高等代数第八章-课堂练习题ppt课件.ppt

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1、第八章第八章课堂练习题课堂练习题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一一. . 单项选择题单项选择题 1 1. n级级- -矩阵矩阵A()可逆可逆的充分必要条件是的充分必要条件是 ( )( ).C(A)(A) A()0 ; ;(B) (B) |A()|0 ; ;(C) (C) |A()|是一个非零常数是一个非零常数; ;(D) (D) 秩秩(A()=n .上页上页下页下页返回返回2. 矩阵矩阵A与与B相似相似的的充分必要条件充分必要条件是是A与与B的的( )( ).(A)(A) 特征多项式相同特征多项式相同; ;D(B)(B) 最小多项式相同最小多项式相同; ;(C)(C) 特征值

2、相同特征值相同; ;(D) (D) 特征特征矩阵等价矩阵等价.上页上页下页下页返回返回B3. 矩阵矩阵A有一个有一个不变因子不变因子为为2+2，则下列结论，则下列结论正确的是正确的是 ( )( ).(A) (A) A相似于对角矩阵相似于对角矩阵; ;(B) (B) A是奇异矩阵是奇异矩阵; ;(C) (C) A的初等因子都是的初等因子都是的幂或的幂或+2的幂的幂; ;(D) (D) A是非奇异矩阵是非奇异矩阵.( (因为因为=0为为A的一个特征值的一个特征值.)上页上页下页下页返回返回C4. 设矩阵设矩阵A的的特征多项式特征多项式为为(+1)(- -1)3，最小多项式最小多项式为为(+1)(-

3、 -1)2，则矩阵，则矩阵A的的初等因子组初等因子组为为( )( ). (A) (A) (+1)，(- -1)3；(B) (B) (+1)，(- -1)2 ；(C) (C) (- -1)2，(- -1)，(+1) ；(D) (D) (+1)，(- -1)，(- -1)，(- -1).( (由条件得由条件得 d4()=(+1)(- -1)2, d3()=- -1,d2()=d1() =1.)上页上页下页下页返回返回B5. 对下列任意对下列任意n级矩阵级矩阵A相似相似的一定是的一定是 ( )( ).(A) (A) 可逆可逆矩阵矩阵A和它的逆矩阵和它的逆矩阵A- -1；(B) (B) 矩阵矩阵A和它

4、的转置矩阵和它的转置矩阵AT；(C) (C) 矩阵矩阵A和它的伴随矩阵和它的伴随矩阵A*；(D) (D) 矩阵矩阵A和和PAQ，其中，其中P, Q是初等矩阵是初等矩阵.( (因为因为E- -A与与E- -AT等价等价)上页上页下页下页返回返回二二. . 填空题填空题1 1. 已知矩阵已知矩阵A的的初等因子组为初等因子组为, 2, 3, - -2, (- -2)2, (+2)2，则，则A的不变因子组为的不变因子组为 .则则A的的初等因子组为初等因子组为 . - -1, (- -1)(+1) , (- -1)2(+1)2 .2 2. 已知矩阵已知矩阵A的非常数的非常数不变因子为不变因子为d11()

5、=(+2)2(- -2)23, .d10()=(- -2)2 , d9()=, d8()=d1()=1- -1, - -1, +1, (- -1)2, (+1)2 上页上页下页下页返回返回3 3. 已知矩阵已知矩阵A的的初等因子组为初等因子组为, 2, (- -1)2, (- -1)3，则则A的的Jordan标准形为标准形为 . 1100000001100000001000000001100000001000000000100000000000000000上页上页下页下页返回返回4 4. 设设A是是n级矩阵，级矩阵，k为整数为整数(1kn )，使得，使得Ak=0， Ak- -10，则，则A的的

6、最后一个最后一个不变因子不变因子是是 .5 5. 若若A是是n级非零矩阵，且级非零矩阵，且A2=0，则，则A的的Jordan标准标准形中形中Jordan块的块的最大级数最大级数是是 .2 2k( (因为因为A的最后一个的最后一个不变因子为不变因子为A的最小多项式的最小多项式k.)( (因为因为A2=0，A0，所以所以A的最小多项式为的最小多项式为2，从从而而A的最后一个的最后一个不变因子为不变因子为2，故故A的初等因子为的初等因子为k，(1k2).)上页上页下页下页返回返回三三. .设矩阵设矩阵A的的特征多项式特征多项式为为f()=(- -2)3(- -3)2，试，试写出的写出的A的所有可能的

7、的所有可能的Jordan标准形标准形.解解 因为矩阵因为矩阵A的的特征值特征值为为2, 2, 2, 3, 3，所以，所以A的所的所有可能的有可能的Jordan标准形为标准形为 30000030000020000020000021J 30000030000021000020000022J上页上页下页下页返回返回 30000030000021000021000023J 31000030000020000020000024J 31000030000021000021000026J 31000030000021000020000025J上页上页下页下页返回返回四四. .设设A是是n级矩阵，级矩阵，1是

8、是A的的特征值，且特征值，且A只有一个线只有一个线性无关的性无关的特征向量特征向量，求，求A的的Jordan标准形标准形J.解解 由题意由题意1是是A的的特征值，知特征值，知A的的特征多项式为特征多项式为 f () =|E- -A|=(-1-1)n ，又又A只有一个线性无关的只有一个线性无关的特征向量特征向量, ,则则秩秩R(E- -A)=n-1-1，因此因此A的的Jordan标准形标准形J中只有一个中只有一个Jordan块，否块，否则则秩秩 R(E- -J)n-1-1，于是得，于是得 110011001J上页上页下页下页返回返回五五. .设设A是是n维维线性空间线性空间V的一个的一个线性变换

9、线性变换，且，且A在基在基下下1,2, ,n的矩阵是一个的矩阵是一个Jordan块，块，证明证明；子空间；子空间 Vi=L(i,i+1, ,n) i=1,2, ,n是是A- -子空间子空间, ,且任一且任一A- -子空间子空间必是某一必是某一Vi(1in).证明证明 由题意设由题意设A(1,2, ,n)=(1,2,n)J，其中，其中 10000001000J上页上页下页下页返回返回知道知道 Ai=i+i+1 ， i=1,2, ,n-1-1 An=n . 因此因此 AjVi=L(i,i+1, ,n), ( j=i,i+1, ,n)故故Vi是是A- -子空间子空间. 设设W是任一是任一A- -子空间子空间，依顺序看，依顺序看1,2, ,n ， 设第一个属于设第一个属于W的是的是i( (即即1,2, ,i- -1不属于不属于W) ).由此知由此知 WVi.又由又由 i+1=Ai- -iW，n=Ai- -1- -n- -1W.知知 ViW. 故得故得W=Vi 证毕证毕.上页上页下页下页返回返回六六. .求求n级矩阵级矩阵A的的Jordan标准形标准形.解解 通过计算，易知通过计算，易知A的的最小多项式最小多项式为为 dn()= (- -n)n ，所以所以A的的Jordan标准形为标准形为 nnnnnnnA000300210121 nnnnA1000001000010000