高中数学导函数专题（附答案）.doc

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1、高中数学导函数专题一解答题（共30小题）1已知函数f（x）= （a，bR，且a0，e为自然对数的底数）（I）若曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+20；（ii）当 a=1，b=1 时，若不等式：xf（x）e+m（x1）在区间（1，+）内恒成立，求实数m的最大值2设f（x）=exa（x+1）（1）若a0，f（x）0对一切xR恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a使得对一切正整数n都成立？若存在

2、，求a的最小值；若不存在，请说明理由3已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，设h（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f（1）=g（1）2求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：14已知函数f（x）=xmex（mR，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）e2x对xR恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1x2）是函数f（x）的两个零点，求证x1+x225已知函数（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x

3、）=f（4x），求证：当x2，f（x）g（x）；（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x246已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围7已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值8设函数f（x）=lnxax（aR）（1）若直线y=3x1

4、是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在1，e2上的最大值为1ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围9已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围10已知函数f（x）=alnx+x24x（aR）（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x10）是曲线y=f（x）上的两点，x0=，问：是否存在a，使得直线AB的斜率等于f（x0）？若存在，求出a的值；若不存

5、在，说明理由11已知函数f（x）=alnx+，aR（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，不等式f（x）e1x恒成立12已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，aR）（ I）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；（）若函数f（x）在区间（0，1上是单调函数，求a的最大值13已知函数g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3+ln（a） 恒成

6、立，求m的取值范围14设函数f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间1，1上的最大值不小于15已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点

7、B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由16已知函数f（x）=lnxax3（a0），（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对于任意的a1，2，若函数在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；（）求证：17已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828（1）若函数（x）=f（x），求函数（x）的单调区间；（2）若x0，g（x）kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0）处的切线，证明：在

8、区间（1，+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切18设aR，函数f（x）=lnxax（）求f（x）的单调递增区间；（）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k证明：kg（x0）19已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+

9、2）x成立，求实数a的取值范围20已知函数f（x）=2lnxx2（） 求函数y=f（x）在上的最大值（）如果函数g（x）=f（x）ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0x1x2y=g（x）是y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，qp求证：g（px1+qx2）021已知函数f（x）=x3+ax，g（x）=exe（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0）处的切线互相垂直，求实数a的值（）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数22已知函数，f（x）=alnxax3（aR）（1 ）当a=1时，求

10、函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总存在极值？23设f（x）=px2lnx（）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（）设g（x）=，且p0，若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数p的取值范围24已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（

11、kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由25若f（x）=其中aR（1）当a=2时，求函数y（x）在区间e，e2上的最大值；（2）当a0，时，若x1，+），f（x）a恒成立，求a的取值范围26函数f（x）=（xa）2（x+b）ex（a，bR）（1）当a=0，b=3时求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时设x1，x2，x3（其中x1x2x3）是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数

12、x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在说明理由27已知函数f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（1）求a，b的值；（2）若当x0，+）时，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范围；（3）若=22361，试估计ln的值（精确到0.001）28已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（）记F（x）=f（x）g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（）记（）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=minf（x），g（x），若m（x）=n（nR）在（1，+）有两个

13、不等实根x1，x2（x1x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明29已知函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，tR（）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（abc）处取极值，求t的取值范围；（）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式f（x）x恒成立，求正整数m的最大值30已知函数f（x）=xe1x，g（x）=（2a）x2lnx+a2（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若对于x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同实数xi（i=1，2），使得f（x0）=g（xi），求实数a的取值范围2017年12月16日高中数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题

14、（共30小题）1已知函数f（x）= （a，bR，且a0，e为自然对数的底数）（I）若曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+20；（ii）当 a=1，b=1 时，若不等式：xf（x）e+m（x1）在区间（1，+）内恒成立，求实数m的最大值【分析】（）求出原函数的导函数，由f（e）=0得b=0，可得f（x）=然后对a分类讨论，可知当a0时，f（x）有极大值而无极小值；当a0时，f（x）有极小值而无极大值从而得到实数a的取值范围为（，0）；（）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnxe

15、x+2求其导函数，可得g（x）=在区间（0，+）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0（，1），使得得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+）内为减函数又，得，x0=lnx0由单调性知g（x）max0，即xf（x）+20；（ii）xf（x）e+m（x1）xf（x）m（x1）e，当 a=1，b=1 时，设h（x）=xf（x）m（x1）=lnx+exm（x1）利用两次求导可得当x1时，h（x）h（1）=1+em然后分当1+em0时和当1+em0时求解m的取值范围【解答】（）解：f（x）=，f（x）=f（e）=0，b=0，则f（x）=当a0时，f（x）在（0，e）内大于0，在（e

16、，+）内小于0，f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+）内为减函数，即f（x）有极大值而无极小值；当a0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+）内为增函数，即f（x）有极小值而无极大值a0，即实数a的取值范围为（，0）；（）（i）证明：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnxex+2g（x）=在区间（0，+）上为减函数，又g（1）=1e0，g（）=2存在实数x0（，1），使得此时g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+）内为减函数又，x0=lnx0由单调性知，=又x0（，1），（）2g（x）max0，即xf（x）+20；（ii）xf（x）e+m（x1）xf（x）

17、m（x1）e，当 a=1，b=1 时，设h（x）=xf（x）m（x1）=lnx+exm（x1）则h（x）=令t（x）=h（x）=x1，t（x）=h（x）在（1，+）内单调递增，当x1时，h（x）h（1）=1+em当1+em0时，即m1+e时，h（x）0，h（x）在区间（1，+）内单调递增，当x1时，h（x）h（1）=e恒成立；当1+em0时，即m1+e时，h（x）0，存在x0（1，+），使得h（x0）=0h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0，+）内单调递增由h（x0）h（1）=e，h（x）e不恒成立综上所述，实数m的取值范围为（，1+e实数m的最大值为：1+e【点评】本题主要考查利用

18、导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，是压轴题2设f（x）=exa（x+1）（1）若a0，f（x）0对一切xR恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由f（x）=exa（x+1），知f（x）=exa，故f（x）min=f（lna）=aa（lna+1）=alna，再由f（x）0对一切xR恒成立，能amax（2）由f（x）=exa（x+1），知g（x）=

19、f（x）+=由a1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g（x）=exa2a=a+2=m，（a1），由此能求出实数m的取值范围（3）设t（x）=exx1，则t（x）=ex1，从而得到exx+1，取，用累加法得到由此能够推导出存在正整数a=2使得1n+3n+（2n1）n（an）n【解答】解：（1）f（x）=exa（x+1），f（x）=exa，a0，f（x）=exa=0的解为x=lnaf（x）min=f（lna）=aa（lna+1）=alna，f（x）0对一切xR恒成立，alna0，alna0，amax=1（2）f（x）=exa（x+1），g（x）=f（x）+=a1，直线AB的斜率恒大于常数m，g（x）

20、=exa2a=a+2=m，（a1），解得m3，实数m的取值范围是（，3（3）设t（x）=exx1，则t（x）=ex1，令t（x）=0得：x=0在x0时t（x）0，f（x）递减；在x0时t（x）0，f（x）递增t（x）最小值为t（0）=0，故exx+1，取，得，累加得1n+3n+（2n1）n（2n）n，故存在正整数a=2使得1n+3n+（2n1）n（an）n【点评】本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数的最小值综合性强，难度大解题时要认真审题，合理地运算导数性质进行等价转化3已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，设h

21、（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f（1）=g（1）2求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：1【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（1）2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；（2）将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，结合的结论，通过适当的变形，利用通过适当的变形，利用导数即可证明【解答】解：（1）由已知得f，（x0），所以，所以a=2由f（1）=g（1）2，得a+1=b2，所以b=1所以h（x）=x2+lnx+x，（x0）则，（x

22、0），由h（x）0得0x1，h（x）0得x1所以h（x）的减区间为（1，+），增区间为（0，1）（2）由已知h（x）=lnx+bx，（x0）所以h，（x0），当b0时，显然h（x）0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意当b0时，令h（x）=0得x=0，令h（x）0得；令h（x）0得所以h（x）极大=h（）=ln（b）10，解得且x0时，lnx0，x+时，lnx0所以当时，h（x）有两个零点由题意得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0lnx1x2+b（x1+x2）=0，lnx2lnx1+b（x2x1）=0，=，不妨设x1x2要证x1x2e2，只需要证ln

23、x1x2（lnx2lnx1）2，即证lnx2lnx1，设t=，t1，则F（t）=lnt=lnt+2，F（t）=0，函数F（t）在（1，+）上单调递增，而F（1）=0，F（t）0，即lnt，x1x2e2，1【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及函数的零点存在定理和不等式的证明，培养了学生的运算能力，化归能力，分类讨论的能力，属于难题4已知函数f（x）=xmex（mR，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）e2x对xR恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1x2）是函数f（x）的两个零点，求证x1+x22【分析】（1）求出原函数的导函数f（

24、x）=1mex当m0时，则f（x）0，函数f（x）为（，+）上的增函数；当m0时，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）f（x）e2xm，设g（x）=，利用导数求出g（x）的最大值，则实数m的取值范围可求；（3）由f（x）有两个不同零点x1，x2，得，两式作差可得，即m=要证x1+x22，只要证明2，即证2不妨设x1x2，记t=x1x2，则t0，et1，转化为（t2）et+t+20构造函数h（t）=（t2）et+t+2（t0），利用导数证明（t2）et+t+20成立【解答】（1）解：f（x）=1mex当m0时，f（x）0，函数f（x）为（，+）上的增函数；当m0时，由f（x）0，得xlnm，

25、f（x）在（，lnm）上为增函数；由f（x）0，得xlnm，f（x）在（lnm，+）上为减函数；（2）解：f（x）e2xm，设g（x）=，则g（x）=，当x0时，1e2x0，g（x）0，则g（x）在（，0）上单调递增；当x0时，1e2x0，g（x）0，则g（x）在（0，）上单调递减g（x）max=g（0）=1，则m1；（3）证明：f（x）有两个不同零点x1，x2，则，因此，即m=要证x1+x22，只要证明2，即证2不妨设x1x2，记t=x1x2，则t0，et1，因此只要证明2，即（t2）et+t+20记h（t）=（t2）et+t+2（t0），h（t）=（t1）et+1，h（t）=tet当t0时

26、，h（t）=tet0，h（t）h（0）=0，则h（t）在（0，+）上单调递增，h（t）h（0）=0，即（t2）et+t+20成立x1+x22【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键，属难题5已知函数（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4x），求证：当x2，f（x）g（x）；（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x24【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，

27、+）上的单调性，进而证得结论（3）先由（1）得f（x）在（，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数，故x1、x2不可能在同一单调区间内；设x12x2，由（2）可知f（x2）g（x2），即f（x1）f（4x2）再结合单调性即可证明结论【解答】解：（1）f（x）=，f（x）=（2分）令f（x）=0，解得x=2x（，2）2（2，+）f（x）+0f（x）极大值f（x）在（，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数（3分）当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=（4分）（2）证明：，F（x）=（6分）当x2时，2x0，2x4，从而e4e2x0，F（x）0，F（x）在（2，+）是增函数（8分）（3）证明：f

28、（x）在（，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数当x1x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内不妨设x12x2，由（2）可知f（x2）g（x2），又g（x2）=f（4x2），f（x2）f（4x2）f（x1）=f（x2），f（x1）f（4x2）x22，4x22，x12，且f（x）在区间（，2）内为增函数，x14x2，即x1+x24（12分）【点评】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握6已

29、知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围【分析】（）先求出其导函数：，利用是函数f（x）的一个极值点对应的结论f（）=0即可求a的值；（）利用：，在0a2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；（）先由（）知，f（x）在上的最大值为，把问题转化为对任意的a（1，2），不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数m的取值范围【解答】解：由题得：（）由已知，得且，a2a2=0，a0，a=2经检验

30、：a=2符合题意（2分）（）当0a2时，当时，又，f（x）0，故f（x）在上是增函数（5分）（）a（1，2）时，由（）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式恒成立记，（1a2）则，当m=0时，g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）g（1）=0，由于a210，m0时不可能使g（a）0恒成立，故必有m0，若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）g（1）=0，与g（a）0恒成立矛盾，故，这时，g（a）0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）g（1）=0，满足题设要求，即，所以，实数m的取值范围为（14分）【点评】本题第一问主要考查利用极值求对

31、应变量的值可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点7已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间3，+）上恒成立，当a=0时，容易检验是否符合题意，当a0时，由题意可得必须有2ax+10对x3恒成立，则a0，从而2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+0上恒成立考查函数g（x）=2a

32、x2+（14a）x（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域方法1：构造函数g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+xx2）求导可得g（x）=lnx+1+2x3x2由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x0时，lnx+0，则g（x

33、）0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=（1分）因为x=2为f（x）的极值点，所以f（2）=0（2分）即，解得a=0（3分）又当a=0时，f（x）=x（x2），从而x=2为f（x）的极值点成立（4分）（2）因为f（x）在区间3，+）上为增函数，所以在区间3，+）上恒成立（5分）当a=0时，f（x）=x（x2）0在3，+）上恒成立，所以f（x）在3，+）上为增函数，故a=0符合题意（6分）当a0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+10对x3恒成立，故只能a0，所以2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+）上恒成立（7分）令g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+

34、2），其对称轴为，（8分）因为a0所以，从而g（x）0在3，+）上恒成立，只要g（3）0即可，因为g（3）=4a2+6a+10，解得（9分）因为a0，所以由可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为0，（10分）（3）若时，方程x0可化为，问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域（11分）以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），则，（12分）所以当0x1，h（x）0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x1，h（x）0，

35、从而h（x）在（1，+上为减函数，（13分）因此h（x）h（1）=0而x1，故b=xh（x）0，因此当x=1时，b取得最大值0（14分）方法2：因为g（x）=x（lnx+xx2），所以g（x）=lnx+1+2x3x2设p（x）=lnx+1+2x3x2，则当时，p（x）0，所以p（x）在上单调递增；当时，p（x）0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g（x0）=0，当0xx0时，g（x）0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0x1，g（x）0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；又因为，当x0时，lnx+0，则g（x）0，又g（1）=0因此当x

36、=1时，b取得最大值0（14分）【点评】本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力8设函数f（x）=lnxax（aR）（1）若直线y=3x1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在1，e2上的最大值为1ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln，代入直线y=3x1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对

37、a分类得到函数在1，e2上的单调性，并进一步求出函数在1，e2上的最大值，由最大值等于1ae求得a值；（3）把ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）转化为ln（2x2x3t）（2x2x3t）=ln（xt）（xt），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案【解答】解：（1）由f（x）=lnxax，得f（x）=3，x=，则f（）=ln，ln=，得ln=0，即a=2；（2）f（x）=，当a时，f（x）0在1，e2上恒成立，故f（x）在1，e2上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2ae2=1ae，得（舍）；当a1时，若x1，f（x）0，

38、x，f（x）0，故f（x）在1，e2上先增后减，故由lna1=1ae，解得a=；当a1时，故当x1，e2时，f（x）0，f（x）是1，e2上的减函数，故f（x）max=f（1）=a=1ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）ln（2x2x3t）（2x2x3t）=ln（xt）（xt），令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+）上是增函数，又g（2x2x3t）=g（xt），2x2x3t=xt2（x2xt）=0，即，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=或0t2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、分类讨

39、论、数形结合等数学思想方法，难度较大9已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，f（x）在（0，+）上单调递增；若a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减（）f（x）=，令g（x）=xlnxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令F（x）=g（x）=lnx+12ax，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，若a0，则由f（x）=0，得x=，当x

40、（0，）时，f（x）0，当x（）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减所以当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减（）f（x）=，令g（x）=xlnxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令F（x）=g（x）=lnx+12ax，若a0，F（x）0，g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）=12a0，g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）=0，从而f（x）不符合题意若0a，当x（1，），F（x）0，g（x）在（1，）上递增，从而g（x）g（1）=12a，g（x）在1，+）上递增，g（x）

41、g（1）=0，从而f（x）不符合题意若a，F（x）0在1，+）上恒成立，g（x）在1，+）上递减，g（x）g（1）=12a0，从而g（x）在1，+）上递减，g（x）g（1）=0，f（x）0，综上所述，a的取值范围是）【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用10已知函数f（x）=alnx+x24x（aR）（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x10）是曲线y=f（x）上的两点，x0=，问：是否存在a，使得直线AB的斜率等于f（x0）？若存

42、在，求出a的值；若不存在，说明理由【分析】（1）求得函数的导数，讨论判别式和a的范围，分a2，0a2，a0，利用导函数分别大于0和小于0求得x的范围即可得到单调区间；（2）由题意求出kAB和f（x0）=f（），由两式相等化简，可知当a=0时，该式对于任意x1，x2（0，+）都成立，当a0时，令，则t1，则lnt=，令h（t）=lnt（t1），利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f（x0），综合上述可得答案【解答】解：（1）函数f（x）=x24x+alnx的导数为f（x）=2x4+=（x0），令g（x）=2x24x+a当=168a0，即a2时，2x24x+a0恒成立，可得f（x）0恒成立，即有f（x）的增区间为（0，+），无减区间；当=168a0