高中数学竞赛专题讲座---重要不等式.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学竞赛专题讲座-重要不等式重要不等式专题讲座重要不等式专题讲座解答不等式问题往往没有固定的模式，证法因题而异，多种多样，不等式问题的趣味性和灵活性决定了它在数学竞赛中的地位。当然，熟悉并掌握一些常用的解决不等式问题的方法技巧是很有必要的，除比较法、放缩法、反证法、分析法、综合法等基本方法外，数学归纳法、变量代换（含局部、整体、三角、复数代换等）、函数方法（利用单

2、调性、凸性、有界性及判别方法等）、构造法（构造恒等式、数列、函数等）、调整法等在数学竞赛中也是常用的。要多做题，多总结，融会贯通，举一反三，才能提高解决、研究不等式问题的能力.一. 有关结论1、平均值不等式设是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式设，则等号成立当且仅当存在，使上述两个不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是需要注意的。3排序不等式设是的一个排列，令.则证: 若,由.设，则可见按上述方法调整后，的值不增，若此时在中，仿上又可得，最多经过步调整以后，若在中，将其中的与互换，得到，则，故由于，利用上面

3、结论，得综上，命题获证。排序不等式可简述为：“反序和乱序和同序和”。4琴生不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。证: 当时，命题显然成立。假设时命题成立，当时，令则又令当且仅当时取等号。综上所述，对一切正整数，命题成立。另外，绝对值不等式等也是较为常用的。二. 典例解析例1 设，求证：证: 令，则分两种情形：（1）时，.（2）时，.点评: 注意到，故先作代换，使的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例2 记，求证：证: 欲证式由柯西不等式，有又由柯西不等式，有.欲证不等式成立。点评: 本题有一定的难度，第一步代数变形是基

4、本功，将化为若干项之和，便于处理. 第二、三步对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例，值得回味。例3 设，证明：证: 我们证明 事实上，而，故成立.同理，.因此，故原不等式左边成立.下面证明原不等式右边：，记，则，当时，因此在时是增函数，.当时，因此在是上凸函数，由Jesen不等式，. 又知,结合在递增，, 由可得，所以.综上所述，故原不等式获证.例4 设，满足求证：证: 记，则设且是的一个排列，且使又设.则，故不妨设（否则，若，取，此时仍满足题设，且，不影响结论的一般性）。由排序不等式，有即欲证不等式成立。点评: 绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键，注意到，再通过适当的放缩即可证得结论。

5、例5 设，求证：证: 注意到函数在上是增函数，当时，故只需证明：，其中即证.由于.从而，欲证不等式成立。例6 试确定所有的正常数，使不等式对满足的非负数均成立。解: 全部解，其中取及，便得及下面证明：对满足的非负实数都成立。只需证明关于的齐次式： 对满足的非负实数都成立。令式左边.由柯西不等式，.又均为非负实数，.结合，式左边.故获证。综上，所求全部解点评: 先取特殊值（如中值、边值）得参数的范围，再证明在这个范围内不等式成立，这是含参不等式的处理方法。例7 正实数满足条件：，.证明：对于任意确定的，如果，则.证: 由已知条件及柯西不等式，得.令，显然有，由已知，得又对于固定的，有，.又，由柯

6、西不等式，得；两个不等式相加，得所以，由定义及，有从而，即.原命题获证。二. 练习题1设，求证：证: 欲证式由柯西不等式， 注意到又.故, 由 欲证式成立.点评: 这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择和，便于运用柯西不等式2已知ABC的外接圆半径为R，半周长为p，面积为S. 求的最大值.解: . 因为在内为上凸函数， 故当时，取得最大值3设是一个无穷项的实数列，对于所有正整数存在一个实数，使得且对所有正整数成立，证明：证: 对于，设为的一个排列且满足：（柯西不等式）.故评注: 这里抓住整体性质，利用不等式处理问题是常用的思想方法。 4对任意a,b,cR+，证明：

7、（a2+2）（b2+2）（c2+2） 9（ab+bc+ca）.证: 原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽屉原理，不妨设a和b同时大于等于1，或同时小于等于1。则c2（a2-1）（b2-1） 0.即a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2 由均值不等式，有以及.2+ 3+ 6 7. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+ a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2= (a2 + b2 )+ (a2c2 +1)+( b2c2 +1)2a b+2ac+2bc,2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc. +得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。评注: 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术几何平均值不等式给出了一个很精巧的证明，本题也可以利用柯西不等式与算术几何平均值来证明。5设是正实数无穷序列. 证明：对任意正整数N，不等式成立，其中是的算术平均值，即证:由，有（）.两边分别求和，得由cauchy不等式，得-