2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）及答案.docx

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1、2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设U=R，已知集合A=x|x1，B=x|xa，且（UA）B=R，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）2（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=12i，则复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知向量=（m1，1），=（m，2），则“m=2”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若，则sin2的值为（）A

2、BCD5（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）ABCD26（5分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）ABx2y2=1CDx2y2=27（5分）我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）ABCD8（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2

3、与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）ABCD9（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）ABCD10（5分）函数y=的图象大致是（）ABCD11（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：2.24）（）ABCD12（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2

4、x2+2x3+2xn1+xn=（）AB445C455D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 14（5分）设x，y满足约束条件，且x，yZ，则z=3x+5y的最大值为 15（5分）设f（x）=，且f（f（a）=2，则满足条件的a的值有 个16（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos

5、B（acosC+ccosA）+b=0（）求角B的大小；（）若a=3，点D在AC边上且BDAC，BD=，求c18（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2（）求证：平面PBC平面PEC；（）求二面角BPED的余弦值19（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品

6、和服务都做出好评的交易为80次（）完成下面的 22列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差附：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）20（12分）给定椭圆C：+=1（ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C

7、的“准圆”已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1l2；（2）求证：线段MN的长为定值21（12分）已知函数f（x）=（t1）xex，g（x）=tx+1ex（）当t1时，讨论f（x）的单调性；（）f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求t的取值范围选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin=0（）将直线l写

8、成参数方程（t为参数，0，），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30的直线，交l于点A，求|AP|的最值选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|+|2x1|3的解集为x|mxn（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=nm，求+的最小值2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设U=R，已知集合A=x|x1，B=x|xa，且（UA）B=R，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，

9、+）D1，+）【解答】解：U=R，集合A=x|x1=1，+），B=x|xa=（a，+），UA=（，1），又（UA）B=R，实数a的取值范围是（，1）故选：A2（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=12i，则复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z1=12i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z2=12i，则=，复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限故选：D3（5分）已知向量=（m1，1），=（m，2），则“m=2”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：=（

10、m1，1），=（m，2），m（m1）2=0由m（m1）2=0，解得m=1或m=2“m=2”是“”的充分不必要条件故选：A4（5分）若，则sin2的值为（）ABCD【解答】解：若，即2（cos2sin2）=cossin，则2（cos+sin）=，即cos+sin=，1+2sincos=，即sin2=2sincos=，故选：C5（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）ABCD2【解答】解：设等比数列an的公比为q1，9S3=S6，a2=1，=，a1q=1则q=2，a1=故选：A6（5分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲

11、线的方程为（）ABx2y2=1CDx2y2=2【解答】解：根据题意，若曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，则a2=b2，c=a，即焦点的坐标为（a，0）；其渐近线方程为xy=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为=1，即x2y2=2；故选：D7（5分）我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）ABCD【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，由此得出第7次剩下，可得为i7

12、？s=i=i+1故选：D8（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）ABCD【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B9（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）ABCD【解答

13、】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路线共有：n=A=5040，不能连续向上，先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=1440种，其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p=故选：C10（5分）函数y=的图象大致是（）ABCD【解答】解：当x0时，y=xlnx，y=1+lnx，即0x时，函数y单调递减，当x，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D11（5分）抛物线M

14、：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：2.24）（）ABCD【解答】解：由题意，A（1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0，m0，m=2+，点P的横坐标为2+，|PF|=m+1=1+，圆F的方程为（x1）2+y2=（1）2，令x=0，可得y=，|EF|=2=2=，故选：D12（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn

15、=（）AB445C455D【解答】解：函数，令2x=+k得x=+，kZ，即f（x）的对称轴方程为x=+，kZf（x）的最小正周期为T=，0x，当k=30时，可得x=，f（x）在0，上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，即x1+x2=2，x2+x3=2，xn1+xn=2（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+2x28+x29=2（+）=（2+5+8+89）=455则x1+2x2+2x3+2xn1+xn=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+xn1+（xn1+xn）=2（）=455，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

16、20分13（5分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于240【解答】解：因为（xy）10的展开式中含x7y3的项为C103x103y3（1）3=C103x7y3，含x3y7的项为C107x107y7（1）7=C107x3y7由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为240故答案为24014（5分）设x，y满足约束条件，且x，yZ，则z=3x+5y的最大值为13【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，x，yZ，平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13故答案为：1315（5分）设f（x）=，且f（

17、f（a）=2，则满足条件的a的值有4个【解答】解：f（x）=，且f（f（a）=2当a2时，f（a）=2ea1，若2ea12，则f（f（a）=1=2，解得a=1ln2；若2ea12，则f（f（a）=2，解得a=ln+1，成立；当a2时，f（a）=log3（a21），若log3（a21）2，则f（f（a）=1=2，解得a=2，或a=2，与a2不符，若log3（a21）2，则f（f（a）=log3（log3（a21）=2，解得a2=310+1，a=或a=与a2不符由此得到满足条件的a的值有1ln2和ln+1和2和，共4个故答案为：416（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个

18、小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为【解答】解：在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0（）求角B的大小；（）若a=3，点D在AC边上且BDAC，BD=，求c【解答】解：（）

19、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，整理得：2cosBsin（A+C）=sinB，由于：0B，则：sinB0，解得：，所以：B=（）点D在AC边上且BDAC，在直角BCD中，若a=3，BD=，解得：，解得：，则：，所以：cosABD=，则：在RtABD中，=故：c=518（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2（）求证：平面PBC平面PEC；（）求二面角BPED的余弦值【解

20、答】（）证明：AD=2AB，E为线段AD的中点，AB=AE，取BE中点O，连接PO，则POBE，又平面PEB平面BCDE，平面PEB平面BCDE=BE，PO平面BCDE，则POEC，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，BEEC，则EC平面PBE，ECPB，又PBPE，且PEEC=E，PB平面PEC，而PB平面PBC，平面PBC平面PEC；（）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，PB=PE=2，则B（，0，0），E（，0，0），P（0，0，），D（2，0），=（，）设平面PED的一个法向量为，由，令z=1，则，又平面PBE的一

21、个法向量为，则cos=二面角BPED的余弦值为19（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（）完成下面的 22列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随

22、机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差附：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K2=11.1116.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关（）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3其中P（X=0）=（）3

23、=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）XB（3，），E（X）=，D（X）=3=20（12分）给定椭圆C：+=1（ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1l2；（2）求证：线段MN的长为定值【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e=，解得：a=，b=

24、1，椭圆的标准方程：；（）证明：（1）准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0直线y=kx+2与椭圆相切，=144k249（1+3k2）=0，解得k=1，l1，l2方程为y=x+2，y=x+2=1，=1，=1，则l1l2（2）当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，1），此时l2为y=1（或y=1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，

25、y0），其中x02+y02=4设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（xx0）+y0，由得 （1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）23=0由=0化简整理得 （3x02）t2+2x0y0t+1y02=0，x02+y02=4，有（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0设l1，l2的斜率分别为t1，t2，l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0，t1t2=1，即l1，l2垂直综合知：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，线段

26、MN的长为定值21（12分）已知函数f（x）=（t1）xex，g（x）=tx+1ex（）当t1时，讨论f（x）的单调性；（）f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求t的取值范围【解答】解：（）由f（x）=（t1）xex，得f（x）=（t1）（x+1）ex，若t1，则x1时，f（x）0，f（x）递减，x1时，f（x）0，f（x）递增，若t1，则x1时，f（x）0，f（x）递增，x1时，f（x）0，f（x）递减，故t1时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，t1时，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减；（2）f（x）g（x）在0，+）上恒成立，即（t1）xextx1+ex0对x0成立，设h

27、（x）=（t1）xextx1+ex，h（0）=0，h（x）=（t1）（x+1）ext+ex，h（0）=0，h（x）=ex（t1）x+2t1，t=1时，h（x）=ex0，h（x）在0，+）递增，h（x）h（0）=0，故h（x）在0，+）递增，故h（x）h（0）=0，显然不成立，t1，则h（x）=ex（x+）（t1），令h（x）=0，则x=，当0即t或t1时，若t，则h（x）在0，+）为负，h（x）递减，故有h（x）h（0）=0，h（x）在0，+）递减，h（x）h（0）=0成立，若t1，则h（x）在0，+）上为正，h（x）递增，故有h（x）h（0）=0，故h（x）在0，+）递增，故h（x）h（0）

28、=0，不成立，0即t1时，h（x）在0，）内有h（x）h（0）=0，h（x）递增，故h（x）在0，）内有h（x）h（0）=0不成立，综上，t的范围是（，选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin=0（）将直线l写成参数方程（t为参数，0，），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30的直线，交l于点A，求|AP|的最值【解答】解：（）直线l：3xy6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：4sin=0转化为直角坐标方程为：x2+y24y=0（）首先把x2+y24y=0的方程转化为：x2+（y2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|+|2x1|3的解集为x|mxn（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=nm，求+的最小值【解答】解：（）|x+1|+|2x1|3，或或，解得：1x1，故m=1，n=1；（）由（）a+b+c=2，则+=（+）（a+b+c）=1+1+1+（+）+（+）+（+）+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立第30页（共30页）