高等数学习题详解-第4章--微分中值定理与导数的应用.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学习题详解-第4章-微分中值定理与导数的应用第3章 导数与微分习题4-11验证下列各题的正确性,并求满足结论的的值:(1) 验证函数在区间上满足罗尔定理;(2) 验证函数在上满足拉格朗日中值定理;(3) 验证函数在区间上满足柯西中值定理. 解:(1) 显然在上连续,在内可导,且,又 ,可见在内,存在一点使(2) 在上连续,即知在内可导,由得,即在内存在使拉格朗日
2、中值公式成立.(3) 显然函数在区间上连续,在开区间内可导,且于是满足柯西中值定理的条件.由于 令得取则等式成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2不求导数函数的导数, 判断方程有几个实根,并指出这些根的范围. 解 因为所以在闭区间和上均满足罗尔定理的三个条件,从而,在内至少存在一点使即是的一个零点;又在内至少存在一点使即是的一个零点.又因为为二次多项式,最多只能有两个零点,故恰好有两个零点,分别在区间和.3设函数是定义在处处可导的奇函数,试证对任意正数a,存在, 使 .证 因处处可导,则在上应用拉格朗日中值定理:存在,使.由是奇函数,则上式为, 故有.4应用拉格朗日中值
3、定理证明下列不等式:(1) 当时, ;(2) 若, 则.证(1) 当时,设则在上满足拉格朗日定理的条件.故 由且得:.(2) 若,不妨设,令则在上满足拉格朗日定理的条件.故 从而.5应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式:(1) ;(2) .证(1) 设, 又 即(2)设,因为,所以 ,是常数.又 , 即故 .6设函数在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点, 使证 作辅助函数则在上满足柯西中值定理的条件,故在内至少存在一点使即 习题4-21写出函数在处的四阶泰勒公式.解 , 于是所求泰勒公式为其中在1与之间.2. 写出函数在处的带皮亚诺余项的阶泰勒公式.解 , 于是所
4、求的带皮亚诺余项的阶泰勒公式为3求下列函数的带皮亚诺余项的阶麦克劳林公式:(1) ; (2) .解 (1)因为所以.(2) 由 知故 .4. 用泰勒公式计算下列极限:(1) ; (2) . 解 (1) 又从而(2) 又从而.5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值,并估计误差:(1) ; (2) . 解 (1) 上式中,取得以代入得,(取小数点后四位)其误差 . (2) .取得 (取小数点后四位)其误差 习题4-31计算下列极限:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14)
5、;(15) ; (16) ;(17) ; (18) ; 解 (1) ; (2) =-2; (3) ; (4) =1;(5) ; =3(6) =-1;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14) ;(15) ,又故=; (16) =,又,故=1;(17) ; (18) .2. 设,,,求.解 .习题4-41判断函数的单调性. 解 又 在内, 函数单调减少;在内, 函数单调增加.2判断函数在区间的单调性. 解 ,在区间,函数单调减少.3求下列函数的单调区间:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解 (1) 解方程得当时, 在上单调增加;当时
6、, 上单调减少;当时, 在上单调增加.(2) ,解方程得,在内,在内单调减少;在内,在单调增加.(3) 令解得在处不存在.在内,函数单调增加;在内,函数单调增加;故函数在内函数单调增加;在内,函数单调减少; 在内,函数单调增加. (4) ,令解得在内,函数单调增加;在内,函数单调减少;在内,函数单调减少;在内,函数单调增加.4当时,应用单调性证明下列不等式成立:(1) ;(2) .证 (1) 令, 则 . 当时, 在上单调增加, 当时,即,故.(2)设则在上连续,且在内可导, 在上单调增加, 当时,即又设因为在上连续,在内可导,且当时,又 故当时,所以综上,当时,有,证毕.5证明方程有且只有一
7、个小于1的正根.证 令,因在闭区间连续,且.根据零点定理在内有一个零点,即方程至少有一个小于1的正根.在内, 所以在内单调增加,即曲线在内与轴至多只有一个交点.综上所述,方程有且只有一个小于1的正根.6求下列曲线的凹凸区间及拐点:(1) ; (2) ; (3) ;(4) .解 (1)函数的定义域为 令得0+00+凹的拐点凸的拐点凹的所以,曲线的凹区间为,凸区间为拐点为和(2) 函数的定义域为 函数在处不可导,但时,曲线是凸的,时,曲线是凹的.故凹区间为,凸区间为,拐点为;(3) 函数的定义域为 , 令得在,曲线是凹的;在,曲线是凸的;在,曲线是凹的.因此凹区间为,,凸区间为,拐点为和.(4)
8、函数的定义域为 , , ,令得在处不存在,在,曲线是凸的;在,曲线是凹的;在,曲线是凹的;故凹区间为,,凸区间为,拐点为.7利用函数的凹凸性证明:若,则不等式成立.证 令(),则所要证明的不等式改写为.因此问题转化为要证明在内为凹.由,因,故在内为凹,于是不等式成立.习题4-51求下列函数的极值:(1) ;(2) ; (3) ; (4) ;(5) ; 解 (1) ,令得驻点列表讨论如下:00极大值极小值所以, 极大值极小值.(2) ,令得驻点列表讨论如下:100极小值极大值所以, 极小值极大值.(3) 函数的定义域为,令得驻点,在内,在内单调减少;在内,在单调增加.所以,有极小值.(4) 令解
9、得在处不存在.在内,函数单调增加;在内,函数单调增加; 在内,函数单调减少; 在内,函数单调增加. 因此,有极大值极小值.(5) 由得驻点因故在处取得极小值,极小值为因考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取 左侧邻近的值时, 当取右侧邻近的值时, 因的符号没有改变,故在处没有极值.同理,在处也没有极值. 2. 设是函数的极值点,则为何值?此时的极值点是极大值点还是极小值点?并求出该值. 解 由,因是极值点,故,得=2,又,所以,是极大值点,极大值为:3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值:(1) , ;(2) , ;(3),.解 (1)解方程得计算.比较得最大值,最小值.(2) ,令得,
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