第一章测评-北师大版高中数学选修2-2练习.docx

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1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解解析:至多有两个解包含:有两个解,有一个解,无解三种情况.答案:C2.设nN+,f(n)=1+12+13+1n,计算知f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,由此猜想()A.f(2n)2n+12B.f(n2)n+22C.f(2n)n+22D.以上都不对解析:根据题意,由f(2)=32,f(4)42,f(8)52,

2、f(16)62即可猜想f(2n)n+22,故选C.答案:C3.用数学归纳法证明:1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=2nn+1时,由n=k到n=k+1左边需要添加的项是()A.2k(k+2)B.1k(k+1)C.1(k+1)(k+2)D.2(k+1)(k+2)解析:由n=k到n=k+1,左边需要添加的项是11+2+3+(k+1)=2(k+1)(k+2).答案:D4.下列推理正确的是()A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(x

3、+y)n类比,则有:(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c与(xy)z类比,则有:(xy)z=x(yz)答案:D5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN+)时,验证n=1,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时,左边应取1+2+3+4,故选D.答案:D6.用反证法证明命题:“若a,bN,ab能被3整除,则a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为()A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除C.a,b不都能被3整除D.a不能被3整除解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整

4、除”的反面是:“a,b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除.答案:B7.若P=a+a+7,Q=a+3+a+4(a0),则P,Q的大小关系是()A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定解析:要证PQ,只需证P2Q2,只要证2a+7+2a(a+7)2a+7+2(a+3)(a+4),只要证a2+7aa2+7a+12,只要证012,012成立,P0,b0,则p=(ab)a+b2与q=abba的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.pb0,则ab1,a-b0,此时pq1;若0ab,则0ab1,a-b1;若a=b,则pq=1.综上,可知pq.答案:A12.导学号88184014设函数f(

5、x)定义如下表,数列xn满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 015=()x12345f(x)41352A.1B.2C.4D.5解析:因为x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,数列xn是周期为4的数列,所以x2 015=x3=4.故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“a,b是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为.解析:“a=b=1”是“a=1且b=1”,因为“p且q”的否定为“非p或非q”,所以“a=b=1”的否定为“a

6、1或b1”.答案:a1或b114.观察下列等式:31212=1-122,31212+423122=1-1322,31212+423122+534123=1-1423,由以上等式推测到一个一般的结论:对于nN+,31212+423122+n+2n(n+1)12n=.解析:因为31212=1-122,31212+423122=1-1322,31212+423122+534123=1-1423,所以对于nN+,31212+423122+n+2n(n+1)12n=1-1(n+1)2n.答案:1-1(n+1)2n15.在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n1

7、9,nN+)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列bn中,若b9=1,则有等式成立.解析:在等差数列an的前19项中,其中间项a10=0,则a1+a19=a2+a18=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,所以a1+a2+an+a19=0,即a1+a2+an=-a19-a18-an+1.又a1=-a19,a2=-a18,a19-n=-an+1,a1+a2+an=-a19-a18-an+1=a1+a2+a19-n.相似地,在等比数列bn的前17项中,b9=1为其中间项,则可得b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN+).故填b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN+)

8、.答案:b1b2bn=b1b2b17-n(nbc,且a+b+c=0,求证:b2-acabc,且a+b+c=0,所以a0,c0,要证明原不等式成立,只需证明b2-ac3a,即证b2-ac3a2,从而只需证明(a+c)2-ac0,因为a-c0,2a+c=a+c+a=a-b0,所以(a-c)(2a+c)0成立.故原不等式成立.18.(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2R,a1+a2=1,求证:a12+a2212.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,因为对一切xR,恒有f(x)0,所以=4-8(a12+a22)0,从而得a12+a2212.(

9、1)若a1,a2,anR,a1+a2+an=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.(1)解若a1,a2,anR,a1+a2+an=1,则a12+a22+an21n.(2)证明构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+an)x+a12+a22+an2=nx2-2x+a12+a22+an2,因为对一切xR,都有f(x)0,所以=4-4n(a12+a22+an2)0,从而证得a12+a22+an21n.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且ADBC,ABC=PAD=90,侧面

10、PAD底面ABCD,若PA=AB=BC=12,AD=1.(1)求证:CD平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.证明(1)PAD=90,PAAD.又侧面PAD底面ABCD,PA侧面PAD,且侧面PAD底面ABCD=AD,PA底面ABCD.CD底面ABCD,PACD.在底面ABCD中,ABC=BAD=90,PA=AB=BC=12,AD=1,AC=AB2+BC2=22,CAB=CAD=45.在CAD中,由余弦定理,得CD=AC2+AD2-2ACADcos45=22,可得CD2+AC2=1=AD2,得ACCD.又PA,AC是平

11、面PAC内的相交直线,CD平面PAC.(2)在PA上存在中点E,使得BE平面PCD,证明如下:设PD的中点为F,连结BE,EF,FC,则EF是PAD的中位线,EFAD,且EF=12AD.BCAD,BC=12AD,BCEF,且BC=EF.四边形BEFC为平行四边形.BECF.BE平面PCD,CF平面PCD,BE平面PCD.20.(本小题满分12分)已知数列an满足a1=3,anan-1=2an-1-1.(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列1an-1是等差数列,并写出数列an的一个通项公式.(1)解由anan-1=2an-1-1,得an=2-1an-1,代入a1=3,n依次取值2,3,4,得

12、a2=2-13=53,a3=2-35=75,a4=2-57=97.(2)证明由anan-1=2an-1-1变形,得(an-1)(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),即1an-1-1an-1-1=1,所以数列1an-1是等差数列.因为1a1-1=12,所以1an-1=12+n-1,变形得an-1=22n-1.所以an=2n+12n-1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+)上是增加的;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根.证明(1)任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,ax2-x11且ax10,于是a

13、x2-ax1=ax1(ax2-x1-1)0.又x1+10,x2+10,x2-2x2+1-x1-2x1+1=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)(x1+1)(x2+1)=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)0.于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2x2+1-x1-2x1+10.故函数f(x)在(-1,+)上是增加的.(2)设存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,则ax0=-x0-2x0+1,且0ax01.0-x0-2x0+11,即12x02,与假设x00矛盾.故方程f(x)=0没有负数根.22.导学号88184016(本小题满分12分)设a1=1,an+1=a

14、n2-2an+2+b(nN+).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN+成立?证明你的结论.解(1)a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下面用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k(k1,kN+)时结论成立,即ak=k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.所以当n=k+1时结论成立.所以an=n-1+1(nN+).(2)设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a214a31,结论成立.假设n=k(k1,kN+)时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上是减少的,得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.所以当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.9