凸函数的性质及应用毕业论文.doc

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1、摘 要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目 录1.引言12.凸函数的定义及几何意义12.1凸函数的几种定义12.2凸函数的几何意义：33.凸函数的判定定理34.函数凸性在经济学中的应用74.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用74.2凸函数在经济优化中的应用114.3凸函数在风险态度中的应用145.总结17参考文献18 1.引言 凸函数是一

2、个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用. 利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数在区间上有定义，从几何上来看，若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这

3、两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.定义2：设函数在开区间上有定义，若有 则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的.若记，则.由的凸性可知：从而有 即 ，整理后可得 这就是凸函数的另一种定义.定义3：在区间上有定义且连续，称为上的凸函数，如果,有将“”改为“”，函数便成为严格凸函数.定义4：在区间上有定义且连续,称为上的凸函数，如果，有.2.2凸函数的几何意义：当时，点表示了区间中的某一点，即.在下图中弦的方程是： 将代入上式得： 图1但因此不等式（1）在几何上表示为也就是说，曲线在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸函数除了上面的定义以

4、外，还可以给出连续函数在区间上为凸函数的等价性定义.如下所示： 3.凸函数的判定定理 定理1 设函数在开区间上可导，函数在区间上是凸函数当且仅当.证明： 根据中值定理对一切及必存在使得：又由凸函数定义得在上是凸函数.任取满足.我们来证明：及在区间上严格增加，设从中存在数使得，根据的严格下凸条件得：即上式表明的函数在严格增加.由此可见记起并以此类推可得在严格增加. . 定理2 设在开区间上可导，则下述论断相互等价： 1）为上凸函数； 2）为上的增函数； 3）对上的任意两点，有 （3）证明:若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加有 同理可证明当时也有若有令 则对有：对有：从而：即在是凸函数. 定理

5、3 如果函数在上有存在二阶导函数,若对，有，则函数在上是一个凸函数.证明：在区间内任取两点，令函数在的泰勒公式是 当时： 当时 有即 于是或，因此内是凸函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，. 1）若，则在取得极大值. 2）若，则在取得极小值. 证明： 1） 由于 ，故存在一个的邻域，在此邻域内有：当时，有，则必须大于0，即因此在的左邻域内单调递增，即当时，同理可知道在的右邻域内递减，有故当时，有在取得极大值.同理可证 2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用4.1.1无差异曲线的凸性分析 无差异曲线用来表示消费者偏好

6、相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线. 曲线是连续的，并在轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数. 从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：式中和分别表示为商品1和商品2的变化量. 当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的

7、绝对值. 利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、运动到的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的. 这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商

8、品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. 经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.4.1.2生产函数曲线的凸性分析 短期生产函数表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：或者 根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量，纵轴表示产量，

9、、三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线. 由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征. 根据边际产量的定义公式可知，过曲线任何一点的切线的斜率就是相应的值. 曲线在的斜率大于零. 曲线的一阶导数即为曲线的二阶导数.所以曲线在阶段的二阶导数大于零，即在阶段为凸函数.也就是说，边际产量曲线，在阶段上升，达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量曲线的斜率先是递增的，在到达拐点，然后再递减. 通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出曲线.由总产

10、量和边际产量之间的关系可以描绘出曲线的图象.最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出曲线的图象.凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是前提. 以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助. 4.2凸函数在经济优化中的应用 在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的.厂商会进行预算估计，建立起利润，成本和价格之间的关系函

11、数，然后利用凸函数求极值的方法来解决利润最大、成本最小的问题.函数的极值是根据定理4极值的充分条件求得的.由定理4可知，可导函数的二阶导数大于零即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得的函数值为极大值.4.2.1利润最大问题 利润最大化问题的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸（凹）函数的话，就满足了凸（凹）函数的性质.可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值. 例1 北京一家商场的某商品的需求函数为（P的单位为元）；该商品的总成本函数为;且每件商品需要纳税2元

12、，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额. 解 该商品的收入函数为，将代入得出总成本函数则利润函数为由得,又因为，则时，根据定理3，为凹函数，则在处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为元. 在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化

13、，便于理解.4.2.2成本最小问题 下面看一下成本最小问题. 例2 要做一个容量为的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料. 解： 设饮料罐的高为，底半径为，则表面积，由体积得，带入可得，由得，又因为，可知为凸函数，则当时，取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当底半径为4.3cm时，用的材料最少. 求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费.4.2.3最佳库存问题 在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会

14、造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题. 例3 武汉某公司的A产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费005元.现想要使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的生产量是多少最合适. 解： 设每年的生产准备费与库存费之和为，批量为，则 ，由得，又因为，可知是凸函数.所以当时去的极小值，

15、且是唯一的极小值，即为最小值,所以当每批生产2万件时最合适,使得每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小. 解决经济学中的优化问题，可以归结为求某个函数的最值问题.步骤为：（1）分析经济问题，列出目标函数关系式；（2）对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出稳定点；（3）对函数关系式求二阶导数，判断函数是否是凸函数.若为凸函数，则在稳定点求的函数值为极小值；若为凹函数，则在稳定点求的函数值为极大值.（4）当确定该问题存在最大值或最小值时，判定所求的极值点若是唯一的，则函数在该驻点处取得最值.最终求得经济中的利润最大，成本最小问题. 4.3凸函数在风险态度中的应用 期望效用函数是商家们很关心的

16、一个指标，所谓期望效益函数就是用来刻画经济活动者在不确定环境下决策的函数，它在一般情况下是凹函数.设某经济活动者的期望效益函数为单变量函数.不妨设这里自变量的含义就是收入.假设为两种可能的收入；得到的概率为，而得到的概率为.记这样的事件为，那么由期望效用函数的定义，可得到这一事件的效用为：此经济活动者对这一事件中所包含的风险的态度可由与的比较来刻画.若，则称该经济活动者为风险中性者.如果，那么称该经济活动者为风险厌恶者.如果，那么称该经济活动者为风险爱好者. 与以上的分析相对应，消费者的风险态度也可以根据消费者的效用函数的特征来判断.一个人是风险厌恶的充要条件是他的效用函数为凹函数.因此，判断

17、一个人是不是风险厌恶者，只需要验证其效用函数是不是凹函数.在判断一个人是不是风险爱好者，只需要验证其效用函数是不是凸函数.消费者对待风险的态度，影响着消费者在不确定情况下的行为决策.如下图所示图中效用曲线上的任意两点间的弧都高于这两点间的弦.由函数的凹凸性判断，该函数是凹函数，且斜率大于零.根据消费者的效用曲线，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效用相当于的高度，而拥有一张具有风险的期望效用相当于图中的高度.显然点高于点.所以，图中的效用函数满足风险回避者的判断条件.如果从函数的图像来看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶，曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻画.风险爱好者

18、和风险中立者的效用函数的分析是类似的.在实际经济生活中，大多数的消费者都是风险回避者.三者的图象如下图所示. 当消费者面临一种风险时，如果对于该消费者而言，风险的期望值的效用大于、小于、等于风险的效用期望时，那么相应地，该消费者的风险态度为风险回避、风险爱好、风险中立. 利用函数的凸性可以很简单地判断出消费者面对风险时的不同态度，也可以清晰地从图象分析不同态度的效用函数，使经济学中基本概念方便理解.让学生学习经济概念时，在易于理解的基础上，可以更加牢固地掌握住知识.5.总结本文从凸函数的几种定义出发，详细介绍了凸函数的相关性质，并介绍了凸函数在经济学中的应用，即凸函数在经济函数的曲线分析中、经

19、济优化中以及风险态度中的应用. 函数凸性分析作为一种强有力的分析工具，在经济工作中应用是很广泛的，掌握了它对指导我们当今的经济工作具有十分重要的意义.把难懂的经济问题通过函数凸性来分析解决，使得经济学中的一些概念精确化，复杂的经济函数曲线变得清晰可辨，便于我们去理解和掌握.使经济活动在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者效用的最大化.但还有一定的局限性，比如在凸规划问题中，单单使用函数凸性还远远不够，需要借助其它的工具协助解决.因此对凸函数在经济学中应用的研究成果还需进一步的加深和推广.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社.2009.2 熊淑艳.函数凸性判定定理的证法及应用J.广西师范学院学报（自然科学版）.2005,22（1）.3 黑志华 付云权.凸函数在微观经济学中的应用研究J.现代商贸工业，2009.64潘劲松.函数凸性在微观经济学中的应用J.中国西部科技.2011,10(36).5宋蔡健.经济函数与经济优化分析J.南京工业职业技术学院学报.2007,7(4).6李妍，张景，刘忻梅.效用理论在保险决策中的应用J.北方经贸.2011（3）.17