曲面积分.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第二十二章曲面积分一填空题（每题2分）1.为球面,则=2.为球面,则3.若是柱面外侧,则4.若是球面在第一卦限部分,则曲面积分其中是常量5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分6.记均匀半球面:形状构件的重心为,则7.设关于面积的曲面积分:,其中是球面,其中是曲面,则8.设数量场,则9.若是某二元函数的全微分,则10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:答案: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二.选择题(每题2分)1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分为()A.B.C.D

2、.2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧,则当时,()A.B.C.D.3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分的为()A.B.C.D.其中分别是球面在平面的投影区域.4.设,其中是上半球面,其中是下半球面的外侧,则()A.B.C.D.5.设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分的值()A.B.C.D.6.设:,为在第一卦限中的部分,则有()A.B.C.D.7.若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分()A.B.C.D.8.若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分A.B.C.D.9.若是平面上方的抛物面,且,则曲面积分的物理意义为()A

3、.表示面密度为1的曲面的质量B.表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量C.表示面密度为的曲面对轴的转动惯量D.表示体密度为1的流体通过曲面指定侧的流量10.由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积()A.B.C.D.答案: ABBCACDCBA三.计算题（每题5分）1.计算曲面积分，其中为球面解：球面方程为与，上半球面记为，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有对右边的两个积分分别积分，因为，在平面上的投影区域都是，所以因此2.计算，其中为平面在第一卦限的上侧.解:因为的方程为,在平面上的投影区域都是3.计算曲面积分.其中是三个坐标面与平面所围成的四面体表面的外侧.解:因为由高斯公式得=4.计算

4、,为平面被柱面截得的部分.解:因为,所以,于是5.设球面上的密度等于点到平面的距离,求球面被截下部分曲面的重心.解:由曲面对称性知,.球面上半部曲面为,故;截得曲面在平面上投影为故这里是截得曲面中位于上半球面的部分.故6.计算,其中,是球面的外侧.解:设为上单位外法线向量,则,于是7.计算,其中是的外侧.解:由于曲面关于轴对称,故又曲面关于平面对称,且是关于的奇函数,所以8.计算,其中为锥面的外侧解:令,取上侧,则构成封闭曲面,可用高斯公式.于是而故9.计算,是从到的螺旋线:解:将添上直线段构成封闭曲线.因为所以积分与曲面无关,只与围它的曲面有关.由斯托克斯公式,有直线段的方程为,所以10.计

5、算,点在球面上,点在球面上解:设故积分与路径无关,只与起点和终点有关,于是11.计算,设(1)为;(2)为不包含原点的光滑闭曲面;(3)为包含原点的光滑闭曲面;解: (1)因为,所以由高斯公式有(2)不包含原点,而即,于是(3)包含原点,需做半径充分小球面.则与之间区域,根据题(2),有而根据题(1),有故这里取内侧.12.计算,其中为平面与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向解:应用斯托克斯公式得13.计算,其中为立体的边界曲面;解:面积由两部分组成,其中,它们在平面上的投影区域都是,由极坐标变换可得14.计算,其中为柱面被平面所截取的部分解:=15.计算,其中是单位球面的外侧解:第二十二章曲

6、面积分1.计算曲面积分其中为圆锥曲面被曲面所割下的部分.2.计算其中是曲面介于两平面之间的部分.3.计算其中是球面的下半部,是曲面的法线方向与轴正向的夹角.4.计算其中是柱面在平面和之间的部分.5.计算其中是上半球面的上侧.6.计算其中为球体的表面,并取外侧.7.计算其中为连续函数;为平行六面体的外表面.8.计算曲面积分其中为所围成的立体的表面积.9.计算其中为曲面上的那部分取正侧.10.计算曲线积分其中是圆周若从轴正向看去,是沿逆时针方向运行.11.计算是曲线,且的正向是使它在求外表面所围小区域在它的左方.12.计算其中是为曲面及平面所围成的立体的表面外侧.13.计算其中是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.【精品文档】第 8 页