高三复习第四讲基本不等式.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高三复习第四讲基本不等式第一章集合与常用逻辑用语第六章不等式、推理与证明第四讲基本不等式 【考纲速读吧】1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 【要点集结号】1个重要思想基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想2个必会变形1. 公式的逆用：a2b22ab的逆用就是ab

2、；(a，b0)的逆用就是ab()2.2. ab()2(当且仅当ab时取等号)，这个不等式链用处很大3项必须注意1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件3在同一个问题中连续多次使用均值不等式，要注意判断等号是否能同时成立 【课前自主导学】011 基本不等式（1）基本不等式成立的条件：_（2）等号成立的条件：当且仅当_时取等号（3）两个平均数：称为正数a，b的_，称为正数a，b的_归纳拓展：常用的几个重要不等式：（1）

3、a2b22ab（a，bR）（2）ab（）2（a，bR）（3）（）2（a，bR） （4）2（ab0）（5） （a0，b0）填一填（1）若a，bR，且ab0，下列不等式a2b22abab22ab（）2，其中恒成立的是_（2）设0a0，y0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2（简记：“积定和最小”）（2）如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是（简记：“和定积最大”）填一填（1）当x1时，则x的最小值_（2）当x0，且x4y1，则xy的最大值_，的最小值_【自我校对】1 a0，b0ab算术平均数几何平均数填一填：（1）（2）a0，b0，ab2，则y的最小值

4、是（）AB4CD5（2）2011浙江高考若实数x、y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_【审题视点】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件解析（1）2y2（）（ab）（）5529（当且仅当，ab2即a，b时等号成立），所以y的最小值为（2）x2y2xy1，（xy）2xy1又xy（）2，（xy）2（）21，即（xy）21 （xy）2xyxy的最大值为答案（1）C（2）奇思妙想：本例（1）改为“若a0，b0，且ab2ab，求y4ab的最小值”，则结果如何？解：由ab2ab得2，4ab（）（4ab）（5），4ab的最小值为【师说点拨】利用基本不等式求最值时，必须注意三

5、点：“一正，二定，三相等”，缺一不可如果项是负数，可转化为正数后解决，当和（或积）不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和（或积）化为定值【变式探究】已知x0，y0，且2x8yxy0，求（1）xy的最小值；（2）xy的最小值解：（1）2x8yxy2，xy80，解得xy64当x16，y4时，xy最小值为64（2）2x8yxy，1，则xy（xy）（）1018，当x12，y6时，xy的最小值为18【考点二】利用基本不等式证明不等式 例22012湖北高考设a，b，cR，则“abc1”是“abc”的（）A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【审题视点

6、】按照化繁为简的原则，先对不等式的左侧进行变形化简，关键是题设条件“abc1”的灵活应用解析先考查充分性：当abc1时，又因为2（abc）（ab）（bc）（ca）222（当且仅当abc1时取等号），即abc，故充分性成立；再考查必要性：取abc3，显然有abc，但abc1，故必要性不成立应选A答案A【师说点拨】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等【变式探究】2012福建高考下列不等式一定成立的是（）Alg（x2）lgx（x0

7、）Bsinx2（xk，kZ）Cx212|x|（xR）D1（xR）答案：C解析：本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件对于A选项，当x时，lg（x2）lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，x211，00）表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为32 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解（1）令y0，得kx（1k2）x20，由实际意义和题设

8、条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km（2）因为a0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k0，使ka（1k2）a232成立，即关于k的方程a2k220aka2640有正根由（20a）24a2（a264）0得a6，此时，k0（不考虑另一根）当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标【师说点拨】解实际应用题要注意以下几点：（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解【变式探究】2013郑州模拟把一段长16

9、米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为（）A4B8C16D32答案：B解析：设截成的两段铁丝长分别为x,16x,16x0，则围成的两个正方形面积之和为S（）2（）28，当且仅当，即x8时，等号成立故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B【课课精彩无限】03忽视不等式中等号成立的条件而致误【选题热考秀】2012浙江高考若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（）ABC5D6规范解答x3y5xy，5，x0，y0，（3x4y）（）9421325，5（3x4y）25，3x4y5，当且仅当x2y时取等号，3x4y的最小值是5，选C答案：C【备考角度说】No1角度关键词

10、：易错分析（1）不能根据函数解析式的特征适当变形，化为两式之和为定值，使题目无法进行（2）两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错如本题易出现：x3y5xy2，xy，又3x4y22 ，误选A项，第一个等号成立条件“x3y”，而第二个等号成立条件为“3x4y”，显然等号不能同时成立，故不正确No2角度关键词：备考建议（1）重视基本不等式的形式及其条件，在解题中要根据不同的情况进行适当地变形，为使用基本不等式提供前提；（2）对于在同一问题中连续使用基本不等式的情况，要注意及时判断等号能否同时取得，以防止出错；（3）要注意利用常数代换法对代数式进行转化的技巧【经典演练提能】0412012陕西高考小

11、王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBvCvDv答案：A解析：由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v，又ab，av0，b0，且2ab4，则的最小值为（）AB4CD2答案：C解析：由42ab2，得ab2，又a0，b0，所以，当且仅当a1，b2时等号成立32013福建质检设a0，若关于x的不等式x5在（1，）上恒成立，则a的最小值为（）A16B9C4D2答案：C解析：关于x的不等式x5在（1，）上恒成立，a（5x）（x1）在（1，）上恒成立（5x）（x1）（x3）244，a4，即a的最小值为442013金版原创已知x0，y0，且1，若

12、x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（）Am4或m2Bm2或m4C2m4D4m0，y0，且1，x2y（x2y）（）4428，当且仅当，即4y2x2，x2y时取等号，又1，此时x4，y2，（x2y）min8，要使x2ym22m恒成立，只需（x2y）minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0，b0，给出下列四个不等式：ab2；（ab）（）4；ab；a2其中正确的不等式有_（只填序号）答案：解析：a0，b0，ab222（ab）（）44，a2b2（ab）（ab），aba（a4）42 42，当且仅当a4，即（a4）21时等号成立，而a0，（a4）21等号不能取得综上正确【限时规范特训】05（时

13、间：45分钟分值：100分）一、选择题12013常州质检已知f（x）x2（x0），则f（x）有（）A最大值为0B最小值为0C最大值为4D最小值为4答案：C解析：x0，x2（x）2224，当且仅当x，即x1时，等号成立22013长沙质检若0x1，则当f（x）x（43x）取得最大值时，x的值为（）ABCD答案：D解析：0x1）的图象最低点的坐标为（）A（1,2）B（1，2）C（1,1）D（0,2）答案：D解析：yx12，当x1，即x0时，y最小值为2，故选D项4已知ma（a2），n（）x22（xnBm2，x0，m（a2）2224，n22x2n，故选A52013商丘模拟若向量a（x1,2），b（4，

14、y）相互垂直，则9x3y的最小值为（）A12B2C3D6答案：D解析：依题意得4（x1）2y0，即2xy2,9x3y32x3y2226，当且仅当2xy1时取等号，因此9x3y的最小值是6，选D6已知a，b为正实数且ab1，若不等式（xy）（）m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是（）A4，）B（，1C（，4D（，4）答案：D解析：因为（xy）（）abab2224，当且仅当ab，时等号成立，即ab，xy时等号成立，故只要m0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中mn0，则的最小值为_答案：2解析：由题知，函数图象恒过点A（1,1），且点A在直线mxny20上，所以m

15、n2，其中mn0，所以（）（mn）（2）（22）2，当且仅当mn1时取得最小值，故所求的最小值为292013鹤岗模拟若a，b，c0，且a2abacbc4，则2abc的最小值为_答案：4解析：由已知得a2abacbc（ab）（ac）4，则2abc（ab）（ac）24，2abc的最小值为4三、解答题102013梅州质检已知lg（3x）lgylg（xy1）（1）求xy的最小值；（2）求xy的最小值解：由lg（3x）lgylg（xy1）得（1）x0，y0，3xyxy121，3xy210，即3（）2210，（31）（1）0，1，xy1，当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1（2）x0，y0，xy13

16、xy3（）2，3（xy）24（xy）40，3（xy）2（xy）20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2112013房山区模拟已知a0，b0，ab1，求证：（1）8；（2）（1）（1）9证明：（1）2（），ab1，a0，b0，2224，8（当且仅当ab时等号成立）（2）方法一a0，b0，ab1，112，同理，12，（1）（1）（2）（2）52（）549（1）（1）9（当且仅当ab时等号成立）方法二（1）（1）1由（1）知，8，故（1）（1）19122013三明模拟某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形AB

17、CD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2（1）设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区解：（1）设DQy，则x24xy200，yS4200x22104xy804y2380004000x2（0x10）（2）S380004000x2380002118000，当且仅当4000x2，即x时，Smin118000（元），即计划至少要投入118万元才能建造这个休闲小区-