一元三次、一元四次方程的基本解法毕业论文.doc

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1、引言一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程后，再求出四次方程的根。我在本论文中首先提出一元三次方程的定义和一般形式与一元四次方程的定义和一般形式，然后详细地讨论一元三次，一元四次方程的基本解法，最后根据该解法解出给定举例的根。 1一元三次方程的解法定义：如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为三的方程叫做一元三次方程.一元三次方程的一般形式： ， 1.1形如的一元三次方程的解法.设有方程 （1） 我们令，并代入方程（1）得展开并整理得到 （2）为了减少（2）中的未知数，不妨设从而

2、（2）变为 即 根据伟大定理可知是二次方程的两个根，解这个二次方程得从而有 ， ， ， ， 其中 ， 因此方程 三个解的公式是：这个公式叫做卡丹（cardano）公式.这里中与各有3个值，因此共有9个值，但是其中的三个值满足条件，所以原方程只有三个解.如： 又如： ， 其中6个值不满足条件 . 下面讨论根的情况：由以上可得一元三次方程的判别式：.并且可知决定了根的性质：（1）当时，是不相等的两个实数，原方程（1）有一个实根和两个共轭虚根，即 （2）当时，原方程（1）有三个实根，并且其中两个相等，即（3） 当时，和都是复数，并且共轭复数，因为由 有因为 即 即 设是的任意一个值，从而，因此有即时

3、原方程有三个互异的实根，它们是： ， ， 例1. 解方程 解： ， 因此原方程有三个互异的实根。又由 ， 所以三个根 ，其中 ，其中 所以原方程的三个根为： ， ，. 1.2.一般一元三次方程 的解法设有一般地一元三次方程 （1）对它进行化简，目标是将它的二次项系数化为零.令 ，其中是一个待定常数并代入(1) 得 展开并整理得到取 （2）把（2）代入（1）得即 （3） . 其中 ， 只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解.根据形如的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三个解：又由得到原方程的三个根.由以上的讨论可知方程的解法步骤：(1)由的值求或代入原方程得写出的值，且写

4、出.(2)计算判别式 与 其中根据的值计算出的解.(3)把的值代入得到原方程的三个根.例2. 解出方程.解：（1）由已知得且（2）且 即 即 由可知原方程有一个实根，两个共轭虚根，即 （3）由得到原方程的三个根： ， ， ，.例3. 解方程 解：（1）由已知得 且 ， （2）因此原方程有三个实根，其中两个相等，即 （3）由得到原方程的三个根是： ， .2.一元四次方程的解法定义：如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为四的方程叫做一元四次方程.一元四次方程的一般形式： .2.1.用待定系数法解一元四次方程待定系数法的定义：为了求得某一个代数式可以根据这个代数式的一般形式引入待定的系数，然后根

5、据条件列出方程组，再通过解方程组来确定待定的系数值，这种确定未知代数式的方程叫做待定系数法. 设有方程 （1） 令 ， 并代入原方程消去三次项得 （2） 设 其中系数 是待定常数，通过比较系数得 （3）若 ，则 ，此时方程是双二次方程，很容易解出若 时可解得 （4）于是 （5）设是该方程的任意一个根，则由（4）有 ， 从而方程（2）变为 分别解方程 和 即可得方程（2）的解，并进一步得到方程（1）的解.例4. 解方程 . 解：令 并代入所给的方程，化简得 （1）设 因为 ，于是有得取 ， ， 因此方程（1）可写成 由 解得 由 解得 由 得原方程的四个根： ， ， .2.2解一元四次方程的一般

6、方法设有方程 （1）对它进行化简，目标是将它得三次项系数化为零.令 ， 其中是待定常数.把 代入（1）得展开并整理得到 又令 ，并代入 得到 （2）把（2）代入（1）得 （3）其中用表示的常数.只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解.又令代入（3），展开并整理得到令 且 （5） （6）把（5），（6）代入（4）得从而有 ， 即得到 （7）由（7）可知是下面三次方程的根 （8）我们根据一元三次方程的解法求出（8）的三个根，若这三次方程的根是 . 即 这时有8种可能的结合，但是由于（6）的限制所以实际上只有4种结合，这就是四次方程的解，又由得到原方程的四个根. 总结总的来说，如

7、果要求解出一元三次，四次方程的根，那么根据一元三次，四次方程的解法任选用上面所述的解法能降低运算量，并且顺利达到目的。 参考文献 中学代数研究，张奠宙，张广祥.高等教育出版社，2006年1月第一版. 一元三次方程的解法，玉素音.艾山，喀什师范学院学报，2008年12月20日出版. 初等代数研究（下册），余元希，田万海，毛宏德.高等教育出版社，1988年2月第一版. 初等代数研究，李辰明，周焕山.高等教育出版社，1995年6月第一版. 中国矿业学院研究室，数学手册，科学出版社，1980年9月第二版. 基础数学（上册），万传良，李治明.新建教育出版社，1999年6月第一版. 一元代数方程 ，刘培娜.科学出版社，1985年第一版