立体几何中的向量方法（全）ppt课件.ppt

《立体几何中的向量方法（全）ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法（全）ppt课件.ppt（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量lAPa 、直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量. .APta 一、方向向量与法向量一、方向向量与法向量2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量. .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。oxyzABCO1A1B

2、1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_(1)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。( , ,1)习惯上取nx y 2 1,13 2n “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。( , ,1)习惯上取n

3、x y “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0,

4、 ),2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1),nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。练习 设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4,

5、6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决几何问题用向量方法解决几何问题“雪亮工程是以区（县）

6、、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3.2.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法平行关系平行关系“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。mlab一一. 平行关系：平行关系：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。au aAC axAB

7、yAD “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。v u “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行.已知已知 直线直线l与与m相交相交, ,lm,lm.求证 l,ma, .bv 证明:取的

8、方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv v u ab,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是 、 的一个法向量 .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3)

9、,G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 A AE E = =F FG GAE/FG. 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./ AEFGAEFGAEAE与与FGFG不共线不共线，立体几何法呢？立体几何法呢？M MN N“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底

10、面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法连结连结AC交交BD于点于点G，再连结再连结GE.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连

11、结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1

12、,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA ,PAEDB而平面./EDBPA平面所以，1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCDP PE EXYZ解解4：如图所

13、示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点

14、的“群众性治安防控工程”。三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点.求证:BC1面AB1D.练习题练习题11ABABAA 112ADACAA11BCABAAAC 112.BCABAD O立体几何法呢？立体几何法呢？“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中点，的中点，PF=FG=GC . 求证：面求证：面AEF/面面BDG.ABCDP P

15、G GxyzF FE E立体几何呢？立体几何呢？O“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。(1) lm 0aba b 二、垂直关系：二、垂直关系：lmab“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、

16、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。(2) l /auau lauABC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3 （）0uvu v u v “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, AB, AB、CDCD的中点分别是的中点分别是M

17、M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.证证1 1 立立体体几几何何法法MN就是异面直线就是异面直线AB与与CD的的公垂线，公垂线，故异面直线故异面直线AB与与CD的的距离距离就是就是MN.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, AB, AB、CDCD的中点分别是的中点分别是M M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.MAADDN 1122ABADD

18、C 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNMNAB, AB, 同理同理 MN MNCD.CD.证证2 2 向量法向量法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, , ABAB、CDCD的中点分别是的中点分别是M M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.证证3 3 如图所示建立空间直角坐标系，设如图所示建立空间直

19、角坐标系，设AB=2.AB=2.xyZxy(0,0,0),B(0,2,0),D( 3,1,0),C32 6(,1,),33A3 16(,),623M3 3(,0),22N“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证： CBAOOABC OCABOAB CEFz11A FO Exy 证明：如图所示建立空证明：如图所

20、示建立空间直角坐标系，设间直角坐标系，设AF=BE=b.AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO E“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正

21、正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1 ,1(PB021210DEPB故)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 -, ,. 2:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点作作交交于于

22、点点求求证证平平面面ABCDPEFxyz证2：立体立体几几何何法法的中点是PCEDCPD,PCDE BCPDABCDBCABCDPD面面,BCPC PPCPDPDCDEPDCBC面面,BCDE CPCBCPBCPBPBCDE面面,PBDE ,PBEF EEFDE.DEFPB面“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平

23、面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,),2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则 ， 所以所以1.D FADE 平平面面DADE 则则， x= ,DADE D 因因“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111

24、DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明证明2：立立体体几几何何法法P“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,

25、 1)EB (0,2, 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 证明证明2：立立体体几几何何法法E,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBDO“雪亮工程是以区（县）、乡（

26、镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3.2.43.2.4立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos,.a b lamb 0 ,90,1.异面直线所成角异面直线所成角“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支

27、撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 u v，的的夹夹角角为为 ,cos-|u vuv （） 2、二面角、二面角“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 u v，的的夹夹角角为为 ,cos|u vuv 注意法向量的方向：注意法向量的方向：同进同出，二面角等同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等一进一出，二面角等于法向量夹角于法向量夹角2、二面角、二面角“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村

28、（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，.u v c co os s = =c co os s u v PPAl0 ,180,“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos,.a u ;a u c co os s = = c co os s( (- -) )2 2.a u cos= co

29、s(+cos= cos(+) )2 2 ula ula 0 ,90,2、线面角、线面角“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。xyz 解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：.Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB11111 1( ,0, ), ( , ,1)222 2FD11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3 30 0= =. .

30、1 10 0所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30.100111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。0111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值

31、.A1AB1BC1C1D1F解2立立体体几几何何法法P“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例： 的棱长为 1.111.B CAB C求与平面所成的角的正弦值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC, B11平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥

32、平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例：的棱长为 1.111.B CAB C求与平面所成的角的正弦值解解2 立立体体几几何何法法 A1xD1B1ADBCC1yzEFP“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (

33、1)求证：求证：PA/平面平面EDB;(2)(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F :;求求证证平平面面PBEFD “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。,2,PBEFPBDF 已知由（ ）可知故) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以,31k所以

34、ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.EFDCPBD是二面角的平面角.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,)333FD “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综

35、治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为：解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为：G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC c

36、os1/ 2, 60“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F解解3 立体几何法：立体几何法：设设DC=1DC=1， , 2,PBEFPBDFEFDCPBD 由可知故是二面角的平面角.,22DE,36P

37、BDBPDDF,6621PBCBPCEF,212cos222EFDFDEEFDFEFD.60EFD“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。练习练习 的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面ABD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1),DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1),DC 11cos,1/2,DA DC cos1/ 2, 120 . 10 .BD则二面

38、角A-C的大小为12,1A-BD C二面角为钝角设为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2 立立体体几几何何法法A1D1B1ADBCC1P,2,36ACAPCP,21cosAPC10 .BD则二面角A-C的大小为12中，在 APC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3.2.43.2.4立体几何

39、中的向量方法立体几何中的向量方法距离问题距离问题“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。asin, ,dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则距离

40、问题：距离问题：21 cos, .APAP a “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则 u A P O dd|.|AP uu |AP uAPAPu |.|AP udu “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的的距离距离为为d ,

41、则则 umDCPAlab同上！距离为公垂线的方向向量，dmlu,为异面直线，则ml,“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解

42、：解：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的长是棱长的的 倍。倍。6“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 练习练习.(.(P107.2P107.2) )如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A

43、A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 解解12 17.CD 解得,BDABCACD,22BDABCACD“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点，

44、 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 解解2 立体几何法立体几何法 2 17.CD P60“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到

45、直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, ,10AEAB 113sin, ,10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 2.4dAEAEAB “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1

46、，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解解2 立立体体几几何何法法面积面积法法P“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u=(x,y,1) 建立坐标系11111 11 1 解解:. A E =(-1, ,0),A B =(0, 1,-1):. A E

47、=(-1, ,0),A B =(0, 1,-1)2 2设设为为面面A BEA BE的的法法向向量量, ,uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, .1 u=(,1,1)2得 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 1 11 11 11 1 B B 到到面面A A B BE E的的距距离离为为A A B Bn n2 2 d d = = =3 3n n“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B

48、1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111,BA BEE A BBVV解解22.3d “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1:D1

49、C面面A1BE D1到面到面A1BE的距离的距离即为即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解解21.3d “雪亮

50、工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离的距离即即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 11113.3D AACdAC “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社