3.2导数在实际问题中的应用-北师大版高中数学选修2-2课件(共30张PPT).pptx

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1、2导数在实际问题中的应用,1.生活中的变化率问题在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.2.最大值、最小值问题函数y=f(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点也有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.,名师点拨正确理

2、解函数的极值与最值(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.,解析:f(x)=x2-4,令f(x)=x2-4=0得x=2或x=-2(舍).当x(0,2)时,f(x)0,因此x=2是函数f(x)的极小值点,f(0)=4,f(3)=

3、1,f(x)在0,3上的最大值为f(0)=4.答案:B,【做一做2】某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0x60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()A.30B.40C.50D.不确定,又当00,当40xf(-2),f(x)min=f(-2)=-16a+5=-11.a=1.f(x)=x3-2x2+5.若af(1).f(-2)=f(x)max=5.a=-1.f(x)=-x3+2x2-11.,探究一,探究二,思维辨析,实际问题的最值【例2】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销

4、售收入为R(x)万元,且,(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值.分析:利润是销售收入减去成本,而成本又包括固定成本与可变成本,要先求出函数W,再利用求最值的方法求利润最大值.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,综合知,当x=9时,W取得最大值为38.6万元.答:当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,最大值为38.6万元.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练3有甲,乙两个工厂,甲厂位于一笔直河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离岸

5、40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A处相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元,则供水站C应建在岸边何处才能使水管费用最省?,探究一,探究二,思维辨析,解:依题意设CD=xkm,则AC=(50-x)km,解得x=30(负值舍去).当0x0.x=30时y取最小值,此时CD=30km.故AC=50-30=20km,因此供水站建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练4统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为,(1)当汽车以40千

6、米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?,即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.,探究一,探究二,思维辨析,令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)0.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值.故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.,探究一,探究二,思维辨析,因不注意实际问题的定义域而致误【典例】现有一批货物由海上从A地运往B地.已知轮船的最大航行速

7、度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?易错分析:解应用题最关键的就是要准确写出数学模型的函数关系式,这其中就包括函数的定义域.求定义域时一定要根据题目的条件,考虑自变量的实际意义.本题中函数的定义域为(0,35.,探究一,探究二,思维辨析,令y=0,解得x=40或x=-40(舍去),函数的定义域为(0,35,函数在定义域内没有极值点.又0

8、x35时,y0,故为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度行驶.,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得对于实际问题,除要正确地写出函数关系,依据求函数最值的步骤求最值外,还要注意验证极值点是否在函数的定义域内,若不在定义域内,则需要考虑应用函数的单调性求解.,12345,1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值,最小值分别是()A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,16解析:f(x)=6x2-6x-12,令f(x)=0得x=2或x=-1(舍),当0x0,即f(x)在x=2时,取极小值f(2)=-15,又f(0)=5,f(3)=-4,所以f(x)在0,3

9、上的最大值为5,最小值为-15.答案:A,12345,2.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为()A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm解析:设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0x24),V=12(24-x)(8-x).令V=0,则在(0,24)内有解x=8.故当x=8时,V有最大值.答案:B,12345,3.函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0a0.-3a0

10、.0am,则实数m的取值范围是.,解析:f(x)=3x2-x-2,令3x2-x-2=0,12345,5.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)年销售量.(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?,值时,本年度的年利润最大?最大利润是多少?,12345,解:(1)由题意得本年度每辆车的投入成本为10(1+x),出厂价为13(1+0.7x),年销售量为5000(1+0.4x),因此本年度的利润为y=13(1+0.7x)-10(1+x)5000(1+0.4x)=(3-0.9x)5000(1+0.4x)=-1800 x2+1500 x+15000(0x1),12345,240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则f(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),