求极限的方法和技巧毕业论文.doc

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1、毕业论文（设计）任务书课题名称求极限的方法和技巧指导教师姓名工作单位一、主要内容：通过运用极限的定义以及相关定理、性质来计算极限并通过例题的归纳总结出一些常见的求极限的方法和技巧。二、基本要求(基本技术要求与数据） 根据极限性质和相关定理巧妙的运用相关技巧计算出极限的值。三、论文（设计）工作起始日期：自2012年11月15日起，至2013年4月30日止四、进度与应完成的工作：第一阶段：阅读书籍、查找资料 （2012年11月15日2012年12月31日）第二阶段：系统设计、论文初稿 （2013年1月1日 3月10日）第三阶段：论文修改及电子档送检（2013年3月11日 3月20日）第四阶段：论文

2、定稿、打印 （2013年3月21日 4月15日）第五阶段：论文答辩准备及答辩 （2013年4月16日 4月28日）五、主要参考文献、资料1 华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.2 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解(多变量部分)M.北京：科学出版社，2004.3 钱吉林.数学分析题解精粹M.第二版.武汉：崇文书局，2009.4 费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版，2005. 目 录摘要. 5Astract: 6一、引言 7二相关定义与定理 7三、极限的几个重要性质 10 1、收敛数列的一些性质 10 2、函数极限的相关性质

3、10 四、极限的方法与技巧及举例说明 111、积分定义法求极限 112、对数法求极限113、利用等价无穷小求极限124、利用两个重要极限求极限125、利用数列与级数的关系求极限136、利用泰勒展开式求极限137、单调有界定理148、递推关系法159、先求和后求限1510、利用不等式 1611、洛必达法则 1612、中值定理法1713、两边夹法则1814、利用极限的四则运算法则求极限1815、施笃兹()定理19 16、Euler常数法 19五、总结20参考文献 20致谢 21- 2 -求极限的方法与技巧 摘 要:极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数定积分都是建立在

4、极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的。针对这种情况，本文通过例题总结归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。 关键词：极限; 方法; 技巧。 Skills and methods of limitLONG lili Abstract : The limiting concept is one of the very imp

5、ortant concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concept o

6、f limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various ways

7、to obtain limits. From above descriptions, common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.Keywords: limit，method，skill .一、 引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析

8、的基本运算。如函数的连续导数定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法四则运算洛必达法则、两边夹法则单调有界定理利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。 二、 相关定义与定理定义1 设为定数。若对任意的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列 收敛于,定数称为数列的极限,并记作或读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.定义2 设为定义在上的函数,为定数.若对任意的,存在正数,使得当时有 则称函数当趋于时以为极限,记作,或.定义3 设

9、函数在点的某空心邻域内有定义,是一个确定常数.若,总存在,满足,且，则称当时,以为极限,记为.定义4 设函数在内有定义,是一个确定的常数，若，,使当时,都有,则称函数在趋于时右极限存在,并以为右极限记作.有时也记.定理 1单调有界定理在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。定理 3致密性定理有界数列必存在收敛子列。 定理 4施笃兹定理 设数列单调递增趋于，（可以为无穷），则 .定理5有界变差数列收敛定理若数列满足条件：则称为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。定理 6柯西

10、准则设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.定理 7 设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.定理 8拉格朗日中值定理设函数满足如下条件:（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使.定理 9积分第一中值定理设函数在闭区间上连续,则至少存在使得.定理10推广的积分第一中值定理若与都在上连续,且在上不变号, 则至少存在一点使得. (当时,既为定理9).定理 11欧拉定理序列收敛.因此有公式式中称为欧拉常数,且当时，定理 12级数收敛定理若级数收敛,则 定理13归结原则设函数在内有定义. 存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在

11、且相等.注1 归结原则也可简叙为: 对任何有. 注2 归结原则是联系数列与函数的桥梁. 三、 极限的几个重要性质1收敛数列的一些性质（1）唯一性 若数列收敛,则它只有一个极限. （2）有界性 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正数有. （3）保号性 若（或）任何（或）存在正数,使得当时有（或）. （4）保不等式性 设 均为收敛数列.若存在正数,使得当时有，则 （5）迫敛性 设数列都以为极限，且，若数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛，且. （6）四则运算法则 若与为收敛数列,则且有.特别当为常数时有若再假设及，则也是收敛数列,且有.2函数极限的相关性质（1）唯一性 若极限存在,

12、则此极限是唯一的. （2）局部有界性 若极限存在,则在的某空心邻域内有界 .（3）局部保号性 若极限,则对任意正数，存在的某空心邻域,使对，恒有.（4）保不等式性 若 ,有，成立,则,即.（5）迫敛性 设,在空心邻域内有，则.（6）若 注 极限的性质是在某一邻域内研究的而数列极限的性质是在实数范围内研究的.四极限的计算方法与技巧及举例说明在上面我们讲了极限的定义定理及相关性质，我们可以利用一些性质来归纳极限的计算方法及所隐含的技巧。 1、积分定义法求极限例 求解 令 y= ,则=，而 = -1 =.注 此题结合了对数法.2、 对数法求极限 例 求极限 解 令，则， = =3利用等价无穷小求极限

13、 设当时，和均为无穷小量，若，则称和是当 时的等价无穷小量.记作 . 例 求 解 由于，而，故有 =.注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所有极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。4、利用两个重要极限求极限重要极限:此种方法主要利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限的.如第一个极限结构的特点为第二个重要极限结构的特点为.在每一个极限中处变量形式是一致的.例（1）求解 设，则 =（2）求解 原式5利用数列与级数的关系求极限对于数列对应一个级数如果能判断此级数是收敛的,由级数收敛的柯西准则可以知道,此方法的关键是求出的

14、极限为.换句话说,若一个数列的极限不是0就不能用此方法.例 计算解 因为当充分大时，于是，故由收敛可知收敛，所以6利用泰勒展开式求极限若一个函数的表达式比较复杂时,我们将它展成泰勒展试,若能展成,这样将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算。 例 求极限. 解 本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取）：， ，. 因而求得=.7、单调有界定理通常根据所求极限式的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法等方法证明其单调性和有界性，并注意上下界在证明单调性

15、中的应用，最后往往通过方程求解极限值，注意根的取舍.例 证明数列收敛，其中， 并求极限证 ， 可知有下界，又 单调递减，从而存在. , 解得 8递推关系法递推关系中最常见的方法是利用单调有界定理，但也有一部分并不满足单调性，从而不能使用单调有界定理，其相应的难度有所加大，其方法也有所不同.例 设.考察极限.解 若极限存在，设极限值为，在递推关系中令得，解之得（另一负根舍去）.下证确实是其极限值. 事实上，由此递推关系立得.9先求和再求极限若要求极限，可以采用先求出和的简单形式再取极限。例 设，求.解 因为所以 所以.10利用不等式严格地说，此法应属于两边夹方法，但由于所用不等式较为特殊，而使问

16、题解决的中心在于不等式的应用，因而单列为一种方法.例 设. 证明极限存在，并由此计算：.证 由于，两边取对数得由此立得，即数列单减. 此外，.即有下界. 由单调有界定理知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用表示. 由此易得.注 也可用定积分法求之.11洛必达法则洛必达法则是求解不定式极限的强有力工具. 数列极限也可转化为相应的函数极限，然后利用洛必达法则求之. 洛必达法则只有直接适用于未定式，而型未定式通过恒等变形可化作型。而型未定式则通过取对数化作型。因此在使用洛必达法则时每步都要检查是否符合洛必达法则条件。此外，还应注意及时化简算式，把定式部分分离出来并求出极限，再对未定式部分使用洛必达法则

17、。例 求 解 先通分再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得 = =.注 在使用洛必达法则时，往往先对等式进行初等变换，然后在不同阶段使用等价无穷小替换或者取对数的方法以简化求导过程。12中值定理法在求函数的极限时，若能根据的特点寻得一个新的可微函数再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。例 求.解 对函数在以和为端点的闭区间上用微分中值定理有 , 即 （在与之间）因为当时，有 ， 所以 例 求极限解 由积分中值定理，=13、 两边夹法则 当极限不容易直接求出时，可考虑将极限的变量做适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的变量，易于求极限，且二者的极限值相同时，则原极限存在，且等于此公共值。例 求

18、. 解 记，则 ， ， . 又两边夹法则得，14利用极限的四则运算法则求极限 对和差积商形式的函数求极限自然会想到极限的四则运算法则,但是为了能自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,采用怎样的变形与化简要根据具体的算式来确定,常用的有分式的约分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函数的恒等变形, 某些求和公式与求积公式及适当变量替换等.（1）有理分式函数的极限均是关于的多项式，则有对于其他类型的极限，可利用函数的连续性和洛必达法则求解.（2）无理根式的极限通常采用分子有理化或分母有理化方式进行求解.例 计算.解 原式例 计算极限解 .15、施笃兹()定理证明：若数列收

19、敛于，且，则. 证 由施笃兹公式有 16Euler常数法就是利用著名欧拉公式 其中叫做欧拉常数,例 求极限解 原式 所以=.五总结:在极限问题中证明极限存在及极限的计算方法是十分重要的。本文归纳了极限计算的一些方法和技巧,在使用时要针对不同的情况采用不同的方法.极限的计算又是解决实际问题必不可少的数学工具,它在物理学,工程学学科上都有广泛的应用. 参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.2 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解(多变量部分)M.北京：科学出版社，2004.3 钱吉林.数学分析题解精粹M.第二版.武汉：崇文书局，2009.4 费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版，2005.5 陈传章，金福临，朱学炎等.数学分析 J.第二版.北京：高等教育出版社，2000.6 张筑生.数学分析新讲（第二册）M.北京：北京大学出版社，2003.7 周性伟，刘立民.数学分析（下）M.天津：南开大学出版社，2003.8 吴云飞，裴亚萍数列极限与函数极限的方法与技巧J宁波职业技术学院，2003.9 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006. - 19 -