函数一致连续性的判定数学毕业论文.doc

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1、目 录1摘要 12 关键词 13 基本概念与定理 14有限区间上一致连续函数的判定 15 无限区间上一致连续函数的判定 46 一致连续性的应用 87参考文献 108英文摘要 10函数一致连续性的判定摘要：函数在区间I上的一致连续性与连续是两个不同的概念,后者是一个局部性概念,前者具有整体性质,它刻画了函数f(x)在区间I上变化的相对均匀性.本文总结了几个判别函数一致连续性的方法，并给出了几个简单应用.关键词：函数、连续、一致连续、收敛引言函数的一致连续是数学分析中的一个重要概念.连续是考察函数在一个点的性质而一致连续是考察函数在一个区间的性质.一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数

2、则一定连续，但连续的函数不一定一致连续.因此本文总结了通过函数的连续性寻找一些函数一致连续的判别法.1基本概念与定理定义（一致连续）：设函数在区间上有定义，若，当时，有，则称函数在上一致连续.注：设函数在区间上有定义，若，当时，有，则称函数在区间上不一致连续.（定理）：若函数在区间连续，则在区间上一连续.2.有限区间上一致连续函数的判定定理1 函数在上一致连续的充要条件是函数在上连续.定理2 函数在上一致连续的充要条件是函数在上连续且，都存在.证明 必要性，因为函数在上一致连续，即，且，有，显然函数在上连续，且，当时，当然，有.根据柯西收敛准则，存在.同理可证，存在.充分性,因为，都存在，分别

3、设为和，构造函数： 显然在上连续，由定理1可知：在上一致连续，从而在上一致连续.推论1函数在（）上一致连续的充要条件是函数在（）上连续，且（）存在.推论2若函数在有限区间上连续、单调、有界、则函数在上一致连续.定理3 设在区间（是有限区间或无穷区间）连续，则在内闭一致连续.即，在上一致连续.结论的正确性有定理直接可得.用此条件能解决很多关于函数性质的证明题.其解题思路是把开区间上的问题转化到闭区间上，从而利用定理.定理4 若函数在及都一致连续，则在上一致连续.注：改为时，结论也成立.证明 已知函数在与一致连续，即：， 且 ，有；， 且，有.于是，有，且，当：1）且，有；2）且，有； 3）， 且

4、，（，）有即函数在上一致连续.定理5 函数在上一致连续的充要条件是任给中收敛数列，函数列也收敛.证明 必要性，由于函数在上一致连续，故对于当，且时，有设是中任一收敛数列，由柯西条件对上述的时，当时，有，故.所以，函数列也收敛.充分性，假设在上不一致连续，即，对（取），且，而 且有界，故存在收敛子列.由 （），故中相应的子列也收敛，且与极限相同，因此数列也收敛于相同极限，于是数列也收敛.故当足够大时，与上述矛盾，假设不成立.即函数在上一致连续.定理6 函数在上一致连续的充要条件是任给，时, . 证明 必要性 设函数在上一致连续，则，当且时，.所以. 当，时. 充分性 设，当时，则,，使得当时有.

5、所以函数在上一致连续.注：此命题提供了一个直观观察一致连续的办法：在图象上最陡的地方，若，则，一致连续；若在某处无限变陡，则非一致连续.3.无限区间上一致连续函数的判定定理7若函数在（）上连续且， （，）都存在，则函数在（）上一致连续.证明 已知存在，根据柯西收敛准则，有，有；又已知函数在闭区间连续，则函数在上一致连续，即对上述的，（使），且，有.于是，且（使），有即函数在上一致连续.推论3 若函数在（）上连续，且（）存在，则函数在（）上一致连续.推论4 若函数在上连续且，都存在，则函数在上一致连续.定理8 定义在上的连续函数，若当时，有水平渐近线，则在上一致连续.证明 由于有水平渐近线知：存

6、在，根据柯西收敛准则：，当时，有 .因在上连续，所以在上连续，从而在上一致连续，对如上的，当且时，有 现,只要,若.则.若,则.若分别属于与,则,故综上所述，在上一致连续.注： 此定理的结论可推广到无穷区间或上.定理9 定义在上的线性函数 必在内一致连续.证明 ，要使，只要，取，当时，有 故 在内一致连续.定理10设在上连续，若当时，以直线为斜渐近线，则在上一致连续.证明 设，则由已知可得：在上连续.因以直线为斜渐近线，所以即由定理8可知:在上一致连续.又由定理9知：在上一致连续.故在上一致连续.注：此定理的结论也可推广到无穷区间或上.推论5 若函数在上连续且曲线：存在不垂直于轴的渐近线，则函

7、数在上一致连续.定理11 若函数在区间（可开，可半开，可有限或无限）可导，且在有界，则函数在上一致连续.证明 设， （），当时，根据微分中值定理，存在点介于与之间，使得： 即在上一致连续.定理12 若函数与在区间可导，且，则：当在上一致连续时，在上一致连续.证明 已知在一致连续，即，当时，有： 根据柯西中值定理，存在介于与之间，使得： 所以即 在上也一致连续.定理13设函数为区间上连续的周期函数，则在上一致连续.证明 设为的周期，则在区间上一致连续，即：对，只要，就有： 现取，满足，则必存在整数，使得：，且故 ，于是故 即在上一致连续.定理14 设，均在上连续，存在，且，则在上一致连续.证明

8、对于，因为，所以由函数极限定义可知：，当时，有又因为存在，设，所以由函数极限定义可知：，当时，有.所以取 ，当时，有 且 取，因为在上连续，所以在上一致连续. 在上，（使），对于，只要就有 所以在上一致连续.故在上一致连续.定理15设在上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续.证明 对于任意的，因为，所以，当时，就有.又因为在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.又因为在上一致连续，所以在上一致连续.故（使），对于，只要，就有所以对于，只要，就有 所以在上一致连续.所以在上一致连续.4一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 证明：函数在一致连

9、续.证明 要使不等式成立.从不等式，解得.取.于是有，即函数在一致连续.例2 证明= 在 上非一致连续.证明1 有.所以=在上非一致连续.证明2取 , 且.但 .所以= 在 上非一致连续.例3 判断的一致连续性.解：因为 不存在,所以=在 内不一致连续.例4 设函数只有可去间断点，定义，证明：为连续函数证明：设函数的定义域为区间，则在上处处有定义. 由于，于是，使得，有,当,在上述不等式中令，由于函数只有可去间断点，因此存在，即有.于是使得有即表明在连续由的任意性，为连续函数.例5 证明： 在 上一致连续,而在 上非一致连续.证明 且.所以 在 上一致连续.所以= 在 上非一致连续.此题根据连

10、续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性.此方法快捷方便，实际应用很广泛.结论判断函数一致连续性的方法是多种多样的,只要我们灵活多变,就能做到事半功倍.所以我们要熟练掌握一致连续性的几种判定定理.即前述的几个充要条件,充分条件.这样对于解决一致连续性的问题才会游刃有余.参考文献1吕通庆 一致连续与一致收敛. 北京:人民教育出版社，19812复旦大学数学系 数学分析. 上海：复旦大学出版社，2002.3裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 . 北京: 高等教育出版社,2006.4毛羽辉 数学分析选论. 北京:科学出版社，2003.5冉凯.关于函数一致连续性证明的几个方法.西安联合大学学报，2002

11、.6李惜雯 数学分析（一元函数部分）要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.Determination of the same continuous function Inner Mongolia Normal University mathematics scientific institute 07 level of Mongolian classes Abstract: This article has given several criterion function uniform continuity method. The function uniform continui

12、ty is in a mathematical analysis important concept, is the recognition difficulty. The function in the sector uniform continuity with is two entirely different concepts continuously, the latter is a topicality concept, the former has the bulk properties, it has portrayed the function the relative homogeneity which changes in the sector. This article seeks the uniformly continuous function through continuous functions nature the decision methodKey words: Continuously, identically continuously, restraining 10