凸函数及其应用毕业论文设计.doc

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1、目录摘要 1引言 2一 凸函数概念及其定义3（一）凸函数的几种不同定义 3（二）几种不同定义之间的相互联系 5二 凸函数的有关结论6（一）凸函数的运算性质 6（二）凸函数的其它性质 7（三）凸函数的充要条件 9三 对数性凸函数的定义及其性质11（一）对数性凸函数的定义 12（二）对数性凸函数的基本性质 13（三）与对数性凸函数的性质相关的定理 14（四）对数性凸函数性质的应用 15结束语 17参考文献 17浅谈凸函数及其应用 摘要：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于jensen著作中它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学科

2、的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，列举了凸函数的几个著名的不等式引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文1的启发,在文1的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。其中包括应用比较广泛的詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Hlder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.关键词：凸函数; 对数性凸函数；不等式;证明;应用Convex

3、Function and its Application Abstract: convex function is a kind of important function ,its concept form most early in Jensen in the writing .It has numerous application in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics .Convex function is now plays important theoretical basic and useful t

4、ools to mang subjects such as mathematical planning theory ,response theory ,numerical economics ,change ho theory and sub-optimal control and so on .For theoretical breakthrough,reinforce their application in practice, produced generalized convex function. Enumerated convex function is introduced s

5、everal famous inequality logarithmic ratio convex function concept, won the logarithmic ratio some basic properties of convex function, and discussed the logarithmic ratio of basic properties of convex function by some of the application, the inspiration of 1, 1 in the basis, in this paper, we obtai

6、n the logarithmic sex convex function is seven basic properties, and discusses the properties of logarithmic ratio convex function applications. This paper investigates the criterions of convex function and its applications based on the definition of convex function, summarizes many important proper

7、ties of convex functions, and lists several well-known inequalities of convex function, including Jensen inequality, Hlders inequality, Minkowski inequality and some elementary inequalities, which are widely applied.Keywords: convex function; Logarithmically convex function sex； inequality; proof; a

8、pplication引言凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划、泛函分析以及概率论中有着广泛的应用.凸函数的连续性、可导性之间的联系及凸函数在不等式证明方面有着重要作用和现实意义.那么，凸函数有哪几种不同的定义，它们之间有着如何的关系，彼此之间能否相互转化，凸函数究竟有哪些性质，并且这些性质在不等式的证明中又有哪些作用，这些都是本文要讨论的内容.凸函数分为上凸函数与下凸函数.文中主要证明的是下凸函数在不等式中的应用.同时也运用到了上凸函数的一些性质.一、凸函数的概念及其定义（一）凸函数的几种不同定义定义1 如果函数在上连续，对上任意不同的两点，有 ,则称是上的下凸函数.定义 2 设为定义在区间

9、上的函数，若对上任意两点和任意实数有，则称是区间上的下凸函数.定义3 设函数定义在区间上，对于上任意三点，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，称是区间上的下凸函数.注：（1）若将定义1，2，3中的“”改为“”，则称为上的严格下凸函数.（2）若定义1，2，3中的“”改为“”，则称为区间上的上凸函数.定义4利用二阶导数判断曲线的凸向:例 设函数在区间内存在二阶导数,则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.证法一 (用Taylor公式)对设,把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式，有其中和在与之间.注意到,就有于是,若有上式中,即严格上凸若有 上式中,即严格下凸.证法二 (利用Lag

10、range中值定理.)若则有严格单调增.不妨设,并设分别在区间和上应用Lagrange中值定理,有有，又由，即，严格下凸.可类证 情况.（二）几种不同定义之间的相互联系（1）在定义2中区间，为连续函数，当时，定义2即为定义1.（2）令 ，那么，令，代入定义3中任意一式，变形后即得定义2中的形式.二 凸函数的有关结论（一） 凸函数的运算性质性质1 若为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质2 若 均为区间上的下（上）凸函数，则也为区间上的下（上）凸函数.推论 若均为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质3 若为区间上的下（上）凸函数

11、,为上的下（上）凸增函数，且，则为区间上的下（上）凸函数.性质4 若均为区间上的下（上）凸函数，则也是区间上的下（上）凸函数.（二）凸函数的其他性质定理1设为区间上的严格下凸函数,若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点.证明 若有异于的另一极小值点，不妨设 ，由于是区间上严格下凸函数,故对于任意的,都有.于是对任意,只要充分接近1，总有但是,.这与是的极小值点矛盾，从而是在上唯一的极小值点.定理2 设为开区间上的凸函数，则对任何上满足Lipchitz条件，即存在,对任何，成立.证明 当取定后，因为是开区间，必能在中选取四点满足.任取, 现令 则有，,由于上述常数与中的点无关，因此在上满足Li

12、pchitz条件：存在,使得,对.定理3 设是上的下凸函数,则在上处处存在左、右导数,且 证明，记. 任意且定义3得即在上单调递增;再在右方任取一定点,由定义3得所以在上单调递增且有上界,故由单调原理极限存在,即存在;同理可证,极限存在,即存在,任意由定义3有 在上式中令，,则有（三）凸函数的充要条件定理4设为上的可微函数,则如下三者互相等价:为区间上的下凸函数; 为区间上的递增函数; 对区间上任意两点,有. 证明 在区间上任取两点及充分小的正数 根据的凸性及定义3有 .由的可微性,当时,有，所以为区间上的递增函数. 在以,为端点的区间上,应用拉格朗日中值定理,存在介于与之间的点,使得.由于在

13、区间上单调递增,设有,因而就有和最后合并上两式即得 设,为上任意两点,，令，则.由有分别用和分别乘以上面两式并相加得到 从而,为区间上的凸函数. 推论 设为区间上的二阶可导函数，则为下凸函数.定理5 为区间上下凸函数的充要条件是函数为上的凸函数,.证明 必要性.设为上的下凸函数,那么对任意的及,总有 .充分性.设为上的下凸函数,那么对任意的,及，总有.由定义2知为上的下凸函数.三 对数性凸函数的定义及其性质（一）对数性凸函数的定义定义1 设为区间上的正值函数，如果在区间上为下凸函数，即对任意的和所有的实数 (2)成立，则称在区间上为对数性下凸函数，如果对于，（2）式严格不等式成立，则称在区间上

14、为严格对数性下凸函数。若（2）式中不等号反向，则称在区间上为对数性上凸函数。（二）对数性凸函数的基本性质引理 若则，其中等式成立当且仅当.定理 1 设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的和所有的实数定理2设为区间上的正值函数且二阶可导，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意有性质 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。性质 2 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论 2 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下

15、凸函数。性质 3 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则为区间上的对数性上凸函数。性质 4 设为定义在区间上的正值函数，为区间，为区间上严格增的对数性下凸函数且在区间上为下凸函数，则为区间上的对数性下凸函数。性质 5 如果一个正值函数在区间上为对数性下凸函数，则对所有的值是下凸函数。性质 6 如果任意为区间上的对数性下凸函数，则是区间上的对数性下凸函数。（三）与对数性凸函数的性质相关的定理推论 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则（为正实数）也为区间上的对数性下凸函数。证明： 令，由于为对数性下凸函数故 两边同乘以正实数，则 即 故 故由定理,为区间上的对数性下凸函数，同理也是区间上的对数性

16、下凸函数。又由性质2有，为区间上的对数性下凸函数.推论 2 设和为区间上的正数,， ，若在上是对数性下凸函数，则是下凸函数。证明：由于函数是对数性下凸函数，故对任意的和所有的实数，由定理1有因为 所以 =所以,由引理知即 所以,是下凸函数。定理 3 设函数为区间上的对数性下凸函数，则函数在的任意闭子区间上有界。证明：设为任意闭子区间（）.下证在上有上界事实上，因为区间上的对数性下凸函数,故由定理，知，其中（）.下证在上有下界记为a,b的中点,设关于的对称点是，则.因为为区间上的对数性下凸函数,故由定义2,得所以 ,令 ,则，有 ，,.故 , 所以在有下界.定理 4 设为区间上的正值函数，则在区

17、间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，总有证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故 故 即 + 整理，得 即 充分性：在上任取，在上任取一点， 则由于 故 整理，得由于 ，故，于是所以为区间上为对数性下凸函数。定理 5 设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，都有 证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故 故 即 将式用行列式表示，得充分性：在上任取，在上任取一点， 则 由于 所以 整理，得 即 由于 ，故，于是故 所以为区间上为对数性下凸函数。（四）对数性凸函数性质的应用例 1 . 证明

18、 ：，其中证明 ：令 ，则，故 所以为对数性上凸函数, 因此 .例 2 . 如果则，其中等式成立当且仅当.证明：（1）.当时，显然成立，（2）.当 时，构造函数，则所以由定理2可知，函数 为对数性上凸函数。又因为，故由定理1,有,于是（3）.“”. 当显然成立.“”. 对求的偏导数，得, 即, 故 .例 3. 证明 ：.证明 ：构造函数，则 .由定理2, 为对数性上凸函数，于是由定理,令，则而 故 即 结束语凸函数的应用领域非常广泛，在许多证明题中我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式应用凸函数的性质证明可以非常简洁巧妙.本文把凸函数的定义及其性质充分运用于各类不等式的证明之中,从而显示出凸函数在数学历史上的迅速发展以及凸函数在各个领域上的广泛应用.参考文献1 刘芳园等编： 对数性凸函数的一些性质，新疆，新疆师范大学学报，2006. 2 田宏根等编： 数学分析M（上册）， 北京，高等教育出版社，2002. 3 刘玉琏,傅沛仁： 数学分析讲义M（上册 第三版）， 北京，高等教育出版社，1998.4 裴礼文等编： 数学分析中的典型问题与方法， 北京，高等教育出版社，2005. 5 梅向明等编：华东师范大学数学系.数学分析M，北京，高等教育出版社，1980.6 吴良森等：数学分析习题精解M，北京，科学出版社,2001.17