梯度散度旋度之间的关系数学毕业论文.doc

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1、 2014届本科毕业论文 梯度，散度，旋度之间的关系 学 院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务处 目 录引言11.场的概念12. 梯度12.1 梯度的概念12.2梯度的基本性质23.散度33.1散度的概念33.2散度的基本性质44.旋度54.1旋度的概念54.2旋度的基本性质65. 梯度，散度，旋度之间的关系8总结10参考文献11致谢12梯度，散度，旋度之间的关系摘要：在空间或空间的一部分v上分布着某一种物理量，v就构成一个场本文主要介绍了场论部分中所涉及的梯度、散度、旋度概念及一些基本性质，另外两个重要的积分公

2、式即高斯公式和斯托克斯公式的理解，研究了它们的一些应用，并在此基础上进一步深入探讨了它们之间的联系.关键词：梯度；散度；旋度；高斯公式；斯托克斯定理；10 新疆师范大学2012届本科毕业论文（设计） 引言梯度和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为零说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积的场强。散度为零说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为零说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。三者关系：各自针对的对象不同1.场的概念在空间或空间的一部分上分布着某一种物理量，就

3、构成一个场。 场分为数量场和向量场.数量场：若对全空间或其中某一区域中每一点，都有一个数量与之对应，则称在上给定了一个数量场在空间中引进直角坐标后，空间中点的位置可由坐标确定。因此给定某个数量场就等于给定一个数量函数.在一下讨论中总设对每个变量都有连续偏导数.若这些偏导数不同时等于零，则满足方程 的所有的点通常是一个曲面.在这曲面上函数都取同一值，因此常称它为等值面.向量场：若对全空间或其中某一区域中每一点，都有一个向量与之对应，则称在上给定了一个向量场.向量函数 这里，为所定义区域上的数量函数，并假定它们有连续偏导数.2. 梯度2.1 梯度的概念定义2.1：若在点存在对所有自变量的偏导数，则

4、称向量为函数在点的梯度，记作 向量的长度为若记方向上的单位向量为于是方向导数公式又可写成这里是梯度向量与的夹角.因此当时，取得最大值.这就是说，当在可微时，在的梯度方向是的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模；而当与梯度向量反方向时，方向导数取得最小值.引进符号向量 当把它作为 运算符号来看待时，梯度可写作例 ：设，求在点处的梯度级它的模.解：由于，所以，;2.2梯度的基本性质1.两个函数代数和的梯度，等于个函数的代数和 证：2. 证：即等式两端的矢量在各坐标抽上的射影分别相等，3. 证：3.散度3.1散度的概念定义3.1：设为空间区域上的向量函数，对上每一点，定义数量函数称它为

5、向量函数在处的散度，记作.设为曲面的单位法向量，则就称为曲面的面积元素向量.于是高斯公式可写成如下向量形式： 在中任取一点，对式中的三重积分应用中值定理，得其中为中某一点，于是有.令收缩到点（记成），则也趋向点，因此 这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.有前面引进的算符，向量场的散度的向量形式是例： 设质量为的质点位于原点，质量为1的质点位于，记，求引力场所产生的散度. 解: 因此引力场内每一点处的散度都为零（除原点处外）. 3.2散度的基本性质1. 证：设 2. 其中是的数性函数.证：.4.旋度4.1旋度的概念定义4.1：设为空间区域上的向量函数.对上每一点，定义向量函数，称它为向量函数

6、在处的旋度，记作设是曲线的正向上的单位切线向量的方向余弦，向量称为弧长元素向量.于是斯托克斯公式可写成如下向量形式：在场中任意取一点，通过作平面垂直于曲面的法向量，且在上围绕作任一封闭曲线，记所围区域为，则有上式有对左端二重积分应用中值定理可得其中味区域的面积，为中的某一点.因此现让收缩到点时，于是趋于，因此有上式左边为在法线方向上的投影，因此它确定了的本身，所以上式也可以作为宣读的另一种定义形式.应用算符表示的旋度是例：已知，求.解：4.2旋度的基本性质1. ,即旋度的散度为零.证：2. 证：.3. 其中是的数性函数.矢量的旋度在轴上的射影是：和是在轴和轴上的射影，同样有于是5. 梯度，散度

7、，旋度之间的关系记 作运算记，称为拉普拉斯算子.显然 三者关系：各自针对的对象不同梯度的旋度 梯度的旋度为零，故梯度是保守场.2. 梯度的三度. 3. 散度的梯度 是数量场.将作用在上4.旋度的散度 旋度场的散度为零，故旋度场是无源场.5.旋度的旋度 显然，梯度和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为零说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积的场强。三度为零说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为零说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。总结本文章讨论了场论部分中所涉

8、及的梯度、散度、旋度概念及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式的理解，研究了它们的一些应用，并在此基础上进一步深入探讨了它们之间的联系.梯度和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为零说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积的场强。三度为零说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为零说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。三者关系：各自针对的对象不同参考文献：1高尚华.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001年6月. 第三版.2文丽，吴良达.高等数学M.第二册：物理类，北京:北京大学出版社,2004.8月.修订版.3刘玉莲，傅柿仁，林钉等.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社，2003年. 第四版.