高等数学第七版下册复习纲要.总结.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学第七版下册复习纲要.总结第六章：微分方程第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3. 特解与通解的关系：可通过初

2、始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法1. 可分离变量的微分方程及其解法(1).方程的形式：.(2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解步骤. 分离变量，将方程写成的形式；. 两端积分：，得隐式通解；. 将隐函数显化.2. 齐次方程及其解法(1).方程的形式：.(2).方程的解法：变量替换法(3). 求解步骤引进新变量，有及；代入原方程得：；分离变量后求解，即解方程；变量还原，即再用代替.3. 一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：.一阶齐次线性微分方程:.一阶非齐次线性微分方程:.(

3、2).一阶齐次线性微分方程 的解法: 分离变量法.通解为,().(公式)(3).一阶非齐次线性微分方程的解法: 常数变易法.对方程，设为其通解，其中为未知函数，从而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，两端积分得 ，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解 ，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.第八章：空间解析几何与向量代数一、向量 1.向量与的数量积：；2. 向量与的向量积：.的几何意义为以为邻边的平行四边形的面积.3. 向量的方向余弦：，；.4. 向量与垂直的判定：.5. 向量与平行的判定：.6. 三向量共面的判定： 共面.7. 向量在上的投影：.二、

4、平面1. 过点，以为法向量的平面的点法式方程：.2. 以向量为法向量的平面的一般式方程：.3. 点到平面的距离.4. 平面与平行的判定：.5. 平面与垂直的判定： .6. 平面与的夹角：三、直线 1. 过点，以为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：.2. 过点，以为方向向量的直线的参数式方程：.3. 直线的一般式方程：.方向向量为.4.直线方程之间的转化：i) 点向式参数式ii) 一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量5. 直线与平行的判定： .6. 直线与垂直的判定：.7. 直线与的夹角：.8. 直线与平面垂直的判定：.9. 直线与平面平行的判定：.10. 直线与平面的夹角：.1

5、1.点到直线的距离：，其中是直线上任意一点，.四、曲线、曲面1. 平面上的曲线：绕轴旋转一周所得的旋转曲面为：.2.空间曲线：关于平面上的投影柱面方程为：；在平面上的投影曲线为：.第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数在点的二重极限：.2.二元函数在点的连续性：.3.二元初等函数在其定义区域内连续.二、二元函数的偏导数的相关知识点1.函数 对自变量的偏导数：及

6、. 2. 函数 对自变量的二阶偏导数：、注：若二阶混合偏导数与连续，则二者相等.三、二元函数的全微分：四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必.3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：，2.中间变量为两个，自变量为

7、两个的复合函数的偏导数：， 六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：确定隐函数，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即，即，解得2.由方程组确定的隐函数组微分法：确定隐函数，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即，即，可以解出.七、偏导数的几何应用1.曲线的切线方程和法平面方程1). 以参数式方程表示的曲线在对应的点的切线方程：法平面方程：2). 以一般式方程表示的曲线在点的切线和法平面方程：先用方程组确定的隐函数组微分法求出，然后得到切线的方向向量切线方程：法平面方程：2.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：切平面线方程：法方程： 2

8、).以特殊式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：令，有曲面在点的切平面的法向量切平面线方程：法方程： .3.方向导数与梯度：1). 方向导数：2). 方向导数存在条件：可微分函数在一点沿任意方向的方向导数都存在，并且，其中是方向的方向余弦.3). 梯度：函数在点处的梯度( ).4). 方向导数与梯度的关系： .函数在点处增加最快的方向是其梯度的方向，减小最快的方向是的方向. 函数在点沿任意方向的方向导数的最大值为.八、极值、条件极值1. 函数的极值点和驻点的关系：函数的极值在其驻点或不可偏导点取得.2.求函数极值的步骤：(1).对函数求偏导数，解方程组，得所有驻点.(2).对每一个驻点，求出

9、二阶偏导数的值.(3).计算，根据以及的符号判定是否是极值：若，则是极小值；若，则是极大值；若，则不是极小值；若，则是否是极值不能判定，需其他方法验证.3.求函数在附加条件下的条件极值的方法：做拉格朗日函数，对自变量求偏导，建立方程组与附加条件联立的方程组，解出的就是函数的可能极值点.第十章：重积分一、二重积分的相关性质1.有界闭区域上的连续函数在该区域上二重积分存在；2.若函数在有界闭区域上二重积分存在，则在该区域上有界；3.中值性：若函数在有界闭区域上连续，区域的面积为，则在上至少存在一点，使得.4. ，区域的面积为.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分1).先对后对积分，由

10、于积分区域；，有.2).先对后对积分，由于积分区域；，有.3).积分换序：.2.利用极坐标计算二重积分令，由于积分区域；，有.三、三重积分的相关性质：，区域的体积为.四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分积分区域：；，有第十一章：曲线积分 曲面积分一、曲线积分的计算1.第一型曲线积分的计算：若曲线的参数方程是：，则第一型曲线积分2.第二型曲线积分的计算：若曲线的参数方程是：，分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式.注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区

11、域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为.2. 函数在区域D上连续.二、曲面积分的计算1.第一型曲面积分的计算：若曲面的方程是：具有连续偏导数，且在平面上的投影区域为，函数在上连续，则第一型曲面积分2.第二型曲面积分的计算：若正向曲面的方程是：，且在平面上的投影区域为，函数在上连续，则第二型曲面积分，同理可得 ；3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数在空间有界闭区域及其光滑边界曲面S上具有连续偏导数，则有高斯公式：.注：设空间有界闭区域由光滑封闭曲面S所围成，则区域的体积为. 4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数在光滑曲面S及其光滑的边界曲线C上具

12、有连续偏导数，则有斯托克斯公式.三、曲线积分与路径无关的条件(1). 曲线积分与路径无关；(2). ；(3). 存在函数，使得；(4). 第十二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质1.敛散敛散2. 收敛3. 发散4. 正项级数的部分和数列有界级数收敛5. 收敛收敛.二、级数敛散性判别1.正项级数敛散性判别(1).比较判别法；(2).比值判别法；(3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法3.任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1). 等比级数收敛条件是；发散条件是.(2). p级数收敛条件是；发散条件是.二、幂级数的相关概念1.收敛域的求法(1

13、).对标准幂级数，先求其收敛半径，再判断级数以及的敛散性，最后确定收敛域是、以及中的哪一个.(2). 对非标准幂级数，先求极限，当时，绝对收敛，解出，再判断级数以及的敛散性，最后确定收敛域是、以及中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.-书是我们时代的生命别林斯基书籍是巨大的力量列宁书是人类进步的阶梯高尔基书籍是人类知识的总统莎士比亚书籍是人类思想的宝库乌申斯基书籍举世之宝梭罗好的书籍是最贵重的珍宝别林斯基书是唯一不死的东西丘特书籍使人们成为宇宙的主人巴甫连柯书中横卧着整个过去的灵魂卡莱尔人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远普希金人离开了书，如同离开空气一样不能生活科洛廖夫书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉 库法耶夫书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者史美尔斯书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料雨果