关于几个微分中值定理及其应用数学毕业论文.doc

《关于几个微分中值定理及其应用数学毕业论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于几个微分中值定理及其应用数学毕业论文.doc（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 2014届本科毕业论文（设计）题目：关于几个微分中值定理及其应用学 院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务处新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）目 录引言11.预备知识12.微分中值定理12.1 罗尔（ROlle）中值定理12.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理22.3 柯西（Cauchy）中值定理33.微分中值定理的几何解释43.1 罗尔中值定理的几何解释43.2 拉格朗日中值定理的几何解释53.3 柯西中值定理的几何解释54.微分中值定理的应用54.1某些等式方面的应用54.2证明某些不等式方面的

2、应用74.3判断可导函数在给定的区间内根的存在性和根的个数84.4证明定理方面的应用.94.5推出可导函数的某些整体性质10总结11参考文献12致谢131关于几个微分中值定理及其应用摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心。本论文首先论述了微分学基本定理“罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，”和证明。通过讨论微分中值定理和特殊的解法，解决一些复杂的问题。其次，讨论判断在给定区间内根的存在性和根的个数，证明等式和不等式，推出可导函数的某些性质，证明定理等各种数学问题上的应用。关键词：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；极限；导数函数2引言 导数是研究

3、函数形态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础上。微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁是应用导数的局部性质研究函数整体性质的重要数学工具。关于微分中值定理及其应用。1.预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理1.1（最大、最小值定理） 若函数在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值. 1-76页定理1.2（费马定理） 设函数在点的某领域内有定义,且在点可导.若点为的极值点,则必有. 1-93页 定理1.3(有界性定理) 若函数在闭区间上连续,则在上有界.即$常数,使得有. 1-7

4、6页定理1.4（介值性定理） 设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任意实数(或),则至少存在一点,使得. 1- 76页定理1.5（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续,且与异号（即）.则至少存在一点使,即方程在开区间内至少有一个根. 1-76页定理1.6（一致连续性定理） 若函数在闭区间上连续,则在闭区间上一致连续. 1-80页2.微分中值定理微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位。微分学的基本中值定理是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2.1 罗尔（ROlle）中值定理 若函数满足下列条件：（1）在闭区间连续。（2）在开区间可导。（3）， 则在内至少存在一

5、点，使得。证明：由条件（1）和（最值性）， 若函数在闭区间连续，则函数在闭区间能取到最小值m与最大值M,即， 使得，且有。下面分两种情况讨论。1）若， 则在闭区间是常数函数， 于是， 有， 即结论成立。2）若， 由条件（3）， 函数在闭区间两个端点与的函数值，不可能同时一个是最大值一个是最小值， 因此函数在开区间内至少存在一个极值点，根据费尔马定理， 有。 2.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数满足下列条件；（1） 在闭区间连续。（2） 在开区间可导， 则在开区间内至少存在一点， 使 或 。 几何意义：如图。在中， 其中是割线与轴的夹角，即是通过曲线上的两点与 的割线斜率；拉格朗日

6、定理的几何意义是：若闭区间上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点， 过点的切线与割线 平行。证明：设 则在闭区间上连续，在开区间上可导，由行列式的性质，有从而由定理2（罗尔定理），至少存在一点， 使。而 故 从而 。2.3 柯西（Cauchy）中值定理 若函数与满足下列条件(i)在闭区间上都连续；(ii)在开区间内都可导；(iii)和不同时为零；（iv），则存在,使得 , 证明：设, 则,根据罗尔定理在内至少存在一点, 使, 与已知条件矛盾，即。作辅助函数： ；因为在闭区间上连续，在开区间内可微， 且， 由罗尔定理， 使，则有即，其中即得， 。3.微分中值定理的几何解释

7、3.1 罗尔中值定理的几何解释 yABPB在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图5-1）. yAy=f(x)y=F(x)+f(a)f(b)-f(a)b-aaa y= xabxaOO图5-2xb图5-13.2 拉格朗日中值定理的几何解释在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连续（图5-2）.3.3 柯西中值定理的几何解释C(g( ),f( )y在曲线(其中为参数,)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点的弦（图5-3）.B(g(b),f(b)a aA(g( ),f( )xO图 5-3综上所述,这三个中值定理

8、归纳起来,用几何解释为: 在区间上连续且除端点外每一点都存在不垂直于轴的切线的曲线,它们有个共同的特征在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.4.微分中值定理的应用4.1某些等式方面的应用证明有的复杂等式时，利用微分中值定理来证明等式比其他方法比较方便，且容易。 例1 函数和在上连续，在内可微，证明： 使 证明：令 则在上连续，在内可微，且有，于是由罗尔中值定理， ， 使即 例2. 设在上连续，在内可导， 且， 证明：在内至少有一点， 使证明： 设， 则，则引入辅助函数， 则， 由零点定理：， 且， 使综上所述知：在上满足罗尔定理的条件，故 ， 使。 因为 ，4.2证明某些不等

9、式方面的应用 在数学问题中证明不等式方法很多，有的不等式来说利用微分中值定理来证明比较容易。例 3. 证明时,.证明 设,则在上满足中值定理又因为所以所以即例4 证明： 若 ， 时证明：将不等式变形为 ， 则考虑函数， 因为 所以在上可导 即在上满足拉格朗日定理条件， 则至少存在一点， 使即 ， 由及，得， 则所以 证完。4.3判断可导函数在给定的区间内根的存在性和根的个数 判断给定区间内方程根的存在或不存在和根的个数，尤其是复杂的方程来比较难，这是利用微分中值定理来解决问题比较容易。例5： 设，证明， 方程不存在正根.证明：（用反证法）假设方程有一个正根.又因在上连续，在内可导 .由拉格朗日

10、中值定理知，在内至少存在一点，使得因此有，即，这是矛盾。故方程不存在正根。例6不用求出函数的导数说明方程有几个实根。解：由于在内处处连续，且可导则因此，在区间上满足罗尔定理的条件，于是在区间内分别存在点，使其中。因为是三次多项式，所以是的仅有三个实根4.4证明定理方面的应用.有时候证明一些重要定理时利用微分中值定理比较方便。例7导数极限定理。设在点的某领域上连续爱去心领域内可导，若极限存在则点必定可导且证明：本定理的证明需要通过分别证明；和来完成设由在上连续在内可导根据拉格朗日中值定理：使得由于当时， 也有，因此，对上式取右极限获得到同理：可证等式因为存在所以于是得即在点可导； 即 成立。4.

11、5推出可导函数的某些整体性质如单调性，有界性，一致连续性，以致某些导数的极限性质。可导函数的性质比较多例8 设函数在区间内连续可导，并且；证明：在内一致连续，证明：根据函数极限的局部有界性，存在 ， 使得 ，于是对任何 ，由柯西中值定理存在 ，或 即 （1）由于 （2）因此任何给取则当且时由（1），（2）式有：于是 在内一致连续，由于在内连续因此在上一致连续，故在内一致连续 。总结微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的的几何意义和证明过程，同时灵活运用微分学基本定理的优越性解决各种数学问题，尤其是应用在解决较难的数学问题中。指出了微分中值定理具有深刻的意义和运用性。参考文献:1华东师范大学数学系编.数学分析（上册）第三版 ， 2009：76-932刘玉琏。数学分析讲义（上册）M。北京：科学出版社， 2004： 62-633毛羽辉。数学分析选论（第一版）M。北京：科学出版社，2004：25-24孙清华，数学分析内容方法与技巧（上册）M 华中科技大学出2001:177-207 5党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.廊坊师范学院学报，2010.6吴良森，毛羽辉。数学分析学习指导书（上册）M.北京：高等教育出版社，2004：140-150。 12