高考数列常考题型归纳总结汇总.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考数列常考题型归纳总结汇总高考数列常考题型归纳总结汇总高考数列常考题型归纳总结类型1 a n +1=a n +f (n 解法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ，利用累加法(逐差相加法 求解。 例:已知数列a n 满足a 1=解：由条件知：a n +1-a n =12，a n +1=a n +1=11n +n2，求a n 。 -1n +1n +n2

2、n (n +1=1n分别令n =1, 2, 3, , (n -1 ，代入上式得(n -1 个等式累加之，即(a 2-a 1 +(a 3-a 2 +(a 4-a 3 +(a n -a n -1 =(1-12 +(12-13 +(1n13-14+(1n -1-1n 所以a n -a 1=1-a 1=1212+1-1n =32-1n，a n =类型2 a n +1=f (n a n 解法：把原递推公式转化为23a n +1a n=f (n ，利用累乘法(逐商相乘法 求解。n n +1例:已知数列a n 满足a 1=解：由条件知之，即a 2a 1a 3a 2a 4a 323，a n +1=a n ，求

3、a n 。a n +1a n=n n +1，分别令n =1, 2, 3, , (n -1 ，代入上式得(n -1 个等式累乘a n a n -123n=122334n -1na n a 1=1n又 a 1=，a n =例:已知a 1=3，a n +1=解：a n =3(n -1 -13(n -1 +23n -43n -13n -13n +2a n (n 1 ，求a n 。3(n -2 -13(n -2 +27 432-132+263-13+2a 1=3n -3n -523=85n -3。1变式:（2004，全国I, 理15）已知数列a n ，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3

4、+(n -1 a n -1(n 2 ，则a n 的通项a n =1_n =1n 2解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+(n -1 a n -1+na n ，用此式减去已知式，得 当n 2时，a n +1-a n =na n ，即a n +1=(n +1 a n ，又a 2=a 1=1，a 1=1,a 2a 1=1,a 3a 2=3,a 4a 3=4, ,a n a n -1=n ，将以上n 个式子相乘，得a n =n ! 2(n 2类型3 a n +1=pa n +q （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1 0 ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n +

5、1-t =p (a n -t ，其中t =换元法转化为等比数列求解。例:已知数列a n 中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .解：设递推公式a n +1=2a n +3可以转化为a n +1-t =2(a n -t 即a n +1=2a n -t t =-3. 故递推公式为a n +1+3=2(a n +3 , 令b n =a n +3，则b 1=a 1+3=4, 且b n +1b n=a n +1+3a n +3=2.q 1-p，再利用n -1n +1=2所以b n 是以b 1=4为首项，2为公比的等比数列，则b n =42, 所以a n =2n +1-3.变式:（200

6、6，重庆, 文,14）在数列a n 中，若a 1=1, a n +1=2a n +3(n 1 ，则该数列的通项a n =_（key:a n =2n +1-3）变式:（2006. 福建. 理22. 本小题满分14分） 已知数列a n 满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n N *. （I ）求数列a n 的通项公式； （II ）若数列b n 滿足4b -14b12-14b n -1=(a n +1 n (n N , 证明：数列b n 是等差数列；b *（）证明：n 12-13a a +a 2n N *.2a +. +a n 3a n +12(n （I ）解： a n +1=2a n

7、+1(n N *, a n +1+1=2(a n +1,a n +1是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列 a nn +1=2.即 a n *n =2-1(n N .（II ）证法一： 4k 1-14k 2-1.4k n -1=(a n +1 kn .4(k 1+k 2+. +k n -n=2nk n.2(b 1+b 2+. +b n -n =nb n , 2(b 1+b 2+. +b n +b n +1 -(n +1=(n +1 b n +1. ，得2(b n +1-1 =(n +1 b n +1-nb n , 即(n -1 b n +1-nb n +2=0,nb n +2-(n +1

8、 b n +1+2=0.，得 nb n +2-2nb n +1+nb n =0, 即 b n +2-2b n +1+b n =0,b n +2-b n +1=b n +1-b n (n N *,b n 是等差数列证法二：同证法一，得 (n -1 b n +1-nb n +2=0 令n =1, 得b 1=2.设b 2=2+d (d R , 下面用数学归纳法证明 b n =2+(n -1 d . （1）当n =1, 2时，等式成立（2）假设当n =k (k 2 时，b k =2+(k -1 d , 那么b k +1=k k -1b k -2=k2+(k -1 d -2k -1k -1k -1这就是

9、说，当n =k +1=2+(k +1 -1d .根据（1）和（2），可知b n =2+(n -1 d 对任何n N *b n +1-b n =d , b n （III ）证明：a k a k +1=2-12k +1k-1=2-12(2-kk1212, k =1, 2,., n ,a 1a 2a k+a 2a 3=+. +a n a n +1=12-, 322223223n 2-13a 1a 2+a 2a 3+. +a n a n +1(n N .*变式:递推式：a n +1=pa n +f (n 。解法：只需构造数列b n ，消去f (n 带来的差异n类型4 a n +1=pa n +q （其

10、中p ，q 均为常数，(pq (p -1(q -1 0 ）。 （或a n +1=pa n +rq , 其中p ，q, r 均为常数） 。n解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：a n +1qn +1=p qa n qn+1q引入辅助数列b n （其中b n=a n qn），得：b n +1=p qb n +1q再待定系数法解决。例:已知数列a n 中，a 1=解：在a n +1=156, a n +1=11n +1a n +( ，求a n 。 321n +12n n +1a n +( 两边乘以2n +1得：2a n +1=(2a n +1 32322令b n =2n a n

11、 ，则b n +1=b n +1, 解之得：b n =3-2( n33所以a n =b n 2n 1n 1n=3( -2(23变式:（2006，全国I, 理22, 本小题满分12分） 设数列a n 的前n 项的和S n =43a n -132n +1+23，n =1, 2, 3,（）求首项a 1与通项a n ；（）设T n =2nnS n 23，n =1, 2, 3, ，证明：T i i =132解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=当n 243a 1-43+43a 1=2；13n +1时n，a n =S n -S n -1=na n -2+23-(43a n -1-132+n23，即a

12、n =4a n -1+2，利用a n +1=pa n +q （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1(q -1 0 ）。n n n（或a n +1=pa n +rq , 其中p ，q, r 均为常数）的方法，解之得：a n =4-24121n n n n n+1n+1n+1( 将a n =4-2代入得 S n = (42 2 + = (21(2233332= (2n+11(2n 132n 32n 311 T n = = = ( S n 2 (21(21 221213n 113113所以, T i = ( = ( 0 ， a n a n 1=5 (n 2当a 1=3时，a 3=13，a 15

13、 a 1， a 3，a 15不成等比数列a 13;2当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， a 1=2， a n =5n 变式: (2005,江西, 文,22本小题满分14分）已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n S n 2=3(-的通项公式.解： S n -S n -2=a n +a n -1，a n +a n -1=3(-(-1 a n -a n -1(-1n12n -1(n 3, 且S 1=1, S 2=-32, 求数列a n 12n -1(n 3 ，两边同乘以(-1 ，可得nnn -1=3(-1 (-12n -11n -1=-3(

14、2令b n =(-1 n a n1n -1b n -b n -1=-3( (n 321n -2b n -1-b n -2=-3( 2 12b 3-b 2=-3(211n -11n -212+( +( =b 2-3b n =b 2-3( 22231n -1+3( (n 3 2232-1=-5252-11n -2(11-2=b 2-又 a 1=S 1=1，a 2=S 2-S 1=-12，b 1=(-1 a 1=-1，b 2=(-1 a 2=-b n =-52-31n -11n -1+3( =-4+3( (n 1 。 2221n -1n n na n =(-1 b n =-4(-1 +3(-1 (2

15、1n -14-3( , n 为奇数, 2=1-4+3( n -1, n 为偶数.2类型7 a n +1=pa n +an +b (p 1、0，a0解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n +1+x (n +1 +y =p (a n +xn +y ，与已知递推式比较，解出x , y , 从而转化为a n+xn +y 是公比为p 的等比数列。例:设数列a n ：a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n 2 ，求a n .解：设b n =a n +An +B ，则a n =b n -An -B ，将a n , a n -1代入递推式，得b n -An -B =3b

16、n -1-A (n -1 -B +2n -1=3b n -1-(3A -2 n -(3B -3A +1A =1A =3A -2B =1B =3B -3A +1n -1n取b n =a n +n +1（）则b n =3b n -1, 又b 1=6，故b n =63n代入（）得a n =23-n -1=232说明：（1）若f (n 为n 的二次式，则可设b n =a n +An +Bn +C ;(2本题也可由a n =3a n -1+2n -1 , a n -1=3a n -2+2(n -1 -1（n 3）两式相减得a n -a n -1=3(a n -1-a n -2 +2转化为b n +2=p

17、b n +1+qb n 求之.变式:（2006，山东, 文,22, 本小题满分14分） 已知数列a n 中，a 1=12、点（n 、2a n +1-a n ）在直线y=x上，其中n=1,2,3( 令b n =a n -1-a n -3, 求证数列( 求数列a n 的通项； ( 设S n 、T n 分别为数列b n 是等比数列；a n 、b n 的前n 项和, 是否存在实数，使得数列S n +T n n 为等差数列？若存在，试求出 若不存在, 则说明理由解：（I ）由已知得 a 1=a 2=34, a 2-a 1-1=3412-, 2a n +1=a n +n , 12-1=-34,又b n =

18、a n +1-a n -1,b n +1=a n +2-a n +1-1,a n +1+(n +1b n +1b n=a n +1-a n -1a n +2-a n +1-134=12a n +1-a n -1-a n +n=a n +1-a n -1a n +11=.-a n -12b n 是以-为首项，以3为公比的等比数列（II ）由（I ）知，b n =-a n +1-a n -1=-a 2-a 1-1=-a 3-a 2-1=-323232123221n -131( =-n , 4222,1212n, ,a n -a n -1-1=-12n -1,将以上各式相加得：a n -a 1-(n

19、 -1 =-3111(+2+n -1, 22221a n =a 1+n -1-32(1-1-11n -1=12+(n -1 -32(1-12=n -132n+n -2.2a n =32n+n -2.（III ）解法一： 存在=2，使数列S n +T nn121是等差数列S n =a 1+a 2+a n =3(+122+12n+(1+2+n -2n1=3(1-1-112n+n (n +1 2-2n=3(1-12n+n -3n 22=-32n+n -3n 22+3.-T n =b 1+b 2+b n =3(1-121n=-32(1-12=-n32+32n +1.1-数列S n +T nn是等差数列

20、的充要条件是S n +T nn=A n +B , (A 、B 是常数即S n +T n =A n 2+B n ,32n又S n +T n =-n -3n 22+n -3n 212n2+3+(-32+32n +1=+3(1-2(1-S n +T nn当且仅当1-2=0，即=2时，数列为等差数列解法二：存在=2，使数列S n +T nn是等差数列由（I ）、（II ）知，a n +2b n =n -2S n +2T =n (n +1 2-2nn (n +1S n +T nn n -32=T n-2n -2T n +T nn=+-2n-3(1-121n=-又T n =b 1+b 2+b n =S n

21、 +T nnn -3232(1-12=-n32+32n +11-=+-2n(-32+32nn +1是等差数列当且仅当=2时，数列S n +T n类型9 a n +1=f (n a n g (n a n +h (n 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a n +1=pa n +q 。 例：已知数列a n 满足：a n =1a n3a n -1+1a n -1a n -13a n -1+11a n -1, a 1=1，求数列a n 的通项公式。解：取倒数：=3+1111是等差数列， =+(n -1 3=1+(n -1 3a n =3n -2a n a 1a n 变式:（2006，江西,

22、理,22, 本大题满分14分） 已知数列a n 满足：a 132，且a n n 2，n N ）2a n 1n 13na n 1*（1） 求数列a n 的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1a 2a n 2n ！ 解：（1）将条件变为：1为 11a 1n a n131n 1a n 1，因此1）n a n为一个等比数列，其首项13，公比13，从而1n a n13n，据此得a n n ！n 3nn31（n 1）1（2）证：据1得，a 1a 2a n （1）（12）（1n ）333111为证a 1a 2a n 122显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n N *，有11111

23、1（1）（12）（1n ）1（2n ）3333333用数学归纳法证明3式： （i ） （ii ）13n 1时，3式显然成立， 设n k 时，3式成立，13）（12111）1（） k 2k 33331（1）（1即则当n k 1时，11111111（1）（12）（1k （1k 1）1（2k ）（1k 1）333333331（3113122131k k）1313k 113k 1（3113213k）1（313*3k 1）即当n k 1时，3故对一切n N ，3式都成立利用3得，11n 1（）1111111（2n ）1 （1）（12）（1n ）13333331311n 111n 111（）232232故

24、2式成立，从而结论成立类型10 a n +1=pa n +q ra n +h解法：如果数列a n 满足下列条件：已知a 1的值且对于n N ，都有a n +1=中p 、q 、r 、h 均为常数，且ph qr , r 0, a 1-h rpa n +q ra n +h（其），那么，可作特征方程x =px +q rx +h,1当特征方程有且仅有一根x 0时, 则x 2是等差数列; 当特征方程有两个相异的根x 1、a -x 0n a -x 1时，则n 是等比数列。a n -x 2例：已知数列a n 满足性质：对于n N , a n -1=x +42x +3a n +42a n +32, 且a 1=3

25、, 求a n 的通项公式.解: 数列a n 的特征方程为x =, 变形得2x +2x -4=0, 其根为1=1, 2=-2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有c n =a 1-1a 1-225(-(15p -1r p -2rn -1=3-13+2(1-121-22n -1, n N .c n =n -1, n N .a n =2c n -1c n -1-2=2525(-(-1515n -1-1, n N .n -1-1即a n =(-5 -42+(-5nn, n N .例：已知数列a n 满足：对于n N , 都有a n +1=13a n -25a n +3.（1）若a

26、1=5, 求a n ; （2）若a 1=3, 求a n ; （3）若a 1=6, 求a n ; （4）当a 1取哪些值时，无穷数列a n 不存在？ 解：作特征方程x =13x -25x +3. 变形得x -10x +25=0,2特征方程有两个相同的特征根=5. 依定理2的第（1）部分解答. (1a 1=5, a 1=. 对于n N , 都有a n =5; (2a 1=3, a 1. b n =1a 1-13-512+(n -1r p -r 1=+(n -1 n -18,13-15=-令b n =0，得n =5. 故数列a n 从第5项开始都不存在， 当n 4，n N 时，a n =1b n+=

27、5n -17n -5.(3a 1=6, =5, a 1. b n =1a 1-+(n -1r p -r=1+n -18, n N .令b n =0, 则n =-7n . 对于n N, b n 0. a n =1b n+=1+1n -18+5=5n +43n +7, n N .(4、显然当a 1=-3时，数列从第2项开始便不存在. 由本题的第（1）小题的解答过程知，a 1=5时，数列a n 是存在的，当a 1=5时，则有b n =1a 1-+(n -1r p -r=1a 1-5+n -18, n N . 令b n =0, 则得a 1=5n -13n -1, n N且n 2. 当a 1=5n -1

28、3n -1（其中n N 且N 2）时，数列a n 从第n 项开始便不存在.5n -13n -1:n N , 且n 2上取值时，无穷数列a n 都不存于是知：当a 1在集合-3或在.变式:（2005，重庆, 文,22, 本小题满分12分）数列a n 满足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n 1. 记b n =（）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（）求数列b n 的通项公式及数列a n b n 的前n 项和S n .解法一：由已知, 得a n +1=2a n +516-8a n1a n -12(n 1., 其特征方程为x =2x +516-8x解之得, x 1=12或x 2=54a n +15-=, a n +1-=216-8a n