单输入控制系统极点配置与LQ最优控制加权矩阵关系的研究.doc

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1、武汉科技大学本科毕业设计 本科毕业设计题目：单输入控制系统极点配置与LQ最优控制加权矩阵关系的研究学 院:信息科学与工程学院专 业:自动化学 号:201104134204学生姓名: 指导教师: 日 期:二一五年六月 目 录1 绪论11.1 课题研究的背景及意义11.2 时滞温度控制系统国内外的发展状况11.2.1 时滞温度控制系统国外的发展状况11.2.2 时滞温度控制系统国内的发展概况21.3 论文的总体结构22 PID控制原理32.1 PID控制器基本概念32.2 模拟PID控制介绍42.3 数字PID控制介绍52.4 PID回路指令62.5 PID参数整定72.5.1 经验法72.5.2

2、 Z-N法82.5.3 PID参数自整定93 硬件设计103.1 PLC的定义及特点103.1.1 PLC的定义103.1.2 PLC的特点103.2 PLC的基本结构123.2.1 PLC的基本组成123.2.2 PLC各组成部分的作用123.3 PLC的工作原理143.4 温度传感器173.4.1 热电偶173.4.2 热电阻184 系统设计194.1 设计思路194.2 史密斯预估的引用194.2.1 史密斯预估补偿的原理194.2.2 纯滞后补偿控制算法步骤214.3 设计流程图224.4 I/O地址分配、内存分配地址及PID回路指令234.5 PID输入标准化及输出转换244.5.1

3、 输入标准化244.5.2 输出转换255 程序设计265.1 主程序OB1265.2 子程序0275.3 中断程序285.3.1 将测量值进行归一化处理285.3.2 计算设定温度与测量温度的差值285.3.3 决定焦炭的加入量286 仿真306.1 常规PID控制306.2 史密斯预估控制30结束语32参考文献33致谢34161 绪论1.1 课题研究的背景及意义 20世纪50年代，随着现代化生产的发展需要，特别是空间方面技术的发展，被控系统一天天越发复杂，人们对控制系统的需求越来越高。于是，那些建立在传递函数、频率特性基础上的经典控制理论方面的东西，正不断暴露出它的局限性，已越发不能满足人

4、们对于现代控制的需求。系统所要求的品质指标，如时间、成本或综合性能指标，取极值直至最优的控制方法因为现代化生产的发展而成为控制理论与工程应用的关键性问题。现代化生产方面迫切要求控制理论尤其最优控制方面有更进一步的发展。 早在20世纪50年代的时候，就有用工程观点研究最短时间控制问题的论文，为最优控制理论的发展衍变提供了第一批实际的模型。通过最优控制问题的严格数学表达式的建立，更因为空间方面技术的迫切需要，越发多的学者和工程技术人员致力于这一领域的研发。20世纪50年代末维纳等人发表论文，首次提出信息、反馈和控制等概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了稳定的基础。我国著名的学者钱学森在 1954

5、 年编著的工程控制论更是直接促进了最优控制理论的发展。美国著名学者贝尔曼作出的“动态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金提出的“最大值原理”就是在最优控制理论的形成和发展过程中，最具有开创性的研究成果，并开辟了求解最优控制问题方面的新途径。 由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。因此，最优控制理论提出的

6、求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。 近年来，最优控制理论的研究，无论在深度和广度上，都有了较大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。 同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如随机系统的最优控制、鲁棒最优控制、分布参数系统最优控制等等。最优控制，就是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，系统的某种性能指标具有最优值。根据系统的不同用途，可提出各种不同的性能指标。目前最常用的性能指标是用积分判据表示的，常称为代价函数。最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分

7、。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。以线性二次型性能指标为基础的最优控制问题是20 世50 年代末期发展起来的一种设计控制系统的方法,这种方法具计算简单,便于调整等优点,因线性二次型问题解出的控制规律可以通过状态反馈实现闭环最优控制,而成为当今控制工程领域里较为重要的设计方法之一。一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。

8、然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题的基础，有许多控制问题都可作为线性

9、二次型最优控制问题来处理。线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。随着科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步

10、形成了较为完整的最优控制理论体系。最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。动态规划时

11、美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。最小值原理时前苏联科学院院士.C.庞特里亚金与1956年-1958年间逐步创立的。近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。时至今日，最优控制

12、理论的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，并且日益与其他控制理论相互渗透，形成了更为实用的学科分支，如：鲁棒最优控制、随机最优控制、分布参数系统最优控制及大系统的次优控制等。可以说最优控制理论目前仍然是在发展中的，极其活跃学科领域之一。1.2 论文研究主要内容随着20世纪科学技术的迅猛发展，自动控制相关理论在工业中起着越来越重要的作用，在工业和农业生产都有着广泛应用。生产过程的自动化是实现稳定生产和降低成本、劳动力成本，提高劳动生产率的重要手段。在20世纪末科技产业迅速升级，国家的科学技术先进与否和自动化水平高低逐渐密不可分。特别是在能源技术的电厂自动化，工业自动化两方面，相比其他的产

13、业有着更为悠久的历史，是衡量其技术水平是否先进的标志。也是企业现代化的重要标志。“随着自动化技术以及电子技术相关学科的发展，集成度高、可靠性强、成本低廉的微机、单板机、单片机、工业用控制计算机的大量出现并得到广泛应用，为锅炉控制开辟了广阔的天地。运用计算机控制的高效、可靠性强的特点，全自动的微机工业测控系统开始逐渐得到重视。进入21世纪，国内外已经陆续出现了各种各样的锅炉微机测控系统，明显的改善了锅炉的运行状况，但还不够完善，并对环境和抗干扰要求比较高。”火力发电厂锅炉过热汽温对电厂安全经济运行有着重要影响。它通常需稳定在5范围内。而被控对象是典型的大时延、多容大惯性系统，而且存在严重的非线性

14、和时变特性，这就使调节汽温面临较大的困难。影响汽温变化的扰动因素很多，如蒸汽负荷、炉热负荷、减温水量、烟气温度、送风量、给水温度等。针对主汽温控制的重要性和复杂性，必须选择适当的控制策略和手段，以保证生产过程的安全性、经济性和主蒸汽的品质。“本论文第一章主要介绍了最优控制、线性二次型发展研究背景。第二章主要讲述了线性二次型在无限时间时的最优控制原理。第三章主要介绍了状态反馈与极点配置原理，为论文第四、五章做铺垫。论文第四章以公式推导形式证明QR加权矩阵变化时，系统特征值如何变化。论文第五章用MATLAB对第四章得到的结论加以仿真验证。第六章是论文最终结论说明加权矩阵对系统动态特性的影响。”2

15、最优控制原理2.1 最优化问题的数学描述所谓最优化问题，就是寻找一个最优控制方案或者最优控制规律，使所研究的对象（或系统）能最优地达到预期地目标。例如：在控制发射N级火箭时，如何规划各级火箭地质量使得火箭地总质量为最小；或在雷达高炮随动系统中，当发现敌机后，如何以最快地速度跟踪目标而将敌机击落。也就是说，最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻找出一个最优控制规律或者设计出一个最优控制方案或者最优控制系统。例1.甲仓库（1500包水泥），乙仓库（1800包水泥）工地A需要900包，工地B需要600包，工地C需要1200包，从甲仓库送往A、B、C工地的运费分别为每包1元、2

16、元、4元，从乙仓库送往A、B、C工地的运费分别为每包4元、5元、9元，应如何发运这些水泥，能使运费最省？设总运费f(x)=x1+2x2+4x3+4x4+5x5+9x6最优化的任务在于确定x使f(x)为最小。x受到以下条件限制：x1+x2+x31500x4+x5+x61800 由于f(x)为x的一次函数x1+ x4=900x2+ x5=600x3+ x6=1200 例2.关于飞船的月球软着陆问题为使飞船实现软着陆，即到达月球表面时速度为零，要寻找飞船发动机推力的最优变化规律，使燃料消耗最少，以便完成任务有足够燃料返回地球。飞船运动方程： 初始条件：末端条件：控制约束：0u(t)umax 性能指标

17、取为表征燃料消量耗（1-5页）的飞船着陆时的质量：最优化问题就是在满足和的约束条件下，寻求发动机推力的最优变化规律u(t)，使飞船从x(0)x(tf),并使J=m(tf)=max最优化问题的数学描述包含以下几个方面的内容：1. 受控制系统的数学模型即系统微分方程(集中参数系统可用一组一阶常微分方程来描述) 2. 边界条件与目标集边界条件 即初始状态时刻t0和初始状态x(t0)通常已知，而终端时刻tf和终端状态x(tf）可以固定也可以自由。一般地，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示：N1=x(tf),tf=0 或N2x(tf),tf0 目标集：满足终端约束条件的转台集合，用M

18、表示：M=x(tf):x(tf)Rn，N1x(tf),tf=0,或N2x(tf),tf 0为简单起见，笼统称式为目标集。3. 容许控制每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围，通常可以用如下不等式饿约束条件来表示：0u(t) umax 或，i=1,2,3r在Rr空间中，把满足上式的点u(t)的集合v成为控制集，把属于u(t)U的u(t)称为容许控制若u(t)的取值不受限制，则容许控制属于某一开集。U为开集还是闭集在处理方法上有着本质的差别。4. 性能指标(目标函数)衡量控制作用效果的性能指标将x(t0)x(tf)通过不同u(t)来完成，而控制效果好坏，则用性能指标来判别。对

19、于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体优化问题所要解决的主要矛盾。例如在人造卫星的姿态控制问题中，可分为时间最短、燃料最少、时间最少燃料最少不同目标函数的最优化问题2.2 最优化问题的分类1单变量函数与多变量函数最优化问题单变量函数最优化方法是求解最优化问题的基本方法2.无约束与有约束最优化问题3.确定性和随机性最优化问题4.线性和非线性最优化问题5.静态和动态最优化问题2.3 最优化问题的求解方法1 间接法（解析法）无约束：经典微分法、经典变分法 有约束：极大值原理、动态规划2 直接法(数值解法)函数逼近法（插值法或曲线拟合法）区间消去法：菲波纳奇法、黄金分割法（0.618法）爬

20、山法：变量轮换法、步长加速法、方向加速法、单纯形法、随机搜索法3 以解析法为基础的数值解法：无约束梯度法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法与拟牛顿法、变尺度法、牛顿高斯最小二乘法有约束梯度法：可解方向法、梯度投形法、简约梯度法化有约束为无约束问题：序列无约束极小化法、线性近似化法最优控制属于最优化范畴，因此最优控制与最优化有其共同的性质和理论基础，但最优化涉及面极广，举凡生产过程的控制企业的生产调度对资金、材料、设备的分配、乃至经济政策的制定等等，无不与最优化有关。而最优控制是针对控制系统本身而言的，目的在于使一个机组、一台设备或一个生产过程实现局部最优。2.4 最优控制问题所谓最优控制问题，就

21、是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。最优控制问题的示意图如图所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。一 最优控制问题的性能指标在状态空间中要使系统的状态由初始状态x(t0)x(tf)，可

22、以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。1. 综合性或波尔扎（Bolza）型性能指标 L标量函数：动态性能指标标量函数：终端性能指标J标量函数，对每一个控制函数u(t)都有一个对应值，u()控制函数整体2. 积分变量或拉格朗日（Lagrange）型性能指标 强调系统的过程要求。3.终端型或麦耶尔（Mager）型性能指标以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。在特殊情况下，可采用

23、如下的二次型性能指标F终端加权矩阵 Q(t)状态加权矩阵 R(t)控制加权矩阵二 最优控制问题的提法所谓最优控制的提法，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格的表示出来。1. 给定系统的状态方程 初始条件 2. 给定初始条件和终端条件初始状态为：x(t0)=x0终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N1x(tf)，tf=0 或N2x(tf)，tf03给定性能指标（目标函数）确定J最优控制向量，使系统从x(t0)x(tf)，并使性能指标具有极大（小）值。三 最优控制问题的分类1.按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统2.按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环

24、最优控制系统3.按性能指标分类：最小时间控制问题 最少燃料控制问题 最少燃料控制问题 线性二次型性能指标最优控制问题 非线性性能指标最优控制问题4.按终端条件分类：固定终端最优控制问题自由终端（可变）最优控制问题终端时间固定最优控制问题终端时间可变最优控制问题 5.按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题3 状态反馈 在经典控制理论中，一般只考虑由系统的输出变量构成反馈律，即输出反馈问题。但在现代控制理论中，所采用的模型是状态空间模型，其状态变量可完全描述系统内部状态特性。”由于状态变量得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的

25、信息更丰富、更全面，因此，用状态变量构成的反馈控制律与用输出变量反馈构成的反馈控制规律相比，设计的反馈律有更大的可选择范围，其闭环控制系统能达到更加的性能。” 3.1 状态反馈原理对于线性定常连续被控系统，若取其状态变量来构成反馈律，则能得到的闭环控制系统被称为状态反馈系统，闭环系统状态空间模型和状态反馈律可分别记为 （3.1）式中，K为维的实矩阵，称为状态反馈矩阵；v为与开环被控系统输入u同维的r维伺服输入向量。将状态反馈律带入开环系统状态空间模型，可得到描述状态反馈闭环控制系统的状态空间模型为 （3.2）因此，可求得状态反馈闭环系统的传递函数阵为 （3.3）状态反馈闭环系统的传递函数阵为。

26、3.2 状态反馈与极点配置“对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置决定的。因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于期望极点上，可以有效地改善系统的性能品质指标。这种控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率法还是根轨迹法，都是想通过改变系统极点的位置改善性能品质指标，本质上属于极点配置。极点配置的问题则是讨论如何状态反馈阵K的选择，使的状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。对于n阶线性定常系统进行全极点配置时必有：1）可以而且必须给出n个期望极点；2）期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数；3）期

27、望极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。基于指定的期望极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为：给定线性定常连续系统 （3.4）确定反馈控制律 （3.5）使得状态反馈闭环系统的极点配置在指定的n个期望的闭环极点上，即 （3.6）对线性定常系统进行部分或全状态反馈极点配置时有如下规律：1）对线性定常系统利用线性状态反馈阵K，能使状态反馈闭环系统的极点任意配置的充分必要条件为被控系统状态完全能控。2）状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点。当被控系统状态完全能控时，其极点可以进行任意配置。”4 加权矩阵对系统特征值影响分析4.1 李雅谱诺夫稳定判据从经典控制理论可

28、知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是通过借助与一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡

29、状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰落，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐进稳定的。但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，然后，根据的符号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数，而是负定的，则这个系统是渐进稳定的。这个叫做李雅普诺夫函数。设为由维矢量所定义的标量函数，且在处，恒有。所有在域中的任何矢量，如果：1），则称为正定的。2），则称为半正定。3），则称为负定的

30、。4），则称为半负定的。5）或，则称为不定的。4.2 李雅谱诺夫稳定判据在最优控制中运用由上节可知，李雅谱诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法。但具体运用是将涉及如何选取适宜的李雅谱诺夫函数来分析系统的稳定性。由于各种系统的复杂性，在运用李雅谱诺夫第二法时，难以建立统一的定义李雅谱诺夫函数的方法。目前的处理方法是，根据各种系统的分类与特性分别寻找建立李雅谱诺夫函数的方法。本节主要讨论对于线性定常连续系统如何利用李雅谱诺夫函数分析系统稳定性以及李雅谱诺夫稳定判据在最优控制中的运用。设线性定常连续系统的状态方程为这样的线性系统具有如下特点。1） 当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平衡态

31、，即为状态空间原点。2） 对于该该线性系统，其李雅谱诺夫函数一定可以选取为二次型函数形式。对于任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P为矩阵方程 （4.1） 的解，并且正定函数即为系统的一个李雅谱诺夫函数。3） 若该系统在平衡态的某个领域上是渐进稳定的，则一定是大范围渐进稳定的。并且此时P为（4.1）所示方程唯一正定解。综上所述，如果对于某个非负定矩阵Q，沿任意一条状态轨线不恒为零，那么，系统在原点渐进稳定的条件为：存在正定矩阵P满足李雅谱诺夫代数方程（4.1）。而且只要Q矩阵选成正定或根据上述情况选为非负定的，那么最终的判定结果与Q的选取无关。因此，运用此方法判定系统的渐进稳定性时，最

32、方便是选Q为单位矩阵，即Q=I。相应的上述李雅谱诺夫代数方程（4.1）可改为这就为利用李雅谱诺第二法判断线性定常连续系统的渐进稳定性提供了极大方便。在线性二次型最优控制中黎卡提代数方程可变换为可简化为，其中Q为非负定。那么根据本节中介绍的李雅谱诺夫第二法可知线性二次型最优控制系统是渐进稳定的。4.3 加权矩阵变化对闭环特征值的影响前面已经提到关于线性二次型问题描述为：对于线性定常系统，要求找到最优反馈控制解K，使得下列二次型性能指标泛函为最小。 （4.2） 由无限时间状态调节器定理知道最优解,其中P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程：当P、R为对称阵有 （4.3）由于最优控制闭环系统特

33、征值只与有关，公式（4.3）记为 （4.4）设变化后的加权矩阵Q为，即有带入公式（4.4）得 为 （4.5）设,公式（4.5）变换为 (4.6)对于公式（4.4）而言求系统特征值有对于公式（4.5）而言求系统特征值有 (4.7) （4.8）而公式（4.8）中的为，即加权矩阵变化之前系统特征值。于是就有了 （4.9）则当加权矩阵Q增加2P时闭环系统特征值的实部增加量为,即当加权矩阵Q增加是闭环特征值在S平面左移。已知最优控制闭环系统特征值只与有关。求加权矩阵R变化之前特征值有公式设变化后加权矩阵R为（h1，h为常数），即当R减小时求R减小之后的闭环系统特征值： （4.10）有 （4.11）公式（4.11）中可记为，即加权矩阵R变换之前系统闭环特征值。由公式（4.11）得 。 （4.12）公式（4.12）中h0，非负定，则0。所以当加权矩阵R减小是闭环系统特征值减小。同理当加权矩阵R增大时有系统特征值增大，即当加权矩阵R增大时，系统特征值在S平面右移。