关于不等式证明方法的探讨毕业论文.doc

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1、 关于不等式证明方法的探讨摘要：不等式是高中数学中一个极为重要的内容，几乎贯穿整个高中数学的所有内容；人们在实际生活中也经常运用到它的一些知识，例如最常见的超市商场进货方案设计、旅店宾馆租赁方案设计、娱乐消费购买方案设计等。然而在本文中，我总结了比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的证明方法。对证明方法的学习，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯。关键字：不等式；高中数学；方案设计；比较法；几何证明；函数。The Discussion about A

2、Lot of Methods about Inequality ProofAbstract: Inequality is a very important high school mathematics content, almost all of the content throughout the entire high school math; people in real life are often applied to some of its knowledge, such as supermarkets, shopping malls stocking the most comm

3、on design, Inns hotel rental program design, entertainment, consumer purchase program design. However, as we use Inequality Inequality provided strong evidence. Therefore, the discussion of research on inequality proof considerable practical significance. In this article, I summarize the comparative

4、 method, analysis and comprehensive method, reductio ad absurdum, scaling law, change element method, the more common method of proof by mathematical induction, parabola method, geometric proofs, monotonic function, extremes and so on. By learning these proven methods that can help us solve some pra

5、ctical problems, the ability to develop logical reasoning and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good study habits .Keywords: inequality; school mathematics; program design; comparative law; geometric proof; function.前言不等式的在实际生活中的应用非常广泛,社会生活和生产的各个方面都有应用。这

6、里简单列举一例进货方案设计型例、商店须进购一些电冰箱和空调机，经过市场调查统计，决定进购电冰箱的数量不得少于空调机的进货量的一半电冰箱和空调机的进价和售价（元/台）在下面：电冰箱空调机进价28003500售价32004000计划进购电冰箱和空调机共100台，商店最多可筹集资金311 800元（1）请你帮忙计算有多少种方案进货？（2）哪种进货方案获利最多？并求出最多利润。（假设商品已全部售出）解：（1）设商店进购电冰箱x台，则进购空调机（100x）台，依题意得： ，那么最少进购电冰箱34台，最多56台，该商可有13种进货方案（2）设商店总获利为y元，依题意得：y（32002800）x(40003

7、500)(100x)100x50000当x最小时，y的值最大Y|34=46600. 当x34时，商店获利最多,且为46600元摘要1Abstract2前言31常用证明方法61.1 比较法（作差法）61.1.1 概述61.1.2基本分类 61.1.3应用范围 61.2分析综合法 71.2.1概述 71.2.2基本分类 71.2.3注意事项 71.3反证法 81.3.1概述 81.3.2注意事项 81.3.3基本步骤 81.3.4适用情况 81.4放缩法 91.4.1概述 91.4.2基本分类 101.4.3注意事项 101.4.4常用应用举例 101.5换元法 121.5.1概述 121.5.2

8、基本分类 121.5.3注意事项 121.6数学归纳法 141.6.1概述 141.6.2基本步骤 141.6.3注意事项 141.6.4基本分类 141.7判别式法 151.7.1概述 151.7.2基本步骤 161.7.3注意事项 161.8 函数单调性法 161.8.1概述 161.8.2注意事项 171.8.3基本步骤 171.8.4基本分类 171.9几何证法 171.9.1概述 171.9.2基本分类 181.10面积、体积比较法181.10.1概述181.10.2基本不等式181.11极值法191.11.1概述192.结束语 201.常用证明方法1.1比较法1.1.1概述：有时候

9、也叫作差/作商法。在运用比较法时，最关键的是要进行合适的变形，比如因式分解、通分、加减项、拆分、定理公式法、和差化积等。如比较两个实数x、y的大小时，经常会用到x-y的符号来判断，作差法的步骤一般为：作差变形判断结论；当a、b同号时,经常会用到判断x/y与1的大小证明，作商法的步骤一般为：作差变形判断商值与1的大小结论。比较法是高中阶段最常用最基本的不等式证明方法。1.1.2基本分类：i. 单项比较法：也叫逐项比较法或个别比较法，是对不等式两边每一项逐项进行比较，找出每对相同或相似项之间的异同点，并根据异同点，舍去两边相同项，之比较剩余项的大小，既简化了不等式篇幅，有明确了剩余不等式化简或变形

10、的方向，其主要运用于两边结构相似的不等式证明之中。 ii. 分类比较法：又叫类比法，是指分析不等式的结构，把不等式中结构相似的项放在一块（移项、合并同类项）作为一部分，再分别研究每一部分的大小（如符号）。 iii. 综合比较法：这是一种要素较多、综合复杂的证明方法，是对不等式进行综合分析，运用多种方法进行证明。1.1.3应用范围：被证的不等式两端是多项式、分式或对数式一般用作差比较法；当被证的不等式两边是正的幂乘式或指数形式是可考虑使用作商法。 1.2分析综合法1.2.1概述：分析综合法是把事物和现象的整体分割成若干部分进行研究和认识，并把剖析得到的各个部分及其特征结合为一个整体概念的思维方法

11、。分析法证明不等式就是从不等式的已知条件出发推导出要证明的不等式，而综合法是逐步找出使不等式成立的充分条件最后归结为已知条件。对于那些条件简单而结论复杂的不等式证明则需要分析法和综合法交替使用方能更加简便。1.2.2基本分类：i.定性分析：根据不等式的结构，分别比较不等式两边的符号，或经过移项，再比较符号；ii.定量分析：分别分析不等式两边的具体的值，或算出其具体趋势或极限，根据得出的结果比较它们的大小； iii.因果分析：由因导果，由果索因，顾名思义是由已知条件步步为营，逐步到向不等式结果并由结果出发找出不等式成立的充分条件，最终合二为一的证明方法。1.2.3注意事项：一、熟悉掌握所学过的基

12、本不等式,如；二、善于利用题中隐含条件，如给出的不等式的形式产生的联想；三、灵活运用不等式的各种变形技巧，如本例题中将各项拆分、合并等。 1.3反证法 1.3.1概述:又叫归谬法或背理法，是从否定所求的不等式入手，推出与已知真命题或已知条件相矛盾的结论，从而断定所求的不等式成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立。1.3.2注意事项:一、要注意对所有可能的反面结果一一进行讨论；二、题中要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件

13、推出结论的线索不够清晰；三、从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形；四、在应用反证法证明不等式时，必需得用到“反面假设”，不然就不能叫反证法。1.3.3基本步骤：i. 假设原命题结论不成立，也就是假设结论的反面成立； ii. 从该命题出发，经过推理证明得到与已知条件或客观事实相矛盾；iii. 由矛盾得出假设不成立，从而得出原命题结论正确。1.3.4适用情况：i.唯一性命题, ii.否定性命题, iii. “至多”、“至少”型命题 例5.已知： ，求证：中至少有一个不小于 。证明：假设 都小于 ，则由 得 与（2）矛盾。 假设不成立，即原不等式成立。

14、1.4放缩法1.4.1概述：证明不等式时,利用不等式的传递性，把不等式中的某些部分的值或放大或缩小或舍弃或增项,可以使不等式中相关项之间的大小关系更加清晰或使不等式中的某些项得到化简而有利于代数变形,从而达到证明的目的；放缩方法通常是扩大或缩小，而且不是唯一的，所以放缩法具有灵活性；此外，放缩法证明不等式，关键是放大或收缩是合适的，否则就不能达到目的。放缩法证明不等式要求的逻辑性很强，证明过程充满思辨性、创造性和技巧性。解题有法，但无定法，需遵循规律，因题择法，用放缩法证明不等式非常需要解题者的谋略，需要多实践，悟出规律。所以放缩法是证明不等式是一种技巧性能力要求较强的证明方法。1.4.2基本

15、分类：i.添舍法：可增加或减少不等式的某些项，若含分式，可适当增大或减小分子或分母，增大或减小被开方数等，达到化简清晰明朗的目的；ii.分式法：若不等式两是分式模型（像同类不等式），则可简单的放大或缩小分母，或利用已知常见重要不等式，进行固有的程式放缩； iii.列项法：通过放缩可把不等式某一边或两边形成错位相减的模型或形成某些单调性函数或有界函数的模型； iv.公式法：观察不等式结构，利用某些已知公式、定理或推论（如 、 、）进行放缩，以达到证明的目的。1.4.3注意事项：一、放缩法应用的理论依据是不等式的传递性，如ab,bc,则ac； 二、使用放缩法时，“放”、“缩”不要过头；三、放缩法是

16、一种较强技巧性的不等变形，一般适用于左右两边差别较大的不等式证明； 四、常用的“添舍放缩”和“分式放缩”，都是在不等式证明中局部放缩中用到。1.4.4常用应用举例： 即 （原不等式成立）。1.5换元法1.5.1概述：换元法又叫辅助元素法、变量代换法，是数学中的一个基本方法。在证明不等式的过程中，根据给出的不等式结构特点，将不等式中的某些变量作适当的等量替换，可使不等式的结构简化清晰，从而使不等式证明变得比较简单，我们把这种方法叫作换元法。换元的目的是把原命题简化、熟化，把复杂、难懂的命题化为简单、熟悉的命题。换元法在解决许多实际问题中能起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明比较困难、且

17、步骤繁琐，但如果通过换元的思想或方法来解决就会显得很简便，换元法多用于条件不等式的证明中。增强换元的思想，举一反三，有助于学生们更快更准的解决很多实际问题。一般情况下。换元的方法是不唯一的,因而换元法具有较在原灵活性;而且,用换元法证明不等式,关键是找准明确被替换目标,否则就不能达到目的,因此换元法是技巧性较强的一种证明方法。1.5.2基本分类：i. 几何换元法：在不等式的证明时，我们可以根据题意分析，并与的几何图形，组合替代相结合，利用几何图形的性质来证明不等式；ii. 三角换元法：不等式的证明过程中，我们可以结合三角函数已知的条件或不等式结构和性能进行分析，利用三角函数换元，运用三角函数的

18、性质证明不等式，其主要应用于去根号，或转化为三角形式可以简化的情况，主要是利用已知的代数式和三角知识之间的联系点进行换元，使得本题进入熟悉的三角函数域计算题； iii. 对称性换元法：在证明不等式时，若发现不等式中某些字母或某些项在不等式中具有等价的意义（及彼此之间位置可互换），那么利用对称性换元会显得更容易一些； iv. 局部换元法：也被称为整体换元法或直接换元法，是在已知条件或未知证明中，某个或某些代数式重复出现了好几次，那么可以某些个字母来代替它们使得题目更加简化清晰，然而，有的时候这些个代数式需通过变形方可以发现； v. 均值换元法：当条件x + y = 2K出现在标题中是，可以设置x

19、 = K + T，Y = K-T（K，T是所有实数）来解决问题，这种方法被称为均值换元法。使用均值换元法可达到减少未知元素的目的，可以经常很难改变使问题，证明更加简洁有效的。1.5.3注意事项：一、要遵循有利于运算、有利于标准化的原则；二、换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大；三、根据问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，实现问题的转化；四、要注意分析问题的结构特征，对已知条件适当变形，同时要善于发现题目中的特殊结构，挖掘题目中隐含的特殊关系。 例11.若 ，求证： 。分析：由已知条件可知（x,y）在圆 内或圆上，因此可设

20、1.6数学归纳法1.6.1概述：数学归纳法是一种常见基本数学证明方法，他有多种形式，经常被用来证明在整个一个给定的命题是真的（或部分）的自然数范围。此外，在广义上的数学归纳法的自然数可以用来证明一般成立的结构，例如：在集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数理逻辑和计算机科学领域，被称为结构归纳法。虽然数学归纳法的名字内含有“归纳”二字，但是它有严格的数学归纳推理过程，属于完全严格的演绎推理。1.6.2基本步骤：1.（归纳奠基）确定初始值 ，并验证在时命题的真假，这是必不可少的一步；2.（归纳递推）假设n=k（k）时命题成立，并且写出该情况下命题的形式，再分析确定n=k+1情况下命题是怎样的

21、，找出它与n=k时相同点和具体差异，确定应该增添或舍去的项，巧妙运用恒等变形（四则运算规律、因式分解、拆分项、配方等）与已知、假设共同完成证明。1.6.3注意事项：一、证明过程一般分两个部分，并且两者缺一不可；二、对于n=k的归纳假设在第二部归纳递推里面必须得用到；三、最后的综合结论必须添写而且必须表达的明确；四、不等式证明的数学归纳法一般用于关于自然数的不等式证明中，但并非所有的关于自然数的不等式都能用数学归纳法来证明。1.6.4基本分类：i. 第一数学归纳法：一般的，证明一个与自然数n有关的的不等式Q(n)，证明当n取第一个值n0时不等式成立（n0一般为0或1，有时有特殊情况），假设当n=

22、k时不等式成立并利用其验证当n=k+1时不等式也成立， 最后综合前两步，总结对于任何自然数n（或nn0）不等式均成立。ii. 第二数学归纳法：与第一种情况相似，还是对于证明一个与自然数n有关的的不等式Q(n)，第一步与之前相同，第二步假设n0n0,且= ，那么就相当于f(x)0对于任何实数都成立；相反如果a0且0，那么就相当于f(x)0对于任何实数都成立。所以在证明不等式的时候，可将不等式经过变换（移项、配方、因式分解等）将其某一边化为二次三项式的形式，则可用过代表系数a与的符号来完成不等式的证明。在运用此法证明不等式时，关键是要对不等式的结构特点进行观察，找到能使其变换成为二项式（二次函数）

23、的方法。1.7.2基本步骤：.分析观察，巧妙对不等式进行变形，使其一边变成二次项式的形式，得出其“a”、“b”、“c”的代表值；.根据已知条件，确定“a”与判别式的符号，若0，则确定其跟的大致位置；.根据已得到的判定结果，得出不等式的证明结果。1.7.3注意事项：一、在使用判别式法证明不等式时，一般情况下是把不等式的左边化成一个或几个二次三项式的形式，右边则化成一个常数； 二、不等式经过变形之后，需正确找到其代表的“a”、“b”、“c”，并判断“a”的符号； 三、当判别式0时，根据题意确定抛物线与x轴的交点所在大致位置。 1.8 函数单调性法1.8.1概述：单调性是函数的一个重要性质，函数的单

24、调性功应用广泛，可以利用它来求解方程、求最值、证明等式和不等式，和求取值范围，并可使得很多复杂的问题进行简单的解决。不等式和函数有着广泛的联系，其中函数的单调性就体现在不等式中。就利用函数单调性证明不等式而言，其实质就是观察待证不等式的结构和特点，结合已知条件和所学知识，构造了一个新的辅助函数，然后使用新函数的导数判定函数单调性，实现利用单调性的转型问题，从而获得了不等式的证明。因此，在不等式证明中，关键的一步是从标题信息中寻找出入口，通过巧妙的构造函数，寻找解题契机。利用函数的单调性证明不等式，是一种重要的和简单的方法。使用派生的知识证明不等式是导数的应用的一个重要方面，也成为高考的一个新的

25、研究热点，关键是建立合适的函数，确定区间端点。1.8.2注意事项：一、要善于观察待证不等式的结构特征, 由不等式的结构去构造相应的函数, 将不等式证明的问题转化为对函数的有关性质研究的问题，其主要是掌握转化与化归的能力; 二、要熟悉运用有关函数性质研究的知识, 熟悉对有关函数性质研究的方法, 积累对有关函数性质研究的经验，其主要是掌握对函数的有关知识和性质的掌握； 三、不等式两边的函数必须是可导的，且构造的新的辅助函必须是在某区间连续并且可导的，并且能通过导数的符号来判断其单调性。1.8.3基本步骤：i. 根据已知条件和所给不等式构造可导函数； ii.分析构造的新函数，对其进行求导，并研究其导

26、数的性质（需要时可能会进行二次或多次求导）； iii.然后根据所求导数的性质，得出构造函数的单调性或最值； iv.最后 根据构造函数单调性，还原到原不等式中。得出不等的关系，并进行整理后得出最终结论。1.8.4基本分类：i. 利用作差法构造辅助函数；ii.利用求商法辅助函数；iii.分析不等式两边结构特点，构造“形式”辅助函数；iv.有些时候待证不等式中会出现幂指数函数，那么可以利用对其取对数将其简化，得到更简易证明的模型。 1.9几何证法1.9.1概述：我们经常会见到一些不等式存在着几何背景，可以通过某些变形构造出相应的几何图形，并且利用相应的几何知识可以灵巧简便的证明它。通过构造抽象数量与

27、几何图形的联系，找出能够反映不等式特征的几何图形的性质并利用其来证明不等式的方法称几何法。三个正数a、b、c能够成三角形各边长，可以沟通代数不等式与集合不等式，由此，一些代数不等式的证明可用平面几何、立体几何或解析几何的方法和知识来解决。在代数不等式中使用几何证明,可以扩展思维空间和转变思维方式,加强代数、几何的综合应用( 它主要是用字母表示各个几何量,将所给条件中的几何元素间的相互关系转化为相应的数 量关系,然后借助几何性质并利用代数运算达到目的)。1.9.2基本分类：i.“基本法”：立足原有图形,想方设法凑用三边关系或外角定理等,这是证明几何不等式的基本方法;ii. 全等法：通过全辅助线,

28、构造全等三角形,把条件转移在同一三角形中;iii. 平移法：平移图形,使各种关系重新汇聚,有利于题设和结论间的联系明显化;iv. 旋转法:：旋转图形,可以很好地揭示条件之间的内在联系,有助于探索证明途径(有时已知条件不少,但找不到各个条件联系的纽带,难以下手,通过旋转得到新图形能使线段、角有效再现(旋转图形法多用于等腰三角形、等边三角形、正方形等规则图形).AOB 1.10面积、体积比较法1.10.1概述：有些不等式的某一边或经过变形后，可表示成某一块几何几何形面积或几何体体积，那么可以根据比较他们的面积或体积的大小来证明不等式成立；有些时候又根据定积分的几何意义，有些不等式的证明可转化为面积

29、或体积大小的比较。面积、体积法证明不等式比较巧妙，但证明过程会变得更加简洁明了。确定关联的几何图形，是正确使用面积体积法证明不等式的最关键一步。定积分中有一些性质和基本不等式，在证明不等式是经常会用到。1.10.2基本不等式： 1.11极值法1.11.1概述：包括拉格朗日乘子法，最小二乘法。函数极值理论是不等式证明的较为普遍的方法。是对变量对称性、局部固定的运用，并使多元函数的极值问题转变为一个一元函数的极值问题。最小二乘法大体流程是基于一个数据组（ ）1kn，一般由观察发现得到，然后确定一个较简单函数类型，并明确其参数，使 达到最小值。最小二乘法证明不等式要求很强的技巧性。 2.结束语数学里

30、不等式的证明方法有很多，在这里只列举并简略讨论了少部分的几种常见的较简单证明方法，意在引发我们对不等式证明方法及其他问题证明方法的注意和思考，以致对整个数学问题的思考。解题无常法，但碰到问题时，我们必须保持思维清晰，严谨观察，善于发现突破点，才能在数学解答中稳住阵脚、游刃有余。还有很多简便可行的方法（如概率方法、极限法、松弛变量法（引参法）、复数证法、中值定理法、逐步调整法、抽屉原理法、幂级数法微分方法）在这里就不加讨论了。本文可能或有一些由于作者疏忽大意以致遗漏或解释说明不清的地方，希望读者发现后能无私的发表自己的意见，共同探讨研究。毕业论文设计是人生的一个转折点，就像之前经历过的中考高考一

31、样，是下一段人生旅途的转折点。毕业论文结束标志着大学阶段已进入尾声，毕业生将开始在下一个人生目标里进行打拼。设计编写论文又一次历练了我，增强了我的意志和信念，从中我又领悟到了好多道理，万事不能放弃，要勇往直前，敢于承担。通过毕业论文的写作过程，我深深的领悟到“万事无难事，只要肯攀登”的真正含义。做任何事情都要有耐心，平心静气，遇到困难不要害怕退缩，要勇于去寻找解决的方法，勇者无惧，不要给自己的人生留下什么遗憾。 致谢在本文的选题、准备和写作过程中，我得到了指导教师张硕的精心指导和热情帮助，特别是他敏捷开阔的学术眼光和严紧无私的专业态度让我我受益匪浅。同时，非常感谢我的老师和同学们，他们无偿的帮助让我无遗憾的走过了四年的成长和经历，在最困难的时候，他们激励我，鼓励我，让我努力。希望他们在以后的生活工作中，愈战愈勇，龙马精神，马到功成！当然，我定会用更加努力的行动来感谢他们，我能做得更好。第 20 页 共 20 页