空间几何体的表面积与体积课件ppt.ppt

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1、石河子二中2019届数学备课组 几何体的结构特征大致有以下几类：几何体的结构特征大致有以下几类：问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？水立方的长，宽，高分别为177m 177m30m试求它的表面积(1)矩形面积公式：矩形面积公式： _。(2)三角形面积公式：三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：正三角形面积公式：_。(3)圆面积面积公式：圆面积面积公式：_。(4)圆周长公式：圆周长公式： _。(5)扇形面积公式：扇形面积公式： _。(6)梯形面积公式：梯形面积公式： _。(7)扇环面积公式：扇环面积公式： _。Sab12Sah234Sa2Sr2Cr12Srl1()2Sab h1()()

2、2Sllrr棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形是由平行四边形组成的平面图形.棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形是由三角形组成的平面图形.棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。是由梯形组成的平面图形。这样，这样， 我们可以把多面体展成平面图形，利用我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D分析：四面体的展开图是由四个分析：四面体的展开

3、图是由四个全等的正三角形组成。全等的正三角形组成。因为因为SB=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD BCASa23a 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积：的表面积：例例2.下图是一个几何体的三视图下图是一个几何体的三视图(单位单位:cm)想想象对应的几何体象对应的几何体，并求出它的表面积，并求出它的表面积66101081012解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形4SS侧梯形SSS侧表底2566610102392()cm2(6 10

4、) 84256()2cm 圆柱的侧面展开图是一个圆柱的侧面展开图是一个矩形矩形：如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆柱，那么圆柱的底面积为的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。因此圆柱的。因此圆柱的表面积为表面积为rl2rrl2)(2222lrrrlrSOO侧底表面SSSr2rl圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面展开图是一个扇形扇形：)(2lrrrlrSO Sr2 如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么，那么它的表面积为它的表面积为rll扇底表面SSS圆台的侧面展开图是一个圆台的侧面展开图是一个扇环扇环，它的表面积等于，它的表面积等于上、

5、下两个底面和加上侧面的面积，即上、下两个底面和加上侧面的面积，即)(22 rllrrrSOOr2r2rr扇环下底上底表面SSSS_SS 圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱表表_SS 圆圆锥锥侧侧圆圆锥锥表表1.看图回答问题看图回答问题_SS圆圆台台侧侧圆圆台台表表2463116 做一做做一做 3.以直角边长为以直角边长为1的等腰直角的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为所得旋转体的表面积为_._ .1m224 2.一个圆柱形锅炉的底面半径为一个圆柱形锅炉的底面半径为 ,侧面展侧面展开图为正方形，则它的表面积开图为正方形，则它的表面积为为212m21 4.已知圆锥的

6、表面积为已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开，且它的侧面展开图是一个半圆，这个圆锥的底面直径图是一个半圆，这个圆锥的底面直径_.2 a m23 3am15cm10cm7.5cm例例2 如下图如下图,一个圆台形花盆盆口直径为一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆盆底直径为底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁盆壁长长15cm.为了美化花盆的外观为了美化花盆的外观,需要涂油漆需要涂油漆.已知每已知每平方米用平方米用100毫升油漆毫升油漆,涂涂100个这样的花盆需要多个这样的花盆需要多少油漆少油漆( 取取3.14,结果精确到结果精确到1毫升毫升)分析分析 (1)(1)花

7、盆外壁的面积花盆外壁的面积= =花盆的侧花盆的侧 面积面积+ +底面积底面积- -底面圆孔面积底面圆孔面积23解解:如图如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积表面积2225 . 11522015215215s221 .01000mcm涂涂100个花盆需油漆个花盆需油漆:10001001001 . 0(毫升)答答:涂涂100个这样的花盆约需要个这样的花盆约需要1000毫升油漆毫升油漆.15cm10cm7.5cm1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（

8、 ）A . B . C . D . 441 21241A2212 . 若一个棱台的上若一个棱台的上、下底分别是边长为下底分别是边长为1cm和和3cm的正方形的正方形,侧棱长为侧棱长为2cm,则棱台的则棱台的侧面积为侧面积为( )A.B.C.D.264cm268cm234 cm238cmD3. 一个直角三角形的直角边分别为一个直角三角形的直角边分别为12与与5,以较长的直角边为轴以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧旋转而成的圆锥的侧面积为面积为( )A.60B.78C.65D.156C7 . 已知圆锥表面积为已知圆锥表面积为 ,且侧面展开图形为且侧面展开图形为扇形扇形,扇形的圆心角为扇形的圆心

9、角为 ,则圆锥底面半径为则圆锥底面半径为_.59015 . 已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开且它的侧面展开图是一个半圆图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径求这个圆锥的底面半径_2am4 .五棱台的上、下底面均是正五边形五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分边长分别是别是8cm和和18cm,侧面是全等的等腰梯形侧面是全等的等腰梯形,侧侧棱长是棱长是13cm,求它的侧面面积求它的侧面面积_.6 . 已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么倍，那么这个圆锥的侧面积展开图这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为扇形的圆心角为_度度180780a332练习v5.

10、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为_。该图形的弧长为_cm，半径为_cm，所以圆锥的侧面积为_cm2。扇形634扇形面积公式rlS21石河子二中2019届数学备课组熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：2314423SRVR、1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍332(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来则半径变为原来 的

11、的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来 的的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比，则其体积之比 是是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比，则其表面积之比 是是。练习一：练习一：2422:134:1例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的

12、密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例题讲解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例题讲解例题讲解( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有

13、盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解例例1.1.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1

14、B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体

15、的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系OABCO 例例2：已知过球面上三点：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题讲解例题讲解.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例例2.已知

16、过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积1.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.练习一练习一课堂练习课堂练习33:22:14.4.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.2.2.长方体的共顶点的三个侧面积分

17、别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,33.3.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二课堂练习课堂练习 94 3312球的体积、表面积公式的推导球的体积、表面积公式的推导直棱柱直棱柱 ：侧棱和底面垂直的棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱chS直棱柱侧1332214侧面展开斜高斜高h21chS正棱锥侧正棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的

18、中心，则称这样的棱锥为的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。正棱锥。侧面展开)(21hccS正棱台侧cc正棱台正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做面之间的部分叫做正棱台正棱台球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：推导方法推导方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和复习回顾复习回顾第一

19、步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格， 表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：设设“小锥体小锥体”的体积为：的体积为：iViVnVVVVV.321iSO O2 2、球的表面积、球的表面积O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSR

20、SVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的体积球的体积: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。1.一种方法一种方法: “分割分割,求和求和,取极限取极限”的数学方法的数学方法.2.一个观点一个观点:在一定条件下在一定条件下,化曲为直的辨证观化曲为直的辨证观点点.3.二个公式二个公式柱体、锥体、台体的表面柱体、锥体、台体的表面积积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2l

21、rrS)(lrrS圆锥圆锥一、基本知识二、思想方法由特殊到一般由特殊到一般类比、归纳、猜想类比、归纳、猜想转化的思想转化的思想 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法3.球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的矩形的矩形和和RR .2R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等当所分份数不断增加时，精确程度就越来

22、越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法导出球的体积公式法导出球的体积公式下面我们就运用上述方下面我们就运用上述方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球

23、的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半径：半径：层“小圆片”下底面的层“小圆片”下底面的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积nininRnRrVii,2, 1,)1(1232 niinRRri,2, 1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是球的体积球的体积