高中计数原理与概率计数原理.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中计数原理与概率计数原理高中计数原理与概率计数原理高中计数原理与概率计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，在第类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，做第步，有种

2、不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析1分类原理中分类的理解：“完成一件事，有类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可

3、行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这个步骤，这件事才算最终完成.3两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有类办法，这类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.4在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.5在有些问题

4、中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲例1体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A12 种 B7种C24种 D49种错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. 选B错因:没有审清题意本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选

5、择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7749种. 应选D例2从1,2，3，,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共336个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列864220个.错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全

6、面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8216个；公差为2时，满足要求的数列共6212个；公差为3时，有428个；公差为4时，只有224个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16128440个.例3三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相

7、同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3216个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8648个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到64248个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.例4集合A1,2，3,4，集合B1，2，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.解： 从集合A到集合B的映射共有=16个，只有都与1，或2对映的两个映射不符合题意，故以A为定义域B为值域的不同函数共有16214个.或 例5 用0，1,2，3,4，5这

8、六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？解：（1）分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有554100个.（2）分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有566180个.（3）分三步：先选个位数字，由于组成

9、的三位数是奇数，因此有3种选法；再选百位数字有4种选法；个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有34448个.（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有5525个；三位数，共有554100个.因此，比1000小的自然数共有625100131个（5）分四类：千位数字为3,4之一时，共有2543120个；千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有44348个；千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有236个；还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共1204861175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.四、典型习题导练1将4个不

10、同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（） A种 B种 C18种D36种2集合A1,2，3，B1，2,3，4，从A、B中各取1个元素作为占点P的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？5某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？6. 某地提供A、B、C、D四

11、个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？9.2 排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的全排列.3. 排列数：从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用！表示.规定：0！15.组合：一般地，从个不同元素中

12、取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.6.组合数：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里、，且）（2）组合数公式（这里、，且）（3）组合数的两个性质规定： 二、疑难知识导析1排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.2排列与排列数是

13、两个不同的概念.一个排列是指从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从个不同元素中取出（）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考

14、.恰当分类，合理分步.在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.解排列应用题的基本思路：基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5排列与组合的区别与联系：根据排列与组合的定义，前者是从个不同元素中取出个不同元素后，还要按照一定的顺序排

15、成一列，而后者只要从个不同元素中取出个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.排列与组合的共同点，就是都要“从个不同元素中，任取（）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列

16、，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.排列数与组合数的联系.求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；第二步，求每一个组合中个元素的全排列数.根据分步计数原理，得到.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类

17、，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.三、经典例题导讲例1 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于10个元素到6个元素的映射，故有种不同的坐法.错因:没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本题事实上是一个排列问题.正解：坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中

18、的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有151200种坐法.例2从3，2，1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 的系数，的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？错解：从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 的系数，的取值，交换，的具体取值，得到的二次函数就不同，因而本题是个排列问题，故能组成个不同的二次函数.错因:忽视了二次函数 的二次项系数不能为零. 正解：，中不含0时，有个；，中含有0时，有2个.故共有2294个不同的二

19、次函数.注：本题也可用间接解法.共可构成个函数，其中0时有个均不符合要求，从而共有294个不同的二次函数.例3以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有 3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有9个；上底面取3点时，下底面取一点，有 3个.综上知，共可组成39315个不同的三棱锥.错因:在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法.正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有15取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15312个不同的

20、三棱锥.例4 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？解：从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有种坐法；而大元素内部的小元素间又有种坐法.故共有576种坐法.因为女生互不相邻，故先将4名男生排好，有种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有种排法.故共有1440种排法.类似（1）可得：288种男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只

21、能排在男生之间的3个空档中，有种排法.故共有144种排法.7个元素的全排列有种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有排法，可知中重复了次，故共有840种排法.本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有840种排法.例5 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有42种；从三个车队中抽调，每个车

22、队抽调一辆，有35辆.由分类计数原理知，共有7423584种抽调方法.本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而有84种抽调方法.例6用0,1，2，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？解：若千位数字与个位数字中有一个为0 ，则另一个为2，且0只能在个位，2在千位，这样有四位数有个.若千位与个位都不含有0，则应为1与3、2与4，3与5、4与6

23、,5与7、6与8,7与9，这样的四位数有7个.共有7840个符合条件的四位数四、典型习题导练1某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？2. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？3有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？5. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？6.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？-