的值一定相等的是()A.0B.20a f(x)dxC.2-aa f(x)dxD.0a f(x)dx解析:f(x)为偶函数,故它在-a,0和0,a上的图像关于y轴对称,由定积分的几何意义可知-aa f(x)dx=20a f(x)dx.答案:B5.如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表达围成封闭图形

3、(阴影部分)的面积是()A.02(x2-1)dxB.02 (x2-1)dxC.02 |x2-1|dxD.01 (x2-1)dx+12 (x2-1)dx解析:面积S=01 (1-x2)dx+12 (x2-1)dx=02 |x2-1|dx.答案:C6.利用定积分的几何意义求03 9-x2dx=.解析:被积函数y=9-x2表示的曲线是圆心在原点,半径为3的圆的上半圆周,积分区间是0,3,由定积分的几何意义可知此积分计算的是14圆的面积,故03 9-x2dx=324=94.答案:947.比较大小:-20 exdx-20 xdx.解析:-20 exdx-20 xdx=-20 (ex-x)dx,令f(x)

4、=ex-x(-2x0).f(x)0,由定积分的几何意义知-20 f(x)dx0,-20 exdx-20 xdx.答案:8.06 (2x-4)dx=.解析:如图,A(0,-4),B(6,8).则SAOM=1224=4,SBCM=1248=16.故06 (2x-4)dx=16-4=12.答案:129.用图像表示下列定积分:(1)12 log2xdx;(2)26 xdx.解(1)12 log2xdx表示曲线y=log2x,直线x=1,x=2及x轴围成的曲边梯形的面积,如图中阴影部分所示.(2)26 xdx表示直线y=x,x=2,x=6及x轴围成的直角梯形的面积,如图中阴影部分所示.10.导学号881

5、84046利用定积分的性质求-11 2xx4+1+sin3x-ex-1ex+1dx.解y=2xx4+1,y=sin3x显然均为-1,1上的奇函数.而对f(x)=ex-1ex+1,f(-x)=e-x-1e-x+1=1-ex1+ex=-f(x),函数f(x)=ex-1ex+1为奇函数.-11 2xx4+1dx=0,-11 sin3xdx=0,-11 ex-1ex+1dx=0.-11 2xx4+1+sin3x-ex-1ex+1dx=-11 2xx4+1dx+ -11 sin3xdx-11 ex-1ex+1dx=0.B组1.设f(x)=x2,x0,2x,x0)的值为.解析:此定积分的值可以看作曲线y=

6、a2-x2,x=a,x=-a,y=0围成的曲边梯形的面积.y=a2-x20,即x2+y2=a2(y0)表示圆心在原点,半径为a的圆在x轴上方的半圆,-aa a2-x2dx=2a2.答案:2a24.利用定积分的几何意义比较下列各对积分值的大小.(1)01 x2dx与01 xdx.(2)01 10xdx与01 5xdx.解(1)在区间(0,1)上有x2x,01 x2dx5x,01 10xdx01 5xdx.5.导学号88184047求定积分01 (1-(x-1)2-x)dx的值.解由定积分的性质可知01 (1-(x-1)2-x)dx=01 1-(x-1)2dx-01 xdx,因此它表示圆(x-1)2+y2=1(y0)在x=0与x=1之间部分的面积与直线y=x,x=0,x=1及y=0围成的图形的面积之差,如图中阴影所示,故原式=1412-1211=4-12.7