高中数学必修一第二章导学案（附答案）.doc

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1、2.1.1指数与指数幂的运算(一)学习目标1.理解n次方根、n次根式的概念.2.正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用.知识点一n次方根、n次根式思考若x23，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？答案这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作.梳理一般地，有(1)a的n次方根定义如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数aRn为偶数0，)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.知识点二根式的性质思考我们已经知道若x23，则x，那么()2等于什么？呢

2、？呢？答案把x代入方程x23，有()23；，代表9的两个平方根中正的那一个，即3.3.梳理一般地，有(1)0(nN*，且n1)；(2)()na(nN*，且n1)；(3)a(n为大于1的奇数)；(4)|a|(n为大于1的偶数).类型一根式的意义例1求使等式(3a)成立的实数a的取值范围.解|a3|，要使|a3|(3a)成立，需解得a3,3.反思与感悟对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a0才有意义；(2)只要有意义，必不为负.跟踪训练1若a1，求a的取值范围.解|a1|a1，a10，a1.类型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)；(2)(ab)；(3)()2.解(1)|3|3.(2)

3、|ab|ab.(3)由题意知a10，即a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1.反思与感悟n为奇数时na，a为任意实数均可；n为偶数时，a0，n才有意义，且na；而a为任意实数均有意义，且|a|.跟踪训练2求下列各式的值：(1)；(2)(a1)；(3).解(1)2.(2)|3a3|3|a1|33a.(3)a|1a|类型三有限制条件的根式的化简例3设3x3，求的值.解原式|x1|x3|，3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x3时，原式(x1)(x3)4.原式引申探究例3中，若将“3x3”变为“x3”，则结果又是什么？解原式|x1|x3|.x3，x11)的结果是()A.12x B

4、.0 C.2x1 D.(12x)2答案C1.根式的概念：如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.n为奇数时，x，n为偶数时，x(a0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2.掌握两个公式：(1)()na；(2)n为奇数，a，n为偶数，|a|3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.课时作业一、选择题1.已知m102，则m等于()A. B. C. D.答案D解析m102，m是2的10次方根.又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数.m.故选D.2.给出下列各式：a；(a0)；.其中正确的个数为()A.0

5、 B.1 C.2 D.3答案B解析错；，正确；，错.综合可知正确的个数为1.3.化简 的值是()A. B. C. D.答案B解析 .4.化简等于()A.ee1 B.e1e C.ee1 D.0答案A解析 |e1e|ee1.5.若2a3，化简的结果是()A.52a B.2a5 C.1 D.1答案C解析2a0，a30，|2a|3a|a23a1.6.52的平方根是()A. B. C. D.，答案D解析().二、填空题7.化简的结果为_.答案0解析原式|4|4440.8.若x0，则|x|_.答案1解析x0，原式x(x)xx11.9. _.答案32解析方法一 32.方法二 32.10.把a 根号外的a移到

6、根号内等于_.答案解析要使 有意义，需a0.a |a| .11.化简的值为_.答案6解析6，|4|4，4，原式6446.12.若1x2，化简_.答案12x解析原式|x2|x1|.1x0，x20，原式2xx112x.三、解答题13.设f(x)，若0a1，求f(a).解f(a) |a|，因为00.(1a) (1a)(a1)(a1)(a1).15.计算：(1) ；(2)；(3)(1)()0.解(1)原式.(2)原式8|2|(2)8228.(3)原式()(1)1(1)(1)1(31)1112. 2.1.1指数与指数幂的运算(二)学习目标1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运

7、算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义.知识点一分数指数幂思考根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？a2 (a0)；a4(a0)；a3(a0).答案当a0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数.梳理一般地，分数指数幂定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.知识点二有理数指数幂的运算性质思考我们知道3233323.那么成立吗？答案成立. 8432, 2532.梳理

8、整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ).知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.类型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1分数指数幂化根式例1用根式的形式表示下列各式(x0，y0).(1)；(2) .解(1).(2).反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习

9、的重点内容，要切实掌握.跟踪训练1用根式表示(x0，y0).解.命题角度2根式化分数指数幂例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)a3.反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a0时，有时有意义，有时无意义.如1，但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：(1) ；(2) (a0)；(3)b3；(4) .解(1)；(2)；(3)b3；(4).类型二运用指数幂运算公式化简求值例3计算下列各式(式中字母都是正数

10、)：(1)；(2)；(3).解(1) ()2 0.090.09；(2)原式2(6)(3)4ab04a；(3) .反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.跟踪训练3(1)化简：()080.25()6；(2)化简：；(3)已知5，求的值.解(1)原式；(2) ；(3)由5，两边同时平方得x2x125，整理得：xx123，则有23.类型三运用指数幂运算公式解方程例4已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值.解方法一a0，b0，又abba，a832a.方法二abba，b9

11、a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a.反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.跟踪训练4已知67x27,603y81，求的值.解由67x33，得67，由603y81得603，932，2，故2.1.化简的值为()A.2 B.4 C.6 D.8答案B2.等于()A.25 B. C.5 D.答案D3.用分数指数幂表示(ab)为()A. B. C. D.答案C4.()4等于()A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 答案D5.计算的结果是()A.32 B.16 C.64 D.

12、128 答案B1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.课时作业一、选择题1.化简式子的结果是()A. B. C. D.答案C 解析3.2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是()A. B. C. (x，y0) D.答案C解析，故选C.3

13、.等于()A. B. C. D.答案B解析.4.中x的取值范围是()A.(，) B.(，)(，)C.(，) D.(，) 答案C解析，要使该式有意义，需32x0，即x.5.，这三个数的大小关系为()A. B.C. D. 答案B解析，.，0，且ax3，ay5，则_.答案9解析(ax)2329.10.()2 015()2 016_.答案解析()2 015()2 016()()2 015()12 015().11.化简的值为_.答案解析原式.12.如果a33，a10384，_.答案32n3解析原式332n3.三、解答题13.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(

14、a0，且a1)，若g(2)a，求f(2).解因为f(x)g(x)axax2，又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)f(x)g(x)axax2，所以f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)a2a22，两式联立解得a2，进一步求得f(2).四、探究与拓展14.设m，则等于()A.m22 B.2m2 C.m22 D.m2 答案C解析将m两边平方得m2，即a2a1m2，所以aa1m22，即am22m22.15.已知函数f(x)，g(x).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(已知y在R上是增函数)(2)分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由

15、此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.(1)证明设x1x20，y在R上是增函数，.又0，f(x1)f(x2)0.f(x)在(0，)上是增函数.(2)解经计算知f(4)5f(2)g(2)0，f(9)5f(3)g(3)0，由此猜想：f(x2)5f(x)g(x)0.证明如下：f(x2)5f(x)g(x)0.2.1.2指数函数及其性质(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个

16、，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与yx2有什么不同？答案y2x.它的底为常数，自变量为指数，而yx2恰好反过来.梳理一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定yax中a0，且a1的理由：当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值.因此规定yax中a0，且a1.(2)要注意指数函数的解析式：底数是大于0且不等于1的常数.指数函数的自变量必须位于指数的位置上.ax的系数必须为1.指数函数等号右边不会是多项式

17、，如y2x1不是指数函数.知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.梳理指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质：a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1单调性是R上的增函数是R上的减函数类型一求指数函数的解析式例1已知指数函数f(x)的图象过点(3，)，求函数f(x)的解析式.解设f(x)ax，将点(3，)代入，得到f(3)，即a3，解得a，于是f(x).反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a0，

18、a1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数.要求指数函数f(x)ax(a0，且a1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可.跟踪训练1已知指数函数y(2b3)ax经过点(1,2)，求a，b的值.解由指数函数定义可知2b31，即b2.将点(1,2)代入yax，得a2.类型二求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域命题角度1f(ax)型例2求下列函数的定义域、值域.(1)y；(2)y4x2x1.解(1)函数的定义域为R(对一切xR,3x1).y1，又3x0,13x1，01，10，010，2x，即x1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，值

19、域为，).反思与感悟解此类题的要点是设axt，利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为yf(t)的问题.跟踪训练2求下列函数的定义域与值域.(1)y ；(2)y(a0，且a1).解(1)1x0，x1，解得x0，原函数的定义域为0，).令t1x (x0)，则0t1，00，t11，01，20，110，且a1)，得ax.ax0，0，1y0且y1.(2)由5x10得x，所以函数定义域为x|x.由0得y1，所以函数值域为y|y1.类型三指数函数图象的应用命题角度1指数函数整体图象例4在如图所示的图象中，二次函数yax2bxc与函数yx的图象可能是()答案A解析根据图中二次函数图象可知c0，二次函

20、数yax2bx，0，二次函数的对称轴为x0，排除B、D.对于A，C，都有01，0，C不符合.故选A.反思与感悟函数yax的图象主要取决于0a1.但前提是a0且a1.跟踪训练4已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)答案A解析当x10，即x1时，ax1a01，为常数，此时f(x)415.即点P的坐标为(1,5).命题角度2指数函数局部图象例5若直线y2a与局部函数y|2x1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.解y|2x1|图象如下：由图可知，要使直线y2a与函数y|2x1|图象有两个公共点，需02a1，即0a

21、1)的图象是()答案B解析函数ya|x|是偶函数，当x0时，yax.由已知a1，故选B.1.下列各函数中，是指数函数的是()A.y(3)x B.y3x C.y3x1 D.y()x 答案D2.若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A.a0，且a1 B.a0，且a1C.a，且a1 D.a 答案C3.函数y的值域是()A.(0，) B.(，0C.(0,1 D.1,0) 答案C4.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0答案D5.函数f(x)的定义域为()A.(3,0 B.(3,1 C.(，3

22、)(3,0 D.(，3)(3,1答案A解析由题意，自变量x应满足解得30，且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0，且a1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域的方法如下：(1)换元，令tf(x)，并求出函数tf(x)的定义域；(2)求tf(x)的值域tM；(3)利用yat的单调性求yat在tM上的值域.课时作业一、选择题1.若函数f(x)(a23a3)ax是指数函数，则()A.a1或a2 B.a1 C.a2 D.a0且a1 答案C解析由题意得解得a2.2.函数yaxa (a0且a1)的大致图象可能是()答案C解析如果函数的图象是A，那么1a

23、1a0，这与a0且a1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么a1a000，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么01a10a1，且a1a0，故C可能；如果函数的图象是D，那么a1a000，且a1)，则下列等式中不正确的是()A.f(xy)f(x)f(y) B.f(xy) C.f(nx)f(x)n(nQ) D.f(xy)nf(x)nf(y)n(nN*) 答案D解析f(xy)axyaxayf(x)f(y)，A对；f(xy)axyaxay，B对；f(nx)anx(ax)nf(x)n，C对；f(xy)n(axy)n，f(x)nf(y)n(ax)n(ay)n(axy)n，D错.4.设f

24、(x)则f(f(1)等于()A.1 B.2 C.4 D.8 答案B解析f(1)(1)21，f(f(1)f(1)212.5.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为()A.na(1b%) B.a(1nb%) C.a1(b%)n D.a(1b%)n 答案D解析一年后价值为aab%a(1b%)，两年后价值为a(1b%)a(1b%)b%a(1b%)2，n年后价值为a(1b%)n，故选D.6.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线ACCO，AC与BO交于点E.若指数函数yax(a0，且a1)的图象经过点E，B，则a等于()A. B. C.2 D.3 答

25、案A解析设点C(0，m)，则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以两式相除得2，所以m2，所以a.二、填空题7.函数y的定义域是_.答案(，5解析要使函数式有意义，需322x0,322x,252x，解得x5.8.函数y3x与y()x的图象关于_对称.答案y轴解析y()x3x，(x，y)与(x，y)关于y轴对称.9.已知5a0.3,0.7b0.8，则ab与0的大小关系是_.答案ab0解析由f(x)5x与g(x)0.7x的图象可知，5a0.31时，a0.所以ab0.10.给出函数f(x)则f(x)的值域为_.答案8，)解析当x3时，2x238；当x0，5x11.值域为(1，)

26、.12.已知函数f(x)ax (a0，且a1)，在区间1,2上的最大值为m，最小值为n.(1)若mn6，求实数a的值；(2)若m2n，求实数a的值.解(1)无论0a1，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，a2a6，解得a2或a3(舍)，故a的值为2.(2)当0a1时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，其最小值为f(1)a，最大值为f(2)a2.由a22a，解得a0(舍)或a2.a2.综上知，实数a的值为或2.13.已知x3,2，求f(x)1的最小值与最大值.解f(x)14x2x122x2x1(2x)2，x3,2，2x8，则当2x，即x1时，f(x)有最小值，当2x8，

27、即x3时，f(x)有最大值57.四、探究与拓展14.若函数f(x)axb1(a0，且a1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有()A.a1，且b1 B.0a1，且b0 C.0a0 D.a1，且b0，且a1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示.由图象可得即解得故D正确.15.已知函数f(x)ax1 (x0)的图象经过点，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)1(x0)的值域.解(1)因为函数f(x)ax1 (x0)的图象经过点，所以a21a.(2)由(1)得f(x)x1(x0)，函数为减函数，当x0时，函数取最大值2，故f(x)(0,2，所以函数yf(x)1x11 (x

28、0)(1,3，故函数yf(x)1 (x0)的值域为(1,3.2.1.2指数函数及其性质(二)学习目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图象在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图象上方.梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底

29、数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.(2)指数函数yax与yx(a0且a1)的图象关于y轴对称.知识点二比较幂的大小思考若x1x2，则与(a0且a1)的大小关系如何？答案当a1时，yax在R上为增函数，所以，当0a1时，yax在R上为减函数，所以.梳理一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)

30、对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.知识点三解指数方程、不等式思考若，则x1，x2的大小关系如何？答案当f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若x1，x2m，n，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).所以，当0a1时，x1x2，当a1时，x1x2.此原理可用于解指数方程、不等式.梳理简单指数不等式的解法：(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解.知识点四与指数函数复合的函数单调性 思

31、考y的定义域与y的定义域是什么关系？y的单调性与y的单调性有什么关系？答案由于yax(a0且a1)的定义域为R，故y的定义域与y的定义域相同，故研究y的单调性，只需在y的定义域内研究.若设0x1x2，则，不等号方向的改变与yx，y的单调性均有关.梳理一般地，有：形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a0，原方程可化为t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，x1或x0.类型二指数函数单调性的应用命题角度1比较大小例2比较下列各题中两个值的大小.(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数.2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方.而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.(3)1.