高一数学预科班讲义.doc

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1、高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1.集合的表示方法： 2关于集合的元素的特征：（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。3集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果是集合的元素，就说属于，记作（2）如果不是集合的元素，就说不属于，记作 （“”的开口方向，不能

2、把aA颠倒过来写）4常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合记作Z , （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , （5）实数集：全体实数的集合记作R 5两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。6. 有限集合、无限集合、空集的定义例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点练习：下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁

3、D.某公司的全体员工例题2、 （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 ； （5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。练习：下列结论中，不正确的是( )A.若aN，则-aN B.若aZ，则a2Z C.若aQ，则aQ D.若aR，则例题3：用列举法表示下列集合： 是15的正约数 例题4：用描述法表示下列集合： ； 课堂练习：1.下列说法正确的是 ()A.,是两个集合 B.中有两个元素C.是有限集 D.是空集2.将集合用列举法表示正确的是( )A. B. C. D.3.给出下列4个关系式：其中正确的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.下列元

4、素与集合的关系中正确的是( ) A. B.2xR|x C.|-3|N* D.-3.2Q5.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合； (2)集合y|y=x2-1与集合(x,y)|y=x2-1是同一个集合；(3)1,0.5这些数字组成的集合有5个元素；(4)集合(x,y)|xy0,x,yR是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.36.下列集合中表示同一集合的是( )A.M=(3,2),N=(2,3) B.M=3,2,N=(2,3) C.M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1 D.M=1,2,N=2,117.已知xN,则方程

5、的解集为( )A.x|x=-2B. x|x=1或x=-2C. x|x=1 D.8.已知集合M=mN|8-mN,则集合M中元素个数是( )A.6 B.7 C.8 D.99.方程组的解集用列举法表示为.10.已知集合则在实数范围内不能取哪些值.11.用符号“”或“”填空：0_N, _N, _N.12.用列举法表示A=y|y=x2+1,-2x2,xZ为_.13.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_.14.集合x|x3与集合t|t3是否表示同一集合？_15.已知集合P=x|2xa,xN,已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_.二、集合间的基本关系1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间

6、有什么关系吗？ （1）； （2）设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合； （3）设（4） .一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作： 读作：A包含于B(或B包含A).如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.2.真子集：如果集合，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）3. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定空集是任何集合的子集4.含有n个元素的集合A的子集个数为，真子集的个数为，非空真子集的个数为课堂练

7、习：1.用适当的符号填空：（1）a a,b,c (2)0 x|x2=0 (3) xR|x2+1=0 (4)0,1 N(5) 0 x|x2=x (6) 2,1 x|x2-3x+2=02.写出集合A=1,2,3,4的所有子集3.判断下列两个集合的关系（1）A=1,2,4 B=x|x是8的约数 （2）A=x|x=3k,kN ，B=x|x=6z,zN（3）A=x|x是4和10的公倍数，xN+，B=x|x=20m, mN+4. 已知集合A=2，8，a, B=2，a2-3a+4,又AB，求出a之值5. 已知集合A=x|-3x4B=x|2m-1xm+1,当BA时，求出m之取值范围三、集合的基本运算1并集：已

8、知集合A=1,2,3，B=2,4,6，C=1,2,3,4,5,6一般地，由所有属于集合A或属于集合A的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB（读作：A 并B），即AB=x|xA，或xB用Venn图表示： 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：AB与集合A、B有什么特殊的关系？AA , A , AB BAABA , ABB .例1.设A=4,5,6,8，B=3,5,7,8，求AB例2：设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3,求AB2. 交集：已知集合A=2,4,6,8,10，集合B=3,5,8,12，集合C=8，集合A、B、C之间有什么关系？一般地，由属于集合A且属于集

9、合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB（读作“A交B”）即AB=x|xA，且xB用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集） 常见的五种交集的情况：A BA(B)AB BAB A讨论：AB与A、B、BA的关系？AA A AB BAABA ABB 例1：设A=3,5,6,8，B=4,5,7,8，求AB，AB2例2.已知A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AB，AB3. 补集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围，一般地，如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集

10、合A相对于集合U的补集，简称为集合A的补集，记作记作：，读作：“A在U中的补集”，即用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 讨论：集合A与之间有什么关系？借助Venn图分析 练习：(1) U=2,3,4，A=4,3，B=，则= ，= ；(2) 设Ux|x8，且xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则 ；(3) 设U三角形，A锐角三角形，则 。集合及其运算巩固练习题一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确）1下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发

11、达的城市2方程组的解构成的集合是（ ）A B C（1，1） D3已知集合A=a，b，c,下列可以作为集合A的子集的是（ ）A. a B. a，c C. a，e D.a，b，c，d4下列图形中，表示的是（ ）MNDNMCMNBMNA5下列表述正确的是（ ）A. B. C. D. 6、设集合Ax|x是参加自由泳的运动员，Bx|x是参加蛙泳的运动员，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( )A.AB B.AB C.AB D.AB7.集合A=x ,B= ,C=又则有（ ）A.（a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8.集合A=1，

12、2，x，集合B=2，4，5，若=1，2，3，4，5，则x=（ ）A. 1 B. 3 C. 4 D. 59.满足条件1,2,3M1,2,3,4,5,6的集合M的个数是（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 510.全集U = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ， A= 3 ，4 ，5 ， B= 1 ，3 ，6 ，那么集合 2 ，7 ，8是（ ）A. B. C. D. 11.设集合， ( )A B C D12. 如果集合A=x|ax22x1=0中只有一个元素，则a的值是（ ）A0 B0 或1 C1 D不能确定二、填空题(把答案填在题中横线上)13用描述法表示被3除余1的集合 14用适

13、当的符号填空：（1） ； （2）1，2，3 N；（3）1 ； （4）0 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 .316.已知集合，那么集合 ， .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设全集，求 AB，AB，18.设全集，求，19. 不等式组的解集为A，U=R，试求A及20. 已知U= xN| x10, A=x|x是小于10的正奇数, B=x|x是小于11的质数,求CUA, CUB .21. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合22. 已知集合，（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围；23设全集U为R，若 ，求。24. 已知方程（1）若方程的

14、解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值4高一数学预科第2讲：函数及其表示一、函数的概念1. 函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作=，A。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数=的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合|A，叫做函数=的值域。函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。2.研究函数时常会用到区间的概念设a，b是两个实数，而且ab,我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫

15、做闭区间，表示为a,b（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）（3）满足不等式axb或aa,xb,x0时，求f(a),f(a-1)的值练习1：求下列函数的定义域（1） （2） （3）（4） （5） （6）3. 相等函数由函数的定义可以知道，一个函数的构成要素为：定义域，对应关系和值域，由于值域是由对应关系和定义域确定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应法则相同，那么我们就称这两个函数相等例题2.下列函数中哪个与y=x相等？（1） （2） （3） （4）练习：下列哪一组中的函数f(x)和g(x)相等（1）， （2） ， （3），4函数的三种表示方法： 、 、 例题3.

16、画出函数的图象例题4.某公共汽车的票价按如下规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象5我们把像例题3和例题4这样的函数称为分段函数练习1：画出下列函数的图象（1） （2）练习2：设函数，则= 练习3. 设，则的值为 5. 映射的定义一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为集合A到集合B的一个映射，在我们的生

17、活中，有很多映射的例子，例如：设集合A=x|x是某场电影票上的号码，集合B=x|x是某电影院的座位号，对应关系f:电影票的号码对应于电影院的座位号，那么f: f:A B是一个映射例题5. 以下给出的对应是不是集合A到B的映射？（1）集合 A=P|P是数轴上的点，集合B=R，对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应（2）集合 A=x|x是华兵实验中学的班级，集合B=x|x是华兵中学的学生，对应关系f:每一个班级都对应班里的学生。6. 函数解析式的求法1.待定系数法2.解方程组法3.配凑法4. 换元法例题1：已知是一次函数，且，则的解析式为 练习1：已知是二次函数，且，则= 例题2：定义在R上的

18、函数满足，若当0x1，则当-1x0时，= 练习2：已知，求的解析式练习3：已知二次函数满足，且，（1）求的解析式（2）求在区间-1,1上的值域6二、函数的基本性质1. 函数的单调性首先，我们研究一次函数f(x)=x和f(x)=x2的单调性对于二次函数f(x)=x2，我们可以这样描述：在区间（0，+）上，任取x1,x2,得到f(x1)=x12, f(x2)=x22,当x1x2时有f(x1) f(x2),这时我们就说函数f(x)=x2在（0，+）上是增函数一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时都有f(x1) f(x2)，那么我们

19、就说函数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上是减函数如果y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y= f(x)在这一区间上具有单调性，区间D叫做y= f(x)的单调区间例题1.如图是定义在-5,5上的函数y= f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数练习：根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数时增函数还是减函数例题2.证明函数在R上是减函数证明函数单调性的步骤： 练习：证明函数在（0，+）上是增函数复合函数的单调性的判

20、断：同增异减例题1：求函数的单调区间72. 函数的最值一般地，y=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有M（2）存在,使得，那么称M是函数y=的最大值例题4.已知函数，求函数的最大值和最小值3.函数的奇偶性观察下列图象，思考并讨论这两个函数图象有什么共同特征吗？ 从函数图象可以看出，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等例如：对于函数有 实际上，对于R内的任意一个x，都有，这时我们就称函数为偶函数偶函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有，那么函数就叫做偶函数例如，函数，都是偶函数练习1：已知函数是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程的所有实数

21、根的和为（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 0练习2：若函数为偶函数，则a=( )A.-2 B .-1 C.1 D.2观察下列图象，思考并讨论这两个函数图象有什么共同特征吗？我们看到两个函数的图象都关于 对称例如，对于函数有： 8奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有，那么函数就叫做奇函数例：判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4）练习：已知是奇函数，是偶函数，将下图补充完整.g(x)函数的单调性巩固练习题1.下列说法中正确的有（ ）个若x1,x2,I，当x1x2时，f(x1) 0时，0时，a恒成立，求a的取值范围函数的奇偶性巩固练习题1. 下列函数中，既

22、是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 2. 函数（ ）A.是奇函数 B. 是偶函数 C. 是非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数3.若是R上的奇函数，给出下列结论： ，其中不正确的结论有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个4.若偶函数在为增函数，则满足的实数a的取值范围是 5. 设是R上的奇函数，且当时，则 6.若=是偶函数，则从小到大的顺序是 7. 设=（a,b,cZ）是奇函数，且，求a,b,c的值8.已知是奇函数，当x0时，=（1）当x1,且nN*2.a的n次方根的表示：（1）当n时奇数时，a的n次方根表示为 ，aR（2）当n时偶数时，a的n次方根表示为

23、 ，a03. 式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 4.当n为奇数时，=a ；当n为偶数时，= 例题：求下列各式的值（1） （2） （3） （4）二、分数指数幂我们来看下面的例子，根据n次方根的定义和数的运算（a0） （a0）我们规定正数的正分数指数幂的意义是：正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义整数指数幂的性质对于有理数指数幂同样适用，即对于任意的有理数r,s，均有下面的运算性质（1） （2） （3）例题1：求值（1） （2） （3） （4）例题2：用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0）（1） （2） （3）例题3：

24、计算下列各式（式中字母都是正数）（1） （2）例题5：计算下列各式：（1） （2）练习1：用分数指数幂表示下列各式（1） （2） （3） （4）练习2：计算下列各式（1） （2） （3） （4）三、指数函数及其性质一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是Rxy-2-1.5-12-0.50.7100.511.52我们先画函数的图象xy-2 -1.50.35-1-0.50.7100.51.4111.5112.832 一般地，指数函数的图象和性质如图所示定义域： 值域： 性质：（1） （2） 例题1：比较下列各题中两个值的大小（1） （2） （3）练习1：比较下列各题中两个值的大小（1）

25、（2） （3） （4）指数函数的图象与性质练习题1. 函数的图象可能是（ ）2. 函数的图象是（ ）3. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 4. 下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 当a0,且a1时，函数=的图象一定经过点（ ）A. B. C. D. 6. 设函数，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 函数与的图象大致是（ ）8.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 9. 不等式的解集是 10. 已知函数=为奇函数，则a的值为 11. 函数在上则最大值与最小值的和为6，则a的值为 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为 13.定义运算，则函数的最大值

26、为 14. 已知函数时偶函数，当x时，则的值为 1215. 求函数的值域16.已知函数（1）求函数的定义域（2）证明：在上为减函数17. 已知函数在恒有，求a的取值范围18. 已知函数在R上满足，且当时，（1）求的值（2）判断的单调性（3）若对任意x恒成立，求实数a的取值范围四、对数的定义一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数例如：，所以4为底16的对数为2，记作通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作，另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把记为根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系

27、：当时， 负数和零没有对数 例题1：将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式（1） （2） （3） （4）练习1：将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）例题2：求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4）练习2：求下列各式的值13（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）五、对数的运算由于，设，于是：，由对数的定义得到：，这样我们就得到了对数的一个运算性质：如果,M0,N0,那么：（1）（2）（3）（n）对数的运算性质：例题1：用表示下列各式：（1） （2）练习1：用表示下列各式（1） （2） （3） （4）例

28、题2：求下列各式的值（1） （2） （3） （4）练习2：求下列各式的值（1） （2） （3） （4）思考：你能根据对数的定义推导出对数的换底公式吗？例题3：利用对数的换底公式化简下列各式（1） （2） （3）练习1：（1）利用换底公式求下式的值 （2）利用换底公式证明：对数与对数的运算巩固练习题141. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. =（ ） A. B. C. 2 D. 43. =（ ） A.7 B.10 C.6 D. 4. =（ ）A.0 B. 1 C. 2 D.45.方程的解是（ ） A. B. C. D.96. （ ）A. -3 B. -1 C.1 D.37.计算的结果为

29、（ ）A.3 B.4 C.5 D.68.下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 六、对数函数及其性质一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为下面我们来研究对数函数的图象和性质例题1：求下列函数的定义域（1） （2） （3） （4）例题2：比较下列各题中两个值的大小（1） （2） （3） （4）对数函数及其性质巩固练习题1. 函数的定义域为 2.函数的值域为 3. 函数的图象大致是（ ） 4. 函数的单调区间为 5. 已知函数的图象必经过点P，则点P的坐标为 6. 已知函数，则 7.已知集合，集合，则AB= 8. 设实数，则a,b,c从小到大的排列顺序为 9. 已知，函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）10.求函数的值域1511. 已知（1）求函数的定义域