概率统计在实际生活中的一些简单应用毕业论文.doc

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1、盐城师范学院毕业论文 引 言概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，的概率正面朝上，的概率反面朝上，这就是概率论嘛学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果 在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解大部分人认为一件事概率为，即为不可能事件这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于小于的数，乙来猜乙一次猜中这个数乙每秒猜一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数这两件事发生的概率都是

2、，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲发生的可能性大些这说明概率为0的事也是有可能发生的不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件来看一个应用：1在12只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要多少次称量才能找出这个假球，并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念熵是概率论的分支学科-信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确

3、定性要小些；计算结果，前者的熵为，后者的熵为，与直观吻合同样，判断12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为，我们要在若干次称量后将其不确定性降为0，也就是要其熵降为0每用天平称量一次（随便怎样称），天平都有种结果，于是最多获得的信息，所以次称量最多可得,也就是的信息令得，至少进行次实验才能完成要求当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了其实用这种方法还可解决次使用天平，能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天

4、平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的设在天平上的球数为，不在天平上的球数为，若天平平衡，下面要3次使用天平在个球中找到假球并判其轻重，由前面的结果知的最大值为12；若天平不平，不妨设其左倾，则假球在个球中，且其轻重已知（若假球是左盘上的一只则假球比真球重，否则比真球轻）判断这个球中哪个球为假球（轻重已判）的实验的熵为，令，得的最大值是13，于是4次使用天平，最多可判断枚球的真假及轻重情况，具体办法也是有的，由于比较繁琐，这里就不列举了实际上，把这种方法通过观察、归纳、总结，可得更一般的结论：次使用天平多能判断个球的真假和轻重状况这也说明数学的威力

5、所在：它可以将某些东西系统化，得到更一般的结论说了这么多，其实就是一个意思，课本上学习的是理论，我们还要尽可能与实际生活联系起来，不要把数学学死了，总之一句话，我们学习数学，是为了更好的认识世界数学文化，也就是数学在生活中的反映吧而概率论作为数学的一个分支，与我们的现实生活已是密不可分，了解其发展简史并把概率论作为一个工具应用于生活已是一种必要的修养1 概率论的发展简史概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝多叶茂，硕果累累2正如钟开莱1974年所说:“在过去半个世纪中，概率论从一

6、个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科”概率论发展的每一步都凝结着数学家们的心血，正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天11早期的概率现象人类认识到随机现象的存在是很早的从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了如在意大利数学家帕乔利1494年出版的算术一书中就有以下问题：两人进行赌博，规定谁先获胜场谁为胜者一次，当甲已获胜5场，乙也获胜场时，比赛因

7、故中断那么，赌注该如何分配呢？所给答案为将赌注分成7份，按分给甲乙两人当卡丹看到上述问题时，以为所给分法不妥他考虑到接下去比赛的几种可能结果，并确定赌注应按来分配（现在看来，其分法也是错误的）卡丹著有论赌博一书，其中提出一些概率计算问题如掷两颗骰子出现的点数和的各种可能性等此外，卡丹与塔塔利亚还考虑了人口统计、保险业等问题但是他们的研究工作，对数学家来说，赌博味道太浓了一些，以致数学家们对其嗤之以鼻近代自然科学创始人之一伽利略解决了以下问题：同时投下三颗骰子，点数和为9的情形有种：、和点数和为10的情形也有种：、和，那么出现点数和为9与10的机会应相同，而经验告知，出现的机会比出现的机会要多，

8、原因何在？伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数和为的情形有种，而出现点数和为的情形却有种可见，已经产生了概率论的某些萌芽1654年7月29日，法国骑士梅累向数学神童帕斯卡提出了一个使他苦恼很久的问题：“两个赌徒相约若干局，谁先赢了局则赢若一人赢1 局，另一人赢5局，赌博中止，问赌本应怎么分？”帕斯卡对此思考良久，又将其转给业余数学王子费马在数学史上有名的来往信件中，两人取得了一致意见：在被迫停止的赌博中，应当按每个局中人赌赢的数学期望来分配桌面上的赌注帕斯卡与费马用各自不同的方法解决这个问题，帕斯卡长于计算，运用数学归纳法，推导出数学内含的规律性，而费马以敏锐的观察力，严格的推理，建立起

9、数学概念以掷骰子为例来说明他们的解法即谁先胜3局，则可得到全部赌注，在甲胜2局，乙胜1局时，赌局中止了，问怎样分配赌注才算公平合理帕斯卡分析认为：甲已胜局，乙也胜1局，如再赌一局，则或者甲大获全胜，赢得全部赌金，或者乙胜，则甲与乙胜的局数变成相等，甲、乙应平分赌金把这两种情况平均一下，甲应得赌金的，乙则得赌金的费马认为：由甲已胜局，乙已胜局，要结束这场赌博最多还需要赌几局，在这个例子中，最多还需要玩两局，结果有四种等可能的情况：(甲胜，甲胜)，(甲胜，乙胜)，(乙胜，甲胜)，(乙胜，乙胜)在前面三种情况下，甲赢得全部赌金，仅第四种情况能使乙获得全部赌金因此甲有权分得赌金的，而乙应分赌金的费马和

10、帕斯卡虽然没有明确定义概率的概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢的情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡和费马开始的正如对概率论有卓越贡献的法国数学家泊松后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源”当荷兰数学家惠更斯到巴黎的时候，听说帕斯卡与费马在研究概率问题，便也参与进来，并于1657年出版了论赌博中的计算一书书中给出了第一批概率论概念和定理（如加法定理、乘法定理）在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是第二级的概念，但在历史上，顺序却相反，先有“期望”概念，而古典概型的概率定

11、义，完全可以从期望概念中导出来因此，可以认为概率论从此诞生了312成熟中的概率论最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯米西斯他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的作为测度论的奠基人，博雷尔在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列 ，服从强大数定律的条件问题博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理

12、论的严格表述1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作概率论基础科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比，等等这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位

13、科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班1934年，他与概率论另一位创始人辛钦共同主持概率论讨论班在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖4公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法 1948年出版的随机过程与布朗运动，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究1939年维尔引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学

14、派的代表人物杜布杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支随机分析的创立与发展奠定了基础5概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根（如下表），直接扎在实际应用环境的大地上“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为” 2 概率统计在

15、实际生活中的应用21关于男女色盲比例的问题例16从随机抽取的467名男性中发现有名色盲，而433名女性中发现1人色盲，在水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？解 设男性色盲的比例为,女性色盲的比例为，那么要检验的假设为 由备择假设，利用大样本的正态近似得，在水平的拒绝域为由样本得到的结果知：则 未落在拒绝域中，因此在水平上可以认为女性色盲的比例低于男性22我国出生人口性别比出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数20世纪50年代中期，联合国在其出版的用于总体估计的基本数据质量鉴定方法（手册）认为：出生性别比偏向于男性一般来说，每出生名女婴，其男婴出生数置于

16、之间此分析明确认定了出生性别比的通常值域为之间从此出生性别比值下限不低于102、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常例2近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值很多33电影院的座位问题定理1 设，则对任意,有 记为这一结果称为Lindeberg-Levy定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的历史上最早的中心极限定理是1716年建立的De Moivr

17、e-Laplace 定理，它是前一个结果的特例，具体为7 例3设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数人，预计扩建后，平均的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过，问应该设多少座位？解 把每日看电影的人编号为，且令则由题意又假定各观众去电影院是独立选择，则是独立随机变量，现设座位数为，则按要求在这个条件下取最大当上式取等号时，取最大，因为，由定理第二个式子知，应满足查正态分布表即可确定，所以，应该设1377个座位3 总结兴趣是最好的老师，可以激发学生的学习热情，更可以引导学生成为学习的主人，学习数学需要死记硬背熟能生巧，但并不排除用兴趣引导和

18、激励将兴趣转化为志趣，转化为学习的动力，将其带到数学学习的每一个部分本文我们主要通过讲解三个生活中遇到的悖论问题，使人们在生活与学习中，能更好的理解悖论给我们带来的困惑，解决了人们在意识上的一些错误观点对于这些因为意识的错觉而存在的悖论问题，我们仍有待于进一步研究上面列举了概率统计在实际生活中的一些简单应用，其实日常生活中到处都有概率统计的影子通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献参考文献1梅长林,周家良.实用统计方法M.北京：科学出版社,2002.2杨虎,钟波,刘琼荪.应用数理统计M.北京：清华大学出版社,2006.3张国权.应用概率统计M. 北京：科学出版社,2003.4吴传志.应用概率统计M.重庆：重庆大学出版社,2004.5郑长波.生活中的概率问题举例J.沈阳师范大学学报,2007,7(5):23-26.6魏宗舒,等.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社,2008.7王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社,1976.第 8 页 共 8 页