高等数学习题详解-第2章-极限与连续.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学习题详解-第2章-极限与连续高等数学习题详解-第2章-极限与连续习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) ; (2) ； (3) ； (4) .解：(1) 此数列为 所以。(2) 所以原数列极限不存在。(3) 所以。(4) 所以2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0

2、的数列的通项也一定大于0.解：(1) 正确。(2) 错误 例如数列有界，但它不收敛。(3) 正确。(4) 错误 例如数列极限为1，极限大于零，但是小于零。*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) ; (2) ；(3) 证：(1) 对于任给的正数，要使，只要即可，所以可取正整数.因此，当时，总有，所以.(2) 对于任给的正数，当时，要使，只要即可，所以可取正整数.因此，当时，总有，所以.(3) 对于任给的正数，要使，只要即可，所以可取正整数.因此，当时，总有，所以.习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限：(1) ; (2) ； (3) ； (4) ;(5) ; (6) ；

3、 (7) ； (8) 解：(1) ; (2) ； (3) ； (4) ;(5) ; (6) ； (7) ； (8) 2. 函数在点x0处有定义，是当时有极限的(D)(A) 必要条件(B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究当的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势，而不关心在处有无定义，大小如何。3. 与都存在是函数在点x0处有极限的(A)(A) 必要条件(B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 无关条件解：若函数在点x0处有极限则与一定都存在。4 设作出的图像；求与；判别是否存在? 解：，故不存在。5设,当时，分别求与的左、右极限，问与是否存在?

4、 解：由题意可知，则，因此。由题意可知，因此不存在。*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1) ; (2) ；(3) .证：(1) ，要使，只要即可.所以，,当时，都有，故.(2) 对于任给的正数，要使,只要. 所以， , 当时，都有不等式成立.故.(3) 对于任给的正数，要使,只要.所以， , 当时，都有不等式成立.故.习题2-31下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?(1);(2);(3)解：(1) 因为，故时为无穷小，因为，故时为无穷大。(2) 因为，故时为无穷小，因为，故和时都为无穷大。(3) 因为，故和时为无穷小，因为，故时为无穷大。2求下列函数的极限：(1) ;(2)

5、;(3).解：(1) 因为，且，故得.(2) 因为，且，故得.(3) 因为，且，故得.习题2-41. 下列运算正确吗?为什么?(1) ;(2).解：(1) 不正确，因为不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为，且，故得.(2) 不正确，因为，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为，由无穷小与无穷大的关系可知.2. 求下列极限：(1) ； （2） ；（3）;(4) ;(5) ; （6）;(7) ; (8);(9) .解：(1) ； （2） ；（3）;(4) ;(5) ; （6）; 因为，且，所以(7) ; (8);(9) .3.已知 , 求 解：因为，所以，

6、。习题2-51.求下列函数的极限：(1);(2);(3); （4）;(5); (6).解：(1);(2);(3); （4）;(5); (6).2. 求下列函数的极限:(1); (2);(3) ; (4).解：(1); (2);(3) ; (4).习题2-61. 当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？解：因为，所以比高价。2. 当时，无穷小量与（1）；（2）是否同阶？是否等价？解：因为，所以与是同阶无穷小，因为，故无穷小量与 是等价无穷小。3. 利用等价无穷小，求下列极限:(1); (2)；（3）； （4） ；（5） ； （6） .解：(1); (2)；（3）； （4） ；（5） ； （6） .习题

7、2-71.研究下列函数的连续性，并画出图形：（1） （2） （3）.解：（1）在区间和是初等函数，因此在区间和是连续函数，因为，所以在点右连续，因为，且，所以在点连续，综上所述，在区间是连续函数。（2）在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，且，所以在点连续，因为，所以在点间断，综上所述，在区间是连续函数，在点间断。（3）由题意知，当时，当时，因此，在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，所以在点间断，因为，所以在点间断，综上所述，在上连续，在点间断。2. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：(1) ;(2) ;(3) ；

8、 （4）；(5) ; (6) 解：(1) 在无定义，因此为函数的间断点，又因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数。(2) 在无定义，因此为函数的间断点，由，可得，由，可得，所以为函数的跳跃间断点。(3) 在无定义，因此为函数的间断点，由，可得，由，可得，所以为函数的无穷间断点。（4）在无定义，因此为函数的间断点，因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数，因为，所以为函数的无穷间断点。(5) 在，无定义，因此和都为函数的间断点，因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数，因为，所以为函数的无穷间断点。(6) 因为，所以为函数的跳跃间断点

9、。3. 在下列函数中，当a取什么值时函数在其定义域内连续?(1) (2) 解：(1) 在是连续函数，因此只要在时连续，就在其定义域内连续。因为，所以只要，就在其定义域内连续。(2) 在区间是连续函数，因此只要在时连续，就在其定义域内连续。因为，所以只要，就在其定义域内连续。4. 求下列函数的极限：(1);(2);(3); (4) ;(5) ; (6) .解：(1);(2);(3); (4) ;(5) ; (6) .5. 证明方程在内必有实根.证明：设. 因为函数在闭区间上连续，又有,故.根据零点存在定理知，至少存在一点，使,即因此，方程在内至少有一个实根.6. 证明方程至少有一个正根，并且它不

10、大于 .证明：设. 因为函数在闭区间上连续，又有,故.根据零点存在定理知，至少存在一点，使,即因此，方程在内至少有一个实根，即方程至少有一个正根，并且它不大于 。复习题2（A）1. 单项选择题：(1) 设,则(B)(A) 有界 (B) 无界(C) 单调增加 (D) 时， 为无穷大解：，因此无界，但是的极限不存在，也不是单调数列，故只有B选项正确。(2) 若在点x0处的极限存在，则(C)(A) 必存在且等于极限值(B) 存在但不一定等于极限值(C) 在处的函数值可以不存在(D) 如果存在，则必等于极限值解：由函数极限的定义可知，研究当的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势，而不关心在处

11、有无定义，大小如何。2. 指出下列运算中的错误，并给出正确解法：(1);(2);(3);(4).解：(1) 因为，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为.(2) 因为，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为，由无穷小与无穷大之间的关系可知.(3) 因为和都不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：.(4) 因为，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：.3. 求下列极限：(1) ； (2) ; (3); (4) ; (5) ;（6）; (7)；（8）; (9);(10); (11) ;(12) ;解：(1) ； (2) ;

12、(3); (4) ; (5) ;（6）;(7)；（8）;(9);(10);(11) ;(12) .4. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：（1）; (2) . 解：（1）因为，所以是函数的跳跃间断点。(2) 因为在，无定义，因此，为函数的间断点，因为，所以是函数的跳跃间断点；因为，所以是函数的可去间断点，补充定义，则在连续；因为，所以是函数的无穷间断点。5设f(x)(1) 当a为何值时，是的连续点?(2) 当a为何值时，是的间断点?是什么类型的间断点?解：(1) 因为，所以当时，是的连续点。(2) 当时，是的跳跃间断点。6. 试证方程至

13、少有一个小于1的正根.解：设. 因为函数在闭区间上连续，又有,故.根据零点存在定理知，至少存在一点，使,即因此，方程在内至少有一个实根.（B）1. 讨论极限是否存在？解：由，可得，故由，可得，故所以为函数的跳跃间断点。2. 求下列极限.(1) ； (2) ;(3) ;(4) . 解：(1) 令，则； (2) ;(3) ;(4) 因为，所以.3问a,b为何值时，. 解：因为且。所以，由此式可解得，所以，由此式可解得.4问a为何值时，函数连续. 解：因为在是初等函数，因此只要在连续，就是连续函数。由，由可解得时，所以当时是连续函数。5函数在下列区间有界的是 ( A ). A. ；B. ； C. ；

14、D. .解：用排除法，因为，所以在，都无界。6. 函数的可去间断点的个数为( C ).A. 1；B. 2； C. 3；D. 无穷多个.解：是的间断点，因为，所以是可去间断点，在时，是无穷间断点。7. 函数的间断点情况是 ( B ). A. 不存在间断点；B. 存在间断点； C. 存在间断点；D. 存在间断点.解：由题意知，当时，当时，因此，在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，所以在点间断，因为，且， 所以在点连续，综上所述，只在点间断。8. 设0ab, 求极限. 解：用夹逼定理，因为，所以，则，又因为，所以9. 试确定的值，使得.其中是当时比高阶的无穷小.解：此题用第四章的洛必达法则解由题意可知由洛必达法则可知因为，所以，继续应用洛必达法则得因为，所以，继续应用洛必达法则得所以，解方程组， 可得.10. 设函数在区间上连续, 且证明: 存在, 使得 证明: 设，则在区间上连续，且，由零点存在定理可知存在，使，即11. 证明方程 有分别包含于, 内的两个实根. 解：原方程可化为令，则在，都是连续函数，且，由零点存在定理可知存在，使得，所以方程有分别包含于, 内的两个实根。12. 设 在 上连续, 且 证明: 在上至少有一点, 使 证明: 因为由极限的保号性可知，存在，当时有，取区间，则在区间连续且，由零点存在定理可知存在，使 -