用数形结合的方法来解决中学数学问题毕业论文.doc

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1、用数形结合的方法来解决中学数学问题【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分支. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思雄与形象思维相结合,在解题中借数解析形，以形表达数量关系. 有些数量关系，借助几何图形的直观描述，可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合，使问题化繁为简，化难为易，化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用, 本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。【关键词】数

2、形结合 方程问题 不等式问题 最值问题 函数问题 复数问题1 引言数形结合是一种重要的数学思想. 所谓数形结合, 就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性. 华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.在处理某些数学问题时, 我们可以

3、从问题的结构特征入手, 充分挖掘出问题的几何背景, 再利用数形结合的方法建立起几何模型, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,综合运用知识的能力.还培养了学生的创新意识与能力.数形结合的方法重点在以形助数,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。2 方程问题方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系 ，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。2.1 方程实根的正负情况用代数方法研究

4、方程根的情况,计算复杂.若用形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.例1 为何值时,二次方程有一个正根，一个负根?解：设 二次方程， a1.(1)当时，抛物线开口向上，如图方程有一个正根，一个负根故此时,不存在。 (2)当时，抛物线开口向下，如图 方程有一个正根，一个负根 故 综上所述，当时，方程有一个正根，一个负根。例2 已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.解:设二次项系数大于0,函数图象开口向上函数与轴的交点落在轴两侧只需.解之得:-或.例3 已知二次方程有两个正根,求的取值范围.解:设.依题意二次函数的图象

5、与轴的交点落在轴的正半轴.如下二图所示.所以有 或分别解两个不等式组,求交集得的取值范围是.例4 已知方程有两个正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范围.解:由已知得:所得不等式组表示平面上一区域,如图.看作点()与(1,2)连线的斜率.连接得最大斜率连接得最小斜率.利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。2.2 求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.例5 求方程的实根个数。解：此题若直接解

6、方程则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单。即求两曲线的交点的个数。做出函数和的图象，从图中可以看出两曲线的交点M只有一个，方程只有一个实数解。例6 求方程的解的个数.解:作出函数和的图象.观察图象,两函数图象有3个交点.原方程的解有3个.例7 试判断方程的解的个数。解：要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想，利用图形来处理，则轻而易举。方程的解的个数实质是与图象的交点的个数。分别作出和时的图象，由图可知两曲线有两个交点。例8 当a为何值时, 关于的方程无解?有一解?有两解?解:由题意得 即 设, ,则的图象为过定点(1 ,0)

7、 的直线系, 如图所示.直线:为切线,切点为(2 ,4).由图可知(1) 方程(*)无解直线系斜率满足。(2) 方程(*) 有一解直线系斜率满足,此时符合条件。(3) 方程(*) 有两解直线系斜率满足.此时交点横坐标均满足的条件。综上所述,当时,原方程无解; 当时,原方程有一解;当时,原方程有两解。例9 已知方程有四个实根,求的取值范围。解:此方程含绝对值号,并且有四个实根,若以代数方法求解,一时之间难以找到入手点,分类讨论难免繁冗复杂.而画出,的图象后,只须两图象有四个交点即可。即-1k 0,y 0,z 0 ,求证:. 解:这是个代数不等式的证明问题,已知条件简单,难以下手.但由代数式的结构

8、联想到余弦定理,有.又 x 0,y 0,可以表示以x , y 为边, 夹角为60的三角形的第三边。同理也有类似的几何意义. 于是构造如图所示的四面体,使.且,由余弦定理得:= 同理:= 在ABC 中, AB + BC CA , 原不等式成立.无理不等式常需要平方升幂，此时要注意定义域不能改变。符合题意的图像只是全部图像中的部分。3.2 二元二次不等式组例16 解不等式组解:先考虑相应的方程组如图，它们分别表示双曲线和圆由(3)知代入(4)得:.原不等式的解集为或熟悉代数式结构，巧用几何意义。3.3 高次不等式中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的

9、是数轴标根法。例17 解不等式.解:因最高次项系数为- 1 例20 下列不等式一定成立的是（ ）。解：构造两个函数，(1)即同理 即,错误.不等式中的绝对值号体现在图像上就是曲线的翻折。3.5 含参数的不等式若对参数分类讨论来求解,.过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。例21 若不等式+恒成立,求的取值范围.解：要使不等式恒成立，只要+的最小值.若用常规的方法来求最小值则较为烦琐。若考虑用绝对值的几何意义，把+理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。当时,有+最小值2. 的取值范围是.例22 设函数,其中,解不等式.解：此题是含字母的不等式，分类讨论思路不清楚，

10、且较烦琐。若运用函数图形的特点，则较为直观清楚。由得。记,.则=1()。表示双曲线的上半支.表示过(0,1)的直线系.从以上两图可以清楚地看出不等式的解。当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为。例23 解关于不等式 分析:按常规的解法,将不等式视为型.需分为:和两类讨论解,即将原不等式等价转化为或即或然后对进行讨论,但是在对进行讨论时,较难找到讨论对象的分界点。若构造图形则具体、直观、简洁,能避免繁冗的计算和讨论.解:设=,则表示位于轴上方的抛物线的一段,其顶点为当抛物线在平移时,其开口大小也在变化,如图.(1)当即时,不等式解集为(,+),(2)当即时,不等式解集为()即,其中是方程的一

11、个实根.与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动态变化的，要注意“动中求静”，找出分界情况。当然还需要按参数分情况作图。3.6 特殊的不等式例24 已知是定义在(-3,3)上的奇函数,当时,函数图象如图所示.那么不等式的解集是( ). 解：显然，不能直接求解不等式。利用奇函数关于原点对称的性质可画出在(-3,3)上的图象。同一坐标系中画的图象。找出图象分别在轴上，下部分的对应“数”的区间。答案选。像这类特殊的不等式，往往没有常规解法，不能直接求解，探求捷径是必须的。结合代数知识与函数性质画出图像，作出判断，方便快捷。四.最值问题 最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较

12、难找到切入点,一时之间难以入手.若能深刻挖掘题目的几何背景,利用几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果.4.1 转化为直线的截距将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值。例25 已知,求的最大值和最小值.解:已知等式可化为,它表示以(-3,4)为圆心,2为半径的圆.可看作是直线的截距.当取得最值时,直线恰是圆的切线.从而由距离公式可得:解得52.故 umax=5+2, umin=5-2.例26 设且.求的最小值. 解已知等式可化为它表示以点(1 ,1) 为中心,为渐近线的等轴双曲线的右上支.显然,当直线与双曲线相切时, 取得最小值.切点为 (2 ,2

13、).故umin = 4例27 已知满足. 求的最大值与最小值. 解:令=则原问题转化为: 在椭圆上求一点, 使过该点的直线斜率为3, 且在轴上的截距最大或最小. 由图可知,当直线与椭圆相切时, 有最大截距与最小截距.联立方程得 由得 b = 13, 故y - 3x 的最大值为13, 最小值为- 13.例28 对任意的有,求的最大值.解:设,则.求的最大值即是求直线族在轴上截距的最大值.由条件画出图象,已知条件表示的是直线上方的一段圆弧.当直线位于位置时截距的最大.求出交点坐标.则直线的截距是6.的最大值是6. 将最值问题转化为直线系的截距，注意找出直线与曲线相切的情况。4.2 转化为直线的斜率

14、例29 求函数的最大值和最小值分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点(-3,-2)与单位圆上的点连线的斜率。解:可以看作是定点(-3,-2)与单位圆上的点连线的斜率。因此,的最值就是直线与单位圆相切时的斜率.设切线方程为 即 .由点到直线的距离公式得 解得: ，。例30 如果实数满足方程，求的最大值。解:不妨设点在圆上，圆心为,半径等于,则所求表示的是点与原点连线的斜率。当与圆相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。,=1.=.将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。注意找出相切的情况。 4.3 转化

15、为距离将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。即求点与点，点与直线距离和与差。结合几何知识，不难求得结果。若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往徒劳而难以求得结果。.例31 求函数 的最小值.解：y表示轴上点到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和，做出A关于轴的对称点（1，-1）。|=| 又两点之间直线段最短|+|=|+| y的最小值为|=例32 已知,且,求的最大值和最小值.分析:本题可通过消元，转化成二次函数求解.但较麻烦，然而转换角度从解析几何的角度来看:表示一条直线而就是直线上点到原点的距离的平方.解:满足,的点集是线段.线段上的点到原点距离的最大值是=1.最小值是.代入

16、距离公式得=. 的最大值是1,最小值是.例33 求函数的最大值.解：在直角坐标系中,设定点A(3,2)与B(0,1)和动点.函数的几何意义是动点到两定点距离之差.点在抛物线上，而=.当且仅当点在延长线上时（即图中位置）上式取等号.联立直线与抛物线的方程解得:的横坐标时, 有最大值例34 已知.求的最小值解:由得.这是焦点为,准线为的抛物线方程.问题转化为在抛物线上求一点使它到两定点(-2,4),(0,2)的距离之和最小.再由抛物线的定义转化为寻找一点使它到定点和准线距离之和最小.即为图中的点时最小距离是=6. 例35 求的最小值.解:表达式使我们联想到距离公式,由于为参数.即要求两动点和所连线

17、段长度的最小值,须求出动点到直线的距离=的最小值, 所求值为.例36 如果实数a,b,c,d满足 求的最值.解:由已知得看作是圆上的点， 看作是圆上的点,是两点,距离的平方.如图过两圆的圆心,做直线交两圆于.则,例37 设lal,b0，试求的最小值.解:是圆上的点,是等轴双曲线上的点,而解析式表示动点和动点距离的平方.利用图象的对称性可得,直线与两曲线交点间距离最短.因此最小值为. 结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。5 函数问题 函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。5.1 比较函数值的大小函数解析式形式多样，函数

18、值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出与函数值对应的点；作出符合题意的图形及利用三角函数线都是简便快捷的解题方法，且结果直观。例38 比较三个数的大小0.32,20.3.解:这三个数看成三个函数:,在时对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像, 从图像可以直观地看出当时,对应的三个点的位置, 从而可得出结论: 例39 比较大小arcsin_arccos解:若用代数方法则考虑利用函数单调性去解决,这就存在函数名称同化的问题，这正是该题之难点.若将两式理解为已知函数值对应的锐角，则A= arcsin和B= arccos为图形中两个角.因此易得BA。 arcsinarccos.例40 若0

19、xxsinx。例41 定义在上的函数满足当时，=2-|-4|，则 （ ）。 解：由知又时，=2-|-4|，时，时，作出图象，则（-1，0）上是增函数，（0，1）是减函数。又故选例42 设，则与的大小关系是?解：设，则=由三角形两边之和大于第三边，得。即 当时，例43 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数有（ ）个。解:(1)的函数图象如图。易得=，=。 即满足不合题意。(2)同理分析的函数图象。此函数满足，符合题意。(3)画出函数的图象。不合题意.(4)画出函数的图象在(0,)内, 函数满足在(，1)内, 函数满足,不合题意.函数的个数只有1个.比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需

20、有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，不仅能化“不同”为“统一”，而且避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。5.2 函数的定义域例44 求函数的定义域.解：要使函数有意义，必须有：即 解法一:在同一坐标系中画出和的图象.找出公共区间.解法二:利用三角函数线.由图可知,函数的定义域为()正确找出图像的公共部分。5.3 函数的值域例45 求函数y=|x+3|-|x+1|的值域。解:就x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，即可得y的范围. 函数的图象如图，由图象即可得y2，2.例46 对任意两实数,定义运算“*”如下：*=.求函数*的值域。解：*=

21、画出函数*图象如图。的值域为（-，0。例47 求函数值域。解：=2可看作与单位圆上的点（）所连线段的斜率的2倍。设过点的直线方程为 ，即 由点到直线的距离公式得：解得：，即函数值域为。例48 求y =在0, 5 上的值域.解: y =的对称轴x= 2 0,5 .观察图象,当=2时,=-3.当=5时,=15.函数的值域是-3,15.例49 函数当时,恒成立,求的取值范围.解: 此题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题.画出图形,分情况讨论,思路清晰,不易出错.函数的对称轴为.(1) 当,即时,在-2,2上单调递增 当时,有 依题意, 解得, 此时不存在.(2) 当,即时,在-2,-上单调递减

22、,在,2上单调递增. 当时, 依题意, 解得, .(3) 当,即时, 在-2,2上单调递减 当时,有 依题意, 解得, .综上所述,.例50 求函数y =+的值域.解:根据所给函数的结构特征,将函数变形=+它表示x 轴上的点到平面上两点(0,)和(,-)的距离之和. 从而求函数的值域问题就等价于求距离和的最大、最小值问题。如图, 利用平面几何知识, 三角形两边之和大于第三边的性质可得, ym in = |AB| = 5, 而无最大值。函数的值域为5,+).例51 求函数的值域.解:联想到两点间的距离公式,建立直角坐标系,并在轴上取两定点,.()是纵坐标为的任意一点.,由三角形两边之差小于第三边

23、可知=1即即即函数的值域为(-1,1). 中学数学函数的值域求解有近10种方法，其中很多方法都能与数形结合这一思想方法巧妙结合。5.4 函数的单调区间函数图像最为直观形象地反映函数的单调性。例52 设函数.指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上是增函数还是减函数。解：当时，=当时，=即 根据二次函数的作图方法，作出函数图象.单调区间为-3,-1),-1,0),0,1),1,3.由图可知:函数在-3,-1),0,1)上为减函数,在-1,0),1,3上为增函数。例53 求函数=的单调区间和值域。解: =,将看作是动点()到直线的距离.而动点()的轨迹为单位圆的上半部分,由图可知函数=在上是减

24、函数，在-，1上是增函数.函数的值域为,。从函数图像能直接观察出单调区间。本小节的后一例题，巧妙运用数形结合，充分发挥了图像的图形功能。5.5 函数的奇偶性,单调性 根据题意，结合函数的奇偶性质：“偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称。”及增减性质画出图像求解，不仅能提高解题效率，而且有助于全面分析解决问题。例54 已知是定义在( - ,0) (0 ,+ ) 上的偶函数,并且在( - ,0) 上是增函数, 若= 0 ,求0的解集.解:是偶函数,图像关于轴对称,由= 0 ,可知图像过点( - 3 ,0),(3 ,0) . 又函数在( - ,0) 是增函数,则在(0 , + ) 是减

25、函数,可画出符合题意的图形,如图由0 或解集为( - 3 ,0) (3 , + ) . 例55 设定义在一2,2上的偶函数在0,2上单调递减，求实数的取值范围.解:利用偶函数图象关于轴对称，以及偶函数的定义:=，有.画出图象,根据已知条件,得: 解得:-1。利用函数的奇偶性、单调性对画出函数的精确图，粗略图有很大帮助。六.复数问题将复数在平面内表示出来，复数就有了几何表示，与点对应，与向量对应，从而建立了复平面，复数成为几何中的重要部分。复数是对实数的扩充，将三角、几何等知识联系起来，不仅能更好地理解、把握复数问题，为解题带来方便，而且能够优化数学思维，提高分析问题、解决问题和综合运用的能力。

26、6.1 复数的模及复数运算的几何意义 利用复数模及复数加，减，乘，除运算的几何意义是解决复数问题的基本方法，贯穿与中学数学复数问题的始终，应用于各个方面。若是直接假设复数的代数形式或三角形式带入求解，计算复杂。例56 设|=|=1,|+|=,求|-|. 解:|=|=1,|+|=,由勾股定理知此平行四边形是边长为1的正方形,它的两条对角线都是.|-|.=.例57 设复数,z2满足|=|=1,且+ =+i,求,的值.解:|=|=1且+ =+i,|-|=1., +,所对应的向量构成等边三角形。=()= (-+i)+ =+i + (-+i)=+i (+i) =+i=1, =-+i又, 具有对称性另一种

27、情况是=-+i , =1.例58 关于的二次方程,都是复数.设方程两根为,且满足.求的最大值和最小值.解:由韦达定理知,= . 又 得即复数是在以为圆心,7为半径的圆上.原点在圆内.连结延长交圆于点与点则 .例59 非零复数,满足|+|=|-|,求证:一定是负数.证明: 设复数,+分别对应复平面上的点,则四边形是平行四边形 |+|=|-|得|=|. 平行四边形是矩形 ,即有 一定是负数.复数的加减乘除运算都有几何意义，模也有几何意义。数形结合在复数中的应用与实数类似。6.2 辐角主值辐角主值是复数的重要概念，对于理解复数的几何意义和进行运算都起着重要的作用。复数没有大小，但复数的模与辐角主值有

28、大小，所以复数的模与辐角主值常与最值问题相结合。例60 设a rg (z + 2) =, arg (z - 2) =求复数z.解:利用复数的几何意义,可作出图.可表示为,可表示,可表示为.AOB =且点是的中点|=|=|=2.即|= 2.=/轴COB= B =-=-= =-1+.例61 设复数,求复数的辐角主值的最大值和最小值.解:复数表示以为圆心,1为半径的圆(包括圆周).复数表示以(对应于-2)为圆心,1为半径的圆(包括圆周).过作圆切线.为切点。在和中,=2=2则辐角主值的最大值210,最小值150.例62 已知复数满足= ,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值,由复数模的几何意义

29、知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。满足=复数对应的复平面上的点的轨迹是以(0,-1)为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为=,故的最大值是=。例63 设复数满足. (1) 求|的取值范围; (2) 求取得最值时的复数.解:表示复数所对应的点Z在圆心为原点,半径为15的圆上(包括边界) .(1) | z - 25 i | 表示圆上的点Z到点的距离,由图可知|= 25 + 15 = 40 ,|= 25 - 15 = 10 ,10| z - 25 i |40.(2) 过作圆的切线,设切点为, ,则,分别为 取最大值,最小值时对应的复数. 设=, 由图可知,.由平面几何知识可知:,于是可

30、得=15 () =.由对称性知z2 =在复平面内画出函数图像，分析求解方法与其在实数范围内类似。7 总结 由此可见,数形结合是一种重要的思想方法,在中学数学中有广泛的应用. 在学习过程中,注意这一思想的渗透,方法的应用,不仅能开辟解题新捷径,还能培养创新意识,提高综合运用的能力.通过写毕业论文,我突破了自已很多方面。现在知道利用各种办法去搜集,整理资料,把以前所学的知识和掌握的方法应用到了论文中。衷心感谢老师耐心细致的指导，正是老师耐心细致的指导才有了这篇论文的产生。参考文献：1罗仲华.高考总复习金版专辑(1)数学M.北京:北京教育出版社,2005.35-39.2李许令.数形结合思想在解题中的

31、应用J.中学数学月刊,2005,(9)：19-21.3周友良，邓升平.数形结合思想在解题中的应用J .中学数学月刊，2005，（9）：46-47.4杜英丽.走向高考数学（B本理科）M.北京:人民日报出版社，2006.201-205.5李志春.百汇大课堂数学（理科）M.吉林:延边人民出版社,2006.78.6任志鸿.高中总复习优化设计M.北京:西苑出版社,2007.52-55.7李盘喜.高中数学解题题典M.吉林:东北师范大学出版社.2007.221-223.8曹翠玲.谈数形结合思想的培养J .湖北三峡学院学报,1998,（1）:29-31.9周平.用数形结合解题举例J .数学教学,2005,（7

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